Gorenstein AC-投射復(fù)形的穩(wěn)定性

趙仁育,權(quán)艷紅

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅蘭州 730070)

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Gorenstein AC-投射復(fù)形的穩(wěn)定性

趙仁育,權(quán)艷紅

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅蘭州 730070)

證明了以Gorenstein AC-投射復(fù)形為對(duì)象,利用定義Gorenstein AC-投射復(fù)形方法構(gòu)造出的復(fù)形仍然是Gorenstein AC-投射復(fù)形.其次,引入了復(fù)形的Gorenstein AC-投射維數(shù)的概念,并對(duì)其進(jìn)行了刻畫.

Gorenstein AC-投射模;Gorenstein AC-投射復(fù)形;level復(fù)形;Gorenstein AC-投射維數(shù)

0 引言

近年來,Gorenstein同調(diào)代數(shù)受到了人們的極大關(guān)注[1-11].1998年,Enochs等[12]把 Gorenstein投射(內(nèi)射)模的概念推廣到了復(fù)形的范疇中,引入并研究了Gorenstein投射(內(nèi)射)復(fù)形,稱復(fù)形X是Gorenstein投射復(fù)形.如果存在投射復(fù)形的正合列

使得X?Im(P0→P-1),且對(duì)任意的投射復(fù)形Q,Hom(P,Q)正合.對(duì)偶地,可以定義Gorenstein內(nèi)射復(fù)形.隨后,Gorenstein同調(diào)代數(shù)的許多結(jié)論被拓展到了復(fù)形范疇[3,11-15].作為平坦模和內(nèi)射模的推廣,Gao等[16]研究了弱平坦模和弱內(nèi)射模,這兩類模也被稱為level模和AC-模[17].受Ding投射(內(nèi)射)模[5-6]和Ding投射(內(nèi)射)復(fù)形[14]研究思想的啟發(fā),Bravo等[17]研究了兩類特殊Gorenstein復(fù)形——Gorenstein AC-投射復(fù)形和Gorenstein AC-內(nèi)射復(fù)形,討論了這兩類復(fù)形與其各層次的模之間的關(guān)系.Xu等[11]證明了對(duì)復(fù)形X,若存在Gorenstein投射復(fù)形的正合列

使得X?Im(P0→P1)，并且對(duì)任意的投射復(fù)形Q,Hom(P,Q)是正合復(fù)形,則X仍是Gorenstein投射復(fù)形,即Gorenstein投射復(fù)形是穩(wěn)定的[11].受此結(jié)果的啟發(fā),在本文的第2節(jié),我們討論了Gorenstein AC-投射復(fù)形的穩(wěn)定性,證明了以Gorenstein AC-投射復(fù)形為對(duì)象,利用定義Gorenstein AC-投射復(fù)形的方法構(gòu)造出的復(fù)形仍然是Gorenstein AC-投射復(fù)形.在第3節(jié)中,通過引入復(fù)形Gorenstein AC-投射維數(shù)的概念,并對(duì)復(fù)形的Gorenstein AC-投射維數(shù)進(jìn)行了刻畫.對(duì)Gorenstein AC-內(nèi)射復(fù)形有對(duì)偶的結(jié)果,本文不再贅述.

1 預(yù)備知識(shí)

將R-模的復(fù)形

記為(X,δ),簡記為X.復(fù)形X的第n層次的循環(huán)(邊緣,同調(diào)模)記作Zn(X)(Bn(X),Hn(X)).用Ch(R)代表R-模的復(fù)形構(gòu)成的Abel范疇.設(shè)X,Y∈Ch(R),用Hom(X,Y)表示X到Y(jié)的所有復(fù)形態(tài)射構(gòu)成的Abel群;對(duì)任意的i≥1,Exti(X,Y)表示Hom的右導(dǎo)出函子.用Hom(X,Y)表示由X和Y確定的Abel群的復(fù)形,它的第n層次為

第n層次的邊緣算子是

設(shè)A是Abel范疇,X是A中一些對(duì)象的類,據(jù)文獻(xiàn)[2],稱X是投射可解的.如果X包含A的所有投射對(duì)象,并且對(duì)A中的任意短正合列0→A′→A→A″→0,若A″∈X,則A∈X當(dāng)且僅當(dāng)A′∈X.稱A中對(duì)象的復(fù)形C是Hom(-,X)正合的,是指對(duì)任意的X∈X,復(fù)形Hom(C,X)是正合的.

