具有非線性奇異項和變指數(shù)的擬線性橢圓問題解的存在性

初穎，賈小寧

（長春理工大學 理學院，長春 130022）

具有非線性奇異項和變指數(shù)的擬線性橢圓問題解的存在性

初穎，賈小寧

（長春理工大學 理學院，長春 130022）

針對于具有奇異項和變指數(shù)的擬線性橢圓方程Dirichlet邊值問題，給出了證明該問題解的存在性的方法。首先構(gòu)造一個逼近問題，利用Sobolev嵌入定理和變指數(shù)的上下確界，克服了來自奇異項和變指數(shù)的困難，證明了逼近問題解序列的有界性，然后通過選取適當?shù)臋z驗函數(shù)和先驗估計技巧克服了來自p-Laplace算子的困難，再借助于逼近問題解序列的有界性，得到了該問題解存在的充分條件。通過對比，采用的逼近方法要優(yōu)于以往常用的上下解方法。

擬線性橢圓問題；非線性奇異項；變指數(shù)；存在性

本文主要研究如式（1）具奇異項和變指數(shù)的擬線性橢圓方程解的存在性:

其中，Ω是RN(N≥p)上邊界光滑的有界開集，p＞2，α(x)是連續(xù)函數(shù)，是某些Lebesgue空間中的非負函數(shù)。

近年來，關(guān)于帶有奇異項的擬線性橢圓問題引起了國內(nèi)外眾多數(shù)學學者的興趣，并取得了一定的成果。文獻［1］和［2］的作者們討論了問題（1）當p=2，α(x)是常數(shù)α時的情形，在假設(shè) f(x)具有某些光滑性或 f(x)∈L2(Ω)的情形下，證明了該問題解的存在性。之后Zhang和Cheng［3］推廣了之前的結(jié)果，他們研究了問題（1）當 p=2，方程右端項為f(x)g(u)時的情形，其中g(shù)(s)在s=0點處奇異，在假設(shè) f(x)∈Cα(Ω)的情況下得到了該問題古典解的存在性。

2010年，Santos［4］對如下具奇異項和超線性項的擬線性橢圓問題進行了研究

最近，Chu和Gao在文獻［5］中研究了如下形式的具奇異項的擬線性橢圓問題

本文推廣了［5］的結(jié)果，考慮了問題（3）當α是變指數(shù)的情形，該問題的難點在于:首先，非線性微分算子是p-Laplace算子；其次，右端項在0點處具有奇異性；最后，奇異項中含有變指數(shù)α(x)。這些都為該問題的研究增加了一定的困難。作者們利用類似逼近的方法，Schauder不動點定理，極大值原理，借助于α(x)的上下確界克服了這些困難，證明了對于合適的m和α(x)，該問題在中一定有解。

1 預(yù)備知識

為了得到問題（1）解的存在性，先介紹一些基本知識和相關(guān)引理，首先給出問題（1）弱解的定義。

定義1.1 如果

考慮如下逼近問題

引理1.1 對任何固定的n∈N*，問題（5）在中都有唯一的非負解。

引理1.2 逼近問題（5）的解序列{un}關(guān)于n是遞增的，且對每個Ω′??Ω都存在一個正常數(shù)CΩ′使得對每個n∈N*和每個x∈Ω′，都滿足

引理1.1 和引理1.2的證明過程參見文獻［5］。

2 主要結(jié)果

本文只考慮當0＜α-≤α(x)≤α+＜1的情形，證明:當f具有比L1(Ω)更高的正則性時，問題（1）在中有解。

引理2.1 令un是問題（5）當0＜α-≤α(x)≤α+＜1時的解，且假設(shè)則序列un在中有界。

證明：選取un作為問題（5）的檢驗函數(shù)，由Ho¨lder不等式，利用 fn≤f得

用Sobolev嵌入定理得:

也就是:

由此得到un在中的有界性，由這個估計和式（7）得到結(jié)論。

一旦得到了un的有界性，就能夠證明出問題（1）解的存在性。

定理2.1若 f是Lm(Ω)中非負函數(shù)，

f不恒等于0，且0＜α-≤α(x)≤α+＜1，那么問題（1）在中有解，且滿足（4）式。

證明：由引理2.1知un在中有界，且由引理1.2知un在Ω上逐點收斂于u，由此可以抽序列{un}的子列，在這里仍記為{un}，存在u∈W1,p(Ω)

在W1,p(Ω)中un弱收斂于u，

在Lp(Ω)中un強收斂于u，

在Ω中un幾乎處處收斂于u，

由于un滿足下面的恒等式

結(jié)合（8）-（10）得

在式（13）中令n→∞，同時利用（11）式得

所以

在式（14）中令u-ξ=εψ，其中ψ是W1,p(Ω)中的任意函數(shù)，且ε＞0是一個常數(shù)，我們得到

［1］ Lazer A C，Mckenna P J.On a singular nonlinear elliptic boundary value problem［J］.Proc.Amer. Math.Soc.，1991，111（3）:721-730.

［2］ Lair A V，Shaker A W.Classical and weak solutions of a singular semilinear elliptic problem［J］.J. Math.Anal.Appl.，1997，211（2）:371-385.

［3］ Zhang Zhijun，Cheng Jiangang.Existence and optimalestimates ofsolutions forsingularnonlinear Dirichlet problems［J］.Nonlinear Anal.，2004，57（3）: 473-484.

［4］ Santos C A.Non-existence and existence of entire solutions fora quasilinearproblem with singular and super-linear terms［J］.Nonlinear Analysis，2010，72:3813-3819.

［5］ Chu Ying，Gao Wenjie.Existence of solutions to a class of quasilinear elliptic problems with nonlinear singular terms［J］.B.V.P.2013，2013:229.

Existence of Solutions to a Class of Quasilinear Elliptic Problem With Nonlinear Singular Term and Variable Exponent

CHU Ying，JIA Xiaoning
（School of Science，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022）

In this paper，we proved the existence of the solutions for the Dirichlet boundary value problem of quasilinear elliptic equation with singular term and variable exponent.Firstly，we constructed an approximation problem，using Sobolev embedding theorem and the supremum and infimum of the variable exponent to overcome difficulties arising from singular term，thus we prove the boundedness of the solution sequence for the approximation problem，then we solved the difficuties caused by p-Laplace operator by selecting the suitable test functions and a priori estimate technique，and with the help of the boundedness of solution sequence for the approximation problem，the sufficient conditions of the existence of solutions for this problem are obtained.By contrast，the approximation method we used in this paper is better than the upper and lower solution method in the past.

quasilinear elliptic problem；nonlinear singular term；variable exponent；existence

O175.2

A

1672-9870（2016）05-0123-04

2016-07-01

初穎（1984-），女，博士，講師，E-mail:chuying_12345@sina.com