指數(shù)SVD和Kriging模型的聲波傳感器三維溫度場重建研究

遼寧工業(yè)大學機械工程與自動化學院，遼寧錦州 121001

一、引言

目前在儲糧測溫、爐膛測溫通常采用聲學法測溫方法，但是由于在大部分溫度場中布置傳感器存在邊界位置以及數(shù)目有限的問題，導致的弊端是測溫點密度低，邊界溫度值無法得出。如果熱點不是恰好出現(xiàn)在內(nèi)部一定范圍中，霉變、蟲害通常就會蔓延到較大區(qū)域才能被發(fā)現(xiàn)，而控制處理措施不及時將導致儲糧損失增大。

王明吉等[1]以最小二乘方法構(gòu)建了三維溫度場聲學測量重建算法，對球?qū)ΨQ型模型溫度場進行了仿真重建；白燕[2]基于最小二乘法與傅里葉正則化方法進行了重建仿真，研究結(jié)果表明，當傳感器數(shù)量增多時，其重建精度較高；王交峰等人[3]用最小二乘方法對航空發(fā)動機燃燒室環(huán)形出口溫度場進行了重建。這些研究所提算法都要求被測區(qū)域劃分的單元數(shù)小于系統(tǒng)所獲得的投影數(shù)據(jù)數(shù)，因此原始重建出的溫度點非常少，所帶來的信息缺失無法通過插值運算彌補。

顏華等[4]在測量聲波飛行時間時，將采樣信號的互相關(guān)函數(shù)在峰值附近做三次樣條插值，該方法對提高聲學法溫度場檢測精度具有實際意義。后來，顏華又提出了一種徑向基函數(shù)逼近和正則化的溫度場重建算法[5,6]，結(jié)果表明此算法熱點定位精度高，重建算法誤差較小；

鄭永駿[7]運用對偶Kriging模型插值分析氣象資料，擬合4類半變異函數(shù)模型對降水分析精度較高；曾懷恩等[8]提出了Kriging方法運用在空間數(shù)據(jù)插值中，通過實例與反距離加權(quán)法相比較，證實了Kriging插值的優(yōu)越性；王婧雅等[9]運用改進的克里金插值法對大尺度農(nóng)田土壤墑情分布進行了插值，結(jié)果表明，模擬值與實測值具有較好的吻合度，兩者的相對誤差和相關(guān)系數(shù)均接近最優(yōu)值，驗證了修正克里金插值法具有可行性和可靠性。綜上，Kriging模型雖應用廣泛，但還沒有應用到溫度場重建的內(nèi)外推中。

本文基于現(xiàn)有重建算法弊端及不足，提出了一種基于指數(shù)奇異值分解（(Singular Value Decomposition，SVD）的三維溫度場重建算法，并將Kriging模型引入到溫度場重建的內(nèi)外推中，以正方體溫度場空間為例，采用典型單峰、雙峰、四峰模型溫度場進行了重建及插值研究。結(jié)果表明，指數(shù)SVD算法和Kriging模型結(jié)合的重建溫度場達到較高的精度指標。

二、溫度場重建

聲學法測溫的主要過程，首先是在被測區(qū)域周圍盡可能均勻的設置聲波收發(fā)器，任意一個聲波收發(fā)器發(fā)射信號，所有聲波收發(fā)器接收信號，這樣就形成穿過該被測區(qū)域的多條均勻分布的聲波飛行路徑，測量這些穿過被測區(qū)域的聲波飛行時間；然后再利用合適的溫度場重建算法和聲速與溫度的關(guān)系，重建出被測區(qū)域的溫度場分布[10]。

