一種改進(jìn)的B樣條翼型參數(shù)化方法

張 驥， 朱春鋼， 馮仁忠， 劉明明， 張恒洋

(1. 大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116024；2. 北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京 100083)

一種改進(jìn)的B樣條翼型參數(shù)化方法

張 驥1， 朱春鋼1， 馮仁忠2， 劉明明1， 張恒洋1

(1. 大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116024；2. 北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京 100083)

翼型設(shè)計(jì)是空氣動(dòng)力學(xué)研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容，翼型的參數(shù)化結(jié)果將影響翼型的優(yōu)化設(shè)計(jì)。為了減少翼型優(yōu)化中的設(shè)計(jì)變量，保證優(yōu)化結(jié)果的光滑性與C2連續(xù)，在優(yōu)化過(guò)程中控制翼型幾何特性的變化范圍，提出了一種改進(jìn)的B樣條參數(shù)化方法。用一條三次非均勻B樣條曲線表示翼型，翼型數(shù)據(jù)的參數(shù)化過(guò)程中主要運(yùn)用了B樣條曲線擬合算法，并且在一般的B樣條曲線擬合算法的基礎(chǔ)上加入了對(duì)曲線的法向約束，通過(guò)迭代得到最終的參數(shù)化結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法可以很好的擬合典型的翼型數(shù)據(jù)，得到的翼型參數(shù)化結(jié)果不僅光滑，滿足 C2條件，而且所得翼型函數(shù)的參數(shù)個(gè)數(shù)比傳統(tǒng)的參數(shù)化方法有了進(jìn)一步的減少，更有利于之后翼型的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

翼型；B樣條曲線；翼型參數(shù)化；翼型優(yōu)化

翼型設(shè)計(jì)是空氣動(dòng)力學(xué)研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容，翼型作為飛行器翼面部件的截面形狀，其幾何外形設(shè)計(jì)對(duì)整個(gè)翼面部件甚至是整個(gè)飛行器的性能均存在重要影響。隨著現(xiàn)代飛行器的設(shè)計(jì)要求越來(lái)越多，性能目標(biāo)不斷提高，在設(shè)計(jì)過(guò)程中必須對(duì)飛行器的幾何外形進(jìn)行精細(xì)化設(shè)計(jì)，因此對(duì)翼型的設(shè)計(jì)優(yōu)化提出了更高的要求。為了縮短研發(fā)周期，降低研發(fā)費(fèi)用，將基于氣動(dòng)性能數(shù)值計(jì)算的翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)方法與風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)相結(jié)合已成為目前翼型研究的發(fā)展方向[1-2]。

為了實(shí)現(xiàn)基于數(shù)值計(jì)算的翼型優(yōu)化，需要給出相應(yīng)的翼型參數(shù)化方法，即用含參數(shù)的翼型函數(shù)擬合由離散數(shù)據(jù)點(diǎn)表示的待優(yōu)化翼型，再選擇翼型函數(shù)的適當(dāng)參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，結(jié)合優(yōu)化算法與流場(chǎng)計(jì)算實(shí)現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)。在氣動(dòng)優(yōu)化過(guò)程中，翼型參數(shù)化方法的選擇除了影響優(yōu)化算法類型的選擇外，還影響計(jì)算時(shí)間和資源，設(shè)計(jì)空間的范圍及設(shè)計(jì)空間中翼型幾何外形是否光滑，設(shè)計(jì)空間中是否包含有意義的優(yōu)化結(jié)果，在保持結(jié)果有足夠的自由度和光滑性的前提下盡可能的減少設(shè)計(jì)變量。在設(shè)計(jì)優(yōu)化過(guò)程中，減少翼型的幾何表示參數(shù)可以簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)過(guò)程。因此需要采取合適的翼型參數(shù)化方法產(chǎn)生連續(xù)光滑的翼型幾何外形[3]。

現(xiàn)在典型的參數(shù)化方法主要包括Hicks-Henne外形函數(shù)法[4]、PARSEC參數(shù)化方法[5]、CST翼型參數(shù)化方法[6]和樣條參數(shù)化方法[7]。Hicks-Henne外形函數(shù)法具有很強(qiáng)的翼型外形控制能力；PARSEC參數(shù)化方法設(shè)計(jì)參數(shù)較少(11個(gè))，具有較好的魯棒性；CST翼型參數(shù)化方法能夠描述較大的設(shè)計(jì)空間；樣條參數(shù)化方法主要指通過(guò) Bézier曲線、B樣條曲線或非均勻有理B樣條(NURBS)曲線表示翼型曲線的方法，能夠?qū)η€外形進(jìn)行局部控制和光滑處理，如 Deng和 Feng[8]在 2011年提出的由4條首尾相接的有理Bézier曲線表示超臨界翼型的參數(shù)化方法。