其中每個(gè)Pi是投射模,使得M?Ker(P-1→P-2).由GorensteinAC-投射模的定義易見.

引理1 設(shè)M是模.則M是GorensteinAC-投射模,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的level模F,Ext≥1(M,F)=0,并且存在Hom(-,L(R))正合的正合列

其中Pi都是投射模.

引理2GorensteinAC-投射模的類是投射可解的.

證明 類似于文獻(xiàn)[10]定理2.6的證明可得. 】

稱復(fù)形P是投射復(fù)形,如果P是正合復(fù)形,并且每個(gè)Zn(P)是投射模.據(jù)文獻(xiàn)[17],稱復(fù)形L是level復(fù)形,如果L是正合復(fù)形,并且每個(gè)Zn(L)是level模,將level復(fù)形的類記作L(Ch(R));稱復(fù)形X是Gorenstein AC-投射復(fù)形,簡稱為GAC-投射復(fù)形,如果存在Hom(-,L(Ch(R))正合的正合列

其中每個(gè)Pi都是投射復(fù)形,使X?Ker(P-1→P-2).

2 Gorenstein AC-投射復(fù)形的穩(wěn)定性

本節(jié)討論Gorenstein AC-投射復(fù)形的穩(wěn)定性,為此先做一些準(zhǔn)備工作.

引理3 由文獻(xiàn)[17]中定理4.13，設(shè)X∈Ch(R).則X是GAC-投射復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的i∈Z,Xi是GAC-投射模,且對(duì)任意的level復(fù)形L,Hom(X,L)是正合復(fù)形.

引理4GAC-投射復(fù)形的類是投射可解的.

證明 顯然,投射復(fù)形是GAC-投射復(fù)形.設(shè)0→X→Y→Z→0是復(fù)形的短正合列,其中Z是GAC-投射復(fù)形.設(shè)L是level復(fù)形,由level模的定義易見每個(gè)Li是level模.由引理3知每個(gè)Zj是GAC-投射模,所以由引理1,對(duì)任意的n,t∈Z,Ext1(Zt,Lt+n)=0.于是對(duì)任意的n,t∈Z,有短正合列

進(jìn)而有復(fù)形的短正合列0→Hom(Z,L)→Hom(Y,L)→Hom(X,L)→0.由引理3,Hom(Z,L)是正合復(fù)形,所以由引理2和引理3可證得X是GAC-投射復(fù)形,當(dāng)且僅當(dāng)Y是GAC-投射復(fù)形,從而結(jié)論成立. 】

引理5GAC-投射復(fù)形的類關(guān)于直和項(xiàng)和任意直和封閉.

證明 設(shè)X是GAC-投射復(fù)形,且A⊕B=X.則由引理3知,對(duì)任意i∈Z,Ai是GAC-投射模.設(shè)L是level復(fù)形.則由引理3知,Hom(X,L)是正合復(fù)形.因?yàn)镠om(A⊕B,L)?Hom(A,L)⊕Hom(B,L),所以Hom(A,L)正合.于是由引理3知,A是GAC-投射復(fù)形.

引理6 設(shè)0→X→Y→Z→0是復(fù)形的正合列.若X和Y是GAC-投射復(fù)形,則Z是GAC-投射復(fù)形,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的level復(fù)形L,Ext1(Z,L)=0.