氣體介質(zhì)中的聲速、氣體介質(zhì)的絕對溫度和氣體介質(zhì)的聲音常數(shù)之間的關(guān)系為[1,6]：

其中，c—體介質(zhì)中的聲速，單位：m/s；

T—氣體介質(zhì)的絕對溫度，單位：K；B—聲音常數(shù)，由氣體組成成分決定的。

在氣體組成成分一定的條件下，B是一個常量，如被測氣體為煙道混合氣體時，B取19.08，被測氣體為空氣時，B取20.05[11]。

三、指數(shù)SVD和Kriging模型算法

1、指數(shù)SVD算法

假設被測空間溫度場為T(x,y,z)，聲速的倒數(shù)為f(x,y,z)，由公式（1）可得：

任一聲波路徑pk上，聲波的飛行時間gk可以表示為：

其中，k—穿過三維溫度場的有效聲波飛行時間總數(shù)。

將被測空間劃分成M個立方體網(wǎng)格，設第m個網(wǎng)格中心點坐標表示為(xm,ym,zm)，m∈[1,M]。

將f(x,y,z)離散為M個基函數(shù)的線性組合：

其中，εm—待定系數(shù)；

φm(x,y,z)—徑向基函數(shù)[12]，有：

其中，a—徑向基函數(shù)的形狀參數(shù)，被測空間的大小和聲波收發(fā)器的位置都影響形狀參數(shù)的選取。

為了求解式公式（4）中的待定系數(shù)εm，合并式（3）、（4）和（5）得到：

定義：A=(akm)k=1,…,K;m=a,…M；

則公式（6）可寫成：

對重建矩陣A作SVD分解：

其中，σ1,σ2,…,σγ—重建矩陣A的γ個非零奇異值，σ1≥σ2≥ … ≥σγ≥ 0；

γ—重建矩陣A的秩；

U—列向量，正交矩陣AAT的特征向量；V—列向量，正交矩陣ATA的特征向量。

由此，可以推出A的偽逆為：

通過奇異值分解，式（7）可以寫成

為了增加系統(tǒng)的抗噪聲能力，用一個濾波函數(shù)對ε進行濾波：

其中，g、a—濾波參數(shù)。

由此，通過合并（3）式（11）式，可以求的被測區(qū)域的聲波傳播速度，進而代入式（2）就可以求出M個空間網(wǎng)格的中心點溫度值。

2、Kriging模型插值算法

Kriging模型[12]是一種基于統(tǒng)計理論的插值技術(shù)。通常Kriging模型變量x=[x1,...,xw]與真實響應y間的關(guān)系可表示為：

式中，f(x) —回歸函數(shù)（一般采用多項式形式）；

λ—回歸系數(shù)；

μ(x) —均值為0、方差為σ2的隨機函數(shù)，μ(x)的協(xié)方差矩陣為：

式中，ns—采樣點數(shù)；

R—沿對角線對稱的相關(guān)矩陣；

R(x(i),x(j)) —采樣點x(i)與x(j)的相關(guān)函數(shù)，相關(guān)函數(shù)常用平穩(wěn)高斯函數(shù)來表述：

其中，θ=(θ1,θ2,…,θw)T—相關(guān)函數(shù)參數(shù)；

w—變量的維數(shù)。

位置x處的響應值y(x)的預測估計值為：

其中，λ的估計值；

y的長度為ns，包含樣本數(shù)據(jù)的響應值；

rT(x)的長度為ns，是位置x和樣本數(shù)據(jù)(x(1),)間的相關(guān)向量：

設λ的最優(yōu)估計值為λ*，全局模型的方差估計值由λ*和y給出：

相關(guān)函數(shù)參數(shù)θ由極大似然估計給出，即在θd＞0時使下式最大：

四、實驗結(jié)果

本文利用聲學法進行溫度場的重建，將重建溫度點進行內(nèi)外推的插值，使得整個被測區(qū)域的三維溫度場得到更加細化和邊緣部分無遺漏的重建推算。

被測的三維空間為10m × 10m × 10m的正方體，如圖1所示，在每個頂點及每條棱邊三等分的間隔位置都放置一個聲波發(fā)生器和一個聲波接收器，這樣在被測正方體的周圍共放置32組聲波收發(fā)器。飛行有效路徑按照剔除棱邊的選取方式，可以得到424條有效聲波路徑（如圖2所示），計算有效聲波路徑上的聲波飛行時間。將被測空間劃分為1000個均勻的網(wǎng)格，計算重建矩陣。利用指數(shù)SVD法，重建出1000個網(wǎng)格的中心點溫度值。

式中，n—被測區(qū)域所劃分的網(wǎng)格（像素）的總數(shù)；

T(j)和—模型溫度場和重建溫度場第j個網(wǎng)格中心點的溫度；

Tave和—模型溫度場和重建溫度場的平均溫度。

表1為4種典型溫度場重建后的最大相對誤差、平均相對誤差和均方根誤差。雙峰模型的重建溫度場與模型溫度場的三維展示圖如圖3所示。

根據(jù)表1與圖3可知，通過指數(shù)SVD算法對4種溫度場重建出的1000個網(wǎng)格的中心點溫度值與模型中1000個相應位置真實值的三種誤差結(jié)果比較小。但是被測溫度場10m × 10m × 10m的范圍內(nèi)，所有邊緣部分的剖分網(wǎng)格外部一半沒有重建出來，內(nèi)部的溫度值也不夠細化分布。

本文運用Kriging模型進行擬合插值，對以上指數(shù)SVD算法重建后待解決的填充與細致化問題進行研究。對重建出來的范圍內(nèi)的溫度值進行內(nèi)插與外推，剖分網(wǎng)格由原來的10 × 10 × 10個（即1000個）變?yōu)?1 × 41 × 41個（即68921個）。

表2為4種典型溫度場Kriging模型插值后的最大相對誤差、平均相對誤差和均方根誤差。圖4所示為經(jīng)過Kriging模型插值后的雙峰模型的重建溫度場與模型溫度場的三維展示圖。

由表2和圖4可知，指數(shù)SVD算法和Kriging擬合插值后對4種溫度場重建出的41 × 41 × 41個（即68921個）網(wǎng)格的中心點溫度值與模型中41 × 41 ×41個（即68921個）相應位置真實值的三種誤差結(jié)果比較小。被測溫度場10m × 10m × 10m的范圍內(nèi)的所有溫度值能夠較精確的重建出來，并得到了細致化展示。

五、結(jié)論

本文提出了指數(shù)SVD法與Kriging模型相結(jié)合的三維溫度場重建方法。采用指數(shù)SVD法對典型單峰、雙峰、四峰模型溫度場進行了重建，kriging模型對重建溫度場進行了內(nèi)插、外推。研究表明：采用指數(shù)SVD和Kriging法對典型單峰、雙峰、四峰模型溫度場重建，重建最大溫度相對誤差小于2.2%、平均溫度相對誤差小于0.2%、溫度均方根誤差小于2%，適用模型廣泛，且重建精度高。

表1 指數(shù)SVD重建誤差

表2 Kriging模型插值誤差