Dirichlet級(jí)數(shù)的準(zhǔn)確級(jí)和型的系數(shù)重排

牛英春

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028000)

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Dirichlet級(jí)數(shù)的準(zhǔn)確級(jí)和型的系數(shù)重排

牛英春

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028000)

研究了Dirichlet級(jí)數(shù)的系數(shù)重排與Dirichlet級(jí)數(shù)增長性之間的關(guān)系.對(duì)整Dirichlet級(jí)數(shù)的準(zhǔn)確級(jí)進(jìn)行了研究，得到了使其保持不變的系數(shù)重排所滿足的條件；還研究了控制準(zhǔn)確級(jí)的型的指標(biāo)，得到了系數(shù)重排下，使準(zhǔn)確級(jí)的型及其范圍保持不變的充要條件.

Dirichlet級(jí)數(shù)；型；準(zhǔn)確級(jí)；重排

1 有關(guān)定義及定理

關(guān)于Dirichlet級(jí)數(shù)的系數(shù)重排與其和函數(shù)的級(jí)、型之間的關(guān)系，已有過一些研究：鄭少薇[1]得到了使級(jí)保持不變的重排特征；夏愛桃等[2-4]也曾在全平面及半平面上分別得到了Dirichlet級(jí)數(shù)的型保持不變的重排特征.那么，對(duì)于Dirichlet級(jí)數(shù)的準(zhǔn)確級(jí)及其型是否也在滿足一定條件的系數(shù)重排下保持不變呢？本文對(duì)此做了研究并得到了一系列的重排特征.

設(shè)Dirichlet級(jí)數(shù):

(1)

(2)

(3)

其中σa是級(jí)數(shù)(1)的絕對(duì)收斂橫坐標(biāo).于是級(jí)數(shù)(1)所表示的函數(shù)f(s)為一整函數(shù).

設(shè)

ρ稱為f(s)的(R)級(jí).

文獻(xiàn)[5]給出了如下定義：設(shè)級(jí)數(shù)(1)滿足條件(2)、(3)，若級(jí)數(shù)(1)的級(jí)ρ為有限，給出一種型函數(shù)U(σ)=e-σρ(σ)，其中ρ(σ)在σ≤σ0(σ0<0)上連續(xù)、其導(dǎo)數(shù)處處存在，且滿足：

則稱τ為f(s)關(guān)于(R)準(zhǔn)確級(jí)ρ(σ)的型.

定理1[6]設(shè)ρ(0<ρ<)級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)(1)滿足條件(2)、(3)，則:

定理2[2]設(shè)級(jí)數(shù)(1)在條件(2)、(3)下有:

文獻(xiàn)[4]中用一個(gè)重要指標(biāo)給出了型τ的范圍，很好地刻劃了τ的變化情形.

定理3[4]設(shè)f(s)是級(jí)數(shù)(1)表示的ρ(0<ρ<)級(jí)整函數(shù)，且滿足條件(3)，則：

于是，當(dāng)對(duì)級(jí)數(shù)(1)進(jìn)行系數(shù)重排時(shí)，τ的變化情形就被指標(biāo)ξ所決定.

2 主要結(jié)論

證明 由定理1、2即可得到.

引理1 對(duì)滿足條件(2)、(3)的有限ρ級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)(1)進(jìn)行系數(shù)重排π(n→n′)，當(dāng)重排滿足：

(4)

證明 必要性.由式(4)，對(duì)任取的ε>0，存在無窮多個(gè)n, 使得：

由重排π(n→n′)的一一對(duì)應(yīng)性，對(duì)無窮多個(gè)n′有：

(5)

而

(6)

代入式(5)得：

(7)

(8)

由式(7)、(8)得:

(9)

對(duì)無窮多個(gè)n成立.

利用式(9)的推導(dǎo)過程同理可得:

對(duì)充分大的n是成立的.

故

所以級(jí)數(shù)在條件(4)下系數(shù)重排時(shí)型τ保持不變.

令S={s1,s2，…},T={t1,t2,…}. 若S為一無限集，定義Dirichlet級(jí)數(shù)

其中

顯然f(s)在全平面上是解析的且滿足:

當(dāng)n∈S時(shí)，

(10)

若S為一有限集，則T必為一無限集.定義Dirichlet級(jí)數(shù)

其中

利用推導(dǎo)式(10)的類似方法可得:

故與已知條件矛盾，從而必要性得證.

由定理3、定理4、引理1容易得到：

[1] 鄭少薇.關(guān)于Dirichlet級(jí)數(shù)的系數(shù)重排[J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2000(1)：7-12.

[2] 夏愛桃.關(guān)于Dirichlet級(jí)數(shù)的型[J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003(1)：10-13.

[3] 南華.半平面上有限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)關(guān)于型函數(shù)地增長級(jí)[J].延邊大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003(1)：10-13.

[4] 許全華.Dirichlet級(jí)數(shù)所表示的整函數(shù)的(R)準(zhǔn)確級(jí)[J].數(shù)學(xué)年刊，1986，7A(3)：266-177.

[5] 莊圻泰.亞純函數(shù)的奇異方向[M].北京：科學(xué)出版社，1982.

[6]YUCY.Surlesdroitesdecertiansfunctionsentiéres[J].AnnScientécNormSup,3eseries,1951,68： 65-104.

[7] 黃志波，孫道椿.無限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2003，16(增)：65-69.

責(zé)任編輯：時(shí) 凌

Rearrangements of the Coefficients on the Proximate Order and Type of Dirichlet Series

NIU Yingchun

(College of Mathematics,Inner Mongolia University for Nationalties,Tongliao 028000,China)

The relationship between the growth of Dirichlet Series and rearrangments of its coefficients is studied.Proximate order and its type respectively are researched.The condition of rearrangements of coefficients that keeps the quantums unvarying is obtained.In addition,the index that controls the type of proximate order is studied and the condition of rearrangements of coefficients that keeps the type and its range unvarying is obtained.

Dirichlet series;type;proximate order;rearrangment

2016-09-18.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11461052)；內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2014BS0106).

牛英春(1972- )，男，碩士，副教授，主要從事函數(shù)論、算子理論、算子代數(shù)等的研究.

1008-8423(2016)03-0291-04

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.09.012

O174.52

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