證明 必要性顯然,現(xiàn)證充分性.因?yàn)閄是GAC-投射復(fù)形,所以存在復(fù)形的正合列0→X→P→G→0,其中P是投射復(fù)形,G是GAC-投射復(fù)形.于是推出圖

在短正合列0→Y→Q→G→0中,因?yàn)镚和Y是GAC-投射復(fù)形,所以由引理4知,Q是GAC-投射復(fù)形.又因?yàn)镻是level復(fù)形,所以Ext1(Z,P)=0.從而第二行的正合列可裂.由引理5知,Z是GAC-投射復(fù)形. 】

引理7 設(shè)

(1)

是復(fù)形的正合列,其中G1和G0是GAC-投射復(fù)形.則

1)存在正合列

(2)

和

(3)

其中J和P是投射復(fù)形,G和F是GAC-投射復(fù)形.

2)如果(1)是Hom(-,L(Ch(R)))正合的,那么(2)和(3)也是Hom(-,L(Ch(R)))正合的.

證明 1)因?yàn)镚1是GAC-投射復(fù)形,所以存在正合列0→G1→J→Q1→0,其中J是投射復(fù)形,Q1是GAC-投射復(fù)形.考察推出圖

由第三列和短正合列0→Imf→G0→X→0,有下列推出圖

由上面兩個(gè)推出圖的第二行得正合列0→A→J→G→X→0.在正合列0→G0→G→Q1→0,因?yàn)镚0,Q1是GAC-投射復(fù)形,所以由引理4,G是GAC-投射復(fù)形.

因?yàn)镚0是GAC-投射復(fù)形,所以存在正合列0→Q2→P→G0→0,其中P是投射復(fù)形,Q2是GAC-投射復(fù)形.考察拉回圖

由該圖中的第一列和短正合列0→A→G1→Imf→0,考察拉回圖

由以上兩個(gè)拉回圖的第二行得正合列

0→A→F→P→X→0,

并且由引理4,F是GAC-投射復(fù)形.

2)設(shè)L是level復(fù)形,并且(1)是Hom(-,L)正合的,則Ext1(Imf,L)=0.因?yàn)镼1是GAC-投射復(fù)形,所以Ext1(Q1,L)=0.從而Ext1(B,L)=0.故Hom(-,L)保持(2)的正合性.因?yàn)镋xt2(X,L)=0且P是投射復(fù)形,所以Ext1(N,L)=0.Hom(-,L)保持(3)的正合性. 】

引理8 設(shè)n是正整數(shù),

(4)

是復(fù)形的正合列,其中每個(gè)Gi是GAC-投射復(fù)形.則

1)存在復(fù)形的正合列

0→A→Pn-1→…→P1→P0→Y→0 (5)

和0→X→Y→U→0，其中每個(gè)Pi是投射復(fù)形,U是GAC-投射復(fù)形.

2)存在復(fù)形的正合列

0→B→Pn-1→…→P1→P0→X→0(6)

和0→V→B→A→0,其中每個(gè)Pi是投射復(fù)形,V是GAC-投射復(fù)形.

3)如果(4)是Hom(-,L(Ch(R)))正合的,那么(5)和(6)也是Hom(-,L(Ch(R)))正合的.

證明 1)對(duì)n進(jìn)行歸納.

當(dāng)n=1時(shí),在正合列0→A→G0→X→0中,因?yàn)镚0是GAC-投射復(fù)形,所以存在正合列0→G0→P0→U→0,其中P0是投射復(fù)形,U是GAC-投射復(fù)形.于是由推出圖

可得所需的正合列0→A→P0→Y→0和0→X→Y→U→0.

設(shè)n≥2且有正合列

其中每個(gè)Gi是GAC-投射復(fù)形.令K=Coker (Gn-1→Gn-2).則有正合列

和

0→K→Gn-3→…→G1→G0→0.

由引理7知存在正合列

由歸納假設(shè),存在正合列

0→A′→Pn-2→Pn-3→…→P1→P0→X→0

和

0→X→Y→U→0,

其中每個(gè)Pi是投射復(fù)形,U是GAC-投射復(fù)形.于是有正合列

其中每個(gè)Pi是投射復(fù)形.

2)類似于1)可證.

3)設(shè)L是level復(fù)形,并且Hom(-,L)保持(4)的正合性.當(dāng)n=1時(shí),上面推出圖的第一行與第二列是Hom(-,L)正合的,故第二行是Hom(-,L)正合的.當(dāng)n≥2時(shí),由引理7及歸納假設(shè)可得(5)是Hom(-,L)正合的.(6)的Hom(-,L(Ch(R)))正合性類似可證. 】

定理1 設(shè)X∈Ch(R).則X是GAC-投射復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)存在GAC-投射復(fù)形的正合列

使得X?Cokerσ1并且對(duì)任意的level復(fù)形L,Hom(G,L)正合.

證明 ?.顯然.

?.設(shè)存在Hom(-,L(Ch(R)))正合的GAC-投射復(fù)形的正合列

使得X?Imσ0.對(duì)任意的i∈Z,令Xi=Imσi.則X0=X,并且對(duì)任意的i∈Z,有Hom(-,L(Ch(R)))正合的正合列0→Xi+1→Gi→Xi→0.下面證明X是GAC-投射復(fù)形.

考察正合列

由引理8,存在Hom(-,L(Ch(R)))正合的正合列

和

其中P-1是投射復(fù)形,V-1是GAC-投射復(fù)形.于是由推出圖

可得正合列

因?yàn)镚-2和V-1是GAC-投射復(fù)形,所以由引理4知,U-1是GAC-投射復(fù)形.因?yàn)?/p>

是Hom(-,L(Ch(R)))正合的,所以

是Hom(-,L(Ch(R)))正合的.重復(fù)上述過程可得Hom(-,L(Ch(R)))正合的正合列

其中P-i是投射復(fù)形,i=1,2,…,Y0=X.于是有Hom(-,L(Ch(R)))正合的正合列

(*)

其中每個(gè)P-i是投射復(fù)形.

對(duì)偶地,可以證明存在Hom(-,L(Ch(R)))正合的正合列

(**)

其中每個(gè)Pi是投射復(fù)形.

由(*)和(**)得Hom(-,L(Ch(R)))正合的正合列

其中每個(gè)Pi是投射復(fù)形,使得X?Im(P0→P-1).因此X是GAC-投射復(fù)形. 】

3 復(fù)形的Gorenstein AC-投射維數(shù)

作為引理7的另一個(gè)應(yīng)用,本節(jié)研究復(fù)形的Gorenstein AC-投射維數(shù).因?yàn)橥渡鋸?fù)形是GAC-投射復(fù)形,所以每個(gè)復(fù)形都有GAC-投射分解,從而可以定義復(fù)形的GAC-投射維數(shù).

引理9 設(shè)X∈Ch(R).考察復(fù)形的正合列

證明 作映射錐,得復(fù)形的正合列

進(jìn)而有復(fù)形的正合列

推論1 設(shè)X∈Ch(R).考察復(fù)形的正合列

證明 由引理9可得. 】

定理2 設(shè)X∈Ch(R),n≥0.則以下條件等價(jià):

1)GAC-pd(X)≤n;

2)GAC-pd(X)<∞,且對(duì)任意level維數(shù)有限的復(fù)形L,Ext>n(X,L)=0;

3)GAC-pd(X)<∞,且對(duì)任意level復(fù)數(shù)L,Ext>n(X,L)=0;

4)對(duì)復(fù)形的任意正合列…→Gn→Gn-1→…→G0→X→0,其中每個(gè)Gi是GAC-投射復(fù)形,Kn=Ker(Gn-1→Gn-2)是GAC-投射復(fù)形;

5)對(duì)任意的0≤t≤n存在正合列0→Pn→…→Pt+1→Gt→Pt-1→…→P0→X→0,其中Gt是GAC-投射復(fù)形,Pi是投射復(fù)形.

證明 2)?3),4)?5)和5)?1)顯然.

1)?2).因?yàn)镚AC-pd(X)≤n,所以存在X的長度為n的GAC-投射分解

由維數(shù)轉(zhuǎn)移,對(duì)任意的m>n和任意的level維數(shù)有限的復(fù)形L,Extm(X,L)?Extm-n(Gn,L)=0.

3)?4).設(shè)

是X的一個(gè)GAC-投射分解.下證Kn=Ker(Gn-1→Gn-2)是GAC-投射復(fù)形.

由3),設(shè)GAC-pd(X)=m<∞.則存在X的長度為m的GAC-投射分解

i)若m≤n,將上述X的GAC-投射分解擴(kuò)充為長度為n的GAC-投射分解

由推論1知,Kn是GAC-投射復(fù)形.

1)?5).對(duì)n進(jìn)行歸納.

當(dāng)n=1時(shí),存在正合列0→D1→D0→X→0,其中D0,D1是GAC-投射復(fù)形.由引理7(A=0的情形),存在正合列0→P1→G0→X→0和正合列0→G1→P0→X→0,其中G0,G1是GAC-投射復(fù)形,P0,P1是投射復(fù)形.故n=1時(shí)結(jié)論成立.

設(shè)n≥2,且有復(fù)形的正合列0→Dn→Dn-1→…→D0→X→0,其中每個(gè)Di是GAC-投射復(fù)形.令A(yù)=Ker(D1→D0).則有正合列

0→A→D1→D0→X→0.

令Y=Ker(P0→X).則GAC-pd(Y)≤n-1.由歸納假設(shè),存在正合序列

其中Gt是GAC-投射復(fù)形,Pi是投射復(fù)形,i=0,1,…,t-1,t+1,…,n.下面證明t=0的情形.令B=Coker(D2→D1),由歸納假設(shè),存在正合列

由引理7,存在正合列0→C→P1→G0→X→0,其中G0是GAC-投射復(fù)形,P1是投射復(fù)形.于是有正合序列

其中Pi是投射復(fù)形,i=1,2,…,n. 】

推論2 設(shè)0→X′→X→X″→0是復(fù)形的短正合列,n∈N.則

1)若GAC-pd(X″)≤n,則GAC-pd(X′)≤n當(dāng)且僅當(dāng)GAC-pd(X)≤n.進(jìn)而,

GAC-pd(X′)≤max{GAC-pd(X),GAC-pd(X″)},

GAC-pd(X)≤max{GAC-pd(X′),GAC-pd(X″)}.

2)若GAC-pd(X′)>GAC-pd(X″)或GAC-pd(X)>GAC-pd(X″),則GAC-pd(X′)=GAC-pd(X).

3)若GAC-pd(X″)>0,X是GAC-投射復(fù)形.則GAC-pd(X′)=GAC-pd(X″)-1.

因此,在0→X′→X→X″→0中,如果任意兩項(xiàng)的GAC-投射維數(shù)有限,那么第三項(xiàng)的GAC-投射維數(shù)也有限.

證明 1)當(dāng)n=0時(shí),X″是GAC-投射復(fù)形.于是由引理4知,X′是GAC-投射復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)X是GAC-投射復(fù)形.故n=0時(shí)結(jié)論成立.

假設(shè)n>0.作X′,X″的投射分解

由馬掌引理有以下交換圖

2)設(shè)GAC-pd(X′)>GAC-pd(X″).則由1)中的第二個(gè)不等式知,GAC-pd(X)≤GAC-pd(X′).若GAC-pd(X)

由1),2),3),最后一個(gè)事實(shí)成立. 】

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(責(zé)任編輯 陸泉芳)

On stability of Gorenstein AC-projective complexes

ZHAO Ren-yu,QUAN Yan-hong

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

In this paper,it is proved that an iteration of the procedure used to define Gorenstein AC-projective complexes yields exactly Gorenstein AC-projective complexes.We also introduce and characterize the notion of the Gorenstein AC-projective dimension of complexes.

Gorenstein AC-projective modules;Gorenstein AC-projective complexes;level complexes;Gorenstein AC-projective dimension

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.01.001

2015-08-05;修改稿收到日期:2015-10-29

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11361052)

趙仁育(1977—)，男，甘肅景泰人，副教授，博士.主要研究方向?yàn)榄h(huán)的同調(diào)理論.

E-mail:zhaory@nwnu.edu.cn

O 153.3

A

1001-988Ⅹ(2016)01-0001-07