隨著航空計(jì)算的快速發(fā)展，上述方法在某些方面已經(jīng)無(wú)法滿足現(xiàn)代飛行器外形的精細(xì)化設(shè)計(jì)需求：如Hicks-Henne外形函數(shù)法，優(yōu)化結(jié)果存在不光滑現(xiàn)象；PARSEC參數(shù)化方法對(duì)翼型外形控制能力差，不適用于精細(xì)化設(shè)計(jì)；CST翼型參數(shù)化方法魯棒性差，對(duì)超臨界翼型擬合效果不理想；而Ferguson樣條法[9]所得到的翼型函數(shù)不滿足C2條件。

B樣條方法在幾何外形設(shè)計(jì)中有著廣泛的應(yīng)用[10]，其中三次B樣條曲線以其次數(shù)不高、滿足C2連續(xù)性等良好性質(zhì)而成為最常用的曲線設(shè)計(jì)方法。利用 B樣條方法對(duì)于翼型進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計(jì)，曲線的局部調(diào)整性有利于之后的翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)，由于 B樣條曲線可以很容易擴(kuò)展到三維空間，更有利于機(jī)翼曲面參數(shù)化設(shè)計(jì)。2008年，Brakhage 和Lamby[11]對(duì)B樣條方法進(jìn)行翼型參數(shù)化進(jìn)行了較為詳盡的介紹。本文提出一種改進(jìn)的 B樣條翼型參數(shù)化方法，在一般的 B樣條方法的基礎(chǔ)上加入了法向約束，最終用一條四段三次非均勻 B樣條曲線表示翼型曲線。得到的翼型曲線的參數(shù)個(gè)數(shù)比一般的 B樣條方法有了進(jìn)一步的減少，所得翼型曲線光滑且滿足C2條件。

1 B樣條參數(shù)化方法

定義 1[12]. 設(shè) n+1個(gè)平面向量， Ni,p (t)是定義在節(jié)點(diǎn)向量上的p次 B樣條基函數(shù)(n≥p)，則稱：

為相應(yīng)于節(jié)點(diǎn)向量U的p次B樣條曲線，稱di為控制頂點(diǎn)，順序連接 d0,…,dn的折線段為控制多邊形。

由于三次B樣條曲線是應(yīng)用最廣泛的B樣條曲線，本文方法采用一條四段三次非均勻 B樣條曲線表示翼型曲線。根據(jù)如上B樣條曲線的定義，曲線 C (t)定義為：

其中定義樣條基函數(shù)的節(jié)點(diǎn)向量為：

其中， u1,u2,u3待定。此節(jié)點(diǎn)向量U確保了曲線C (t)在兩端插值于首末控制頂點(diǎn)d0與d6。

1.1 目標(biāo)函數(shù)

翼型的參數(shù)化就是反求 B樣條曲線 C (t)，即根據(jù)已知的翼型數(shù)據(jù)點(diǎn)設(shè)計(jì)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，反求曲線 C (t)的控制頂點(diǎn)，本文采用的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

表示給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，C′(ti)表示曲線在點(diǎn) C (ti)處的切向量，ni表示數(shù)據(jù)點(diǎn)pi處的單位法向量，X是設(shè)計(jì)參數(shù)向量，即曲線的控制頂點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)式(2)，可得：

其中，Nj,3(t)是三次B樣條基函數(shù)，為C(t)的控制頂點(diǎn)，因此可得：

目標(biāo)函數(shù) F(X)第一項(xiàng)表示數(shù)據(jù)點(diǎn)到參數(shù)曲線上距離的平方和，保證了參數(shù)化曲線與數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合的整體效果；第二項(xiàng)為法向約束，表示數(shù)據(jù)點(diǎn)的法線向量與參數(shù)曲線的切線向量的內(nèi)積和，確保參數(shù)曲線的切線向量與數(shù)據(jù)點(diǎn)的法向盡量垂直。λ為權(quán)系數(shù)，可以在區(qū)間［0,1］調(diào)節(jié)，但第一項(xiàng)為主項(xiàng)，λ不宜過(guò)大，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)將λ取做0.13。

1.2 數(shù)據(jù)點(diǎn)的法向量估計(jì)

為了求解目標(biāo)函數(shù)式(3)，需要首先估計(jì)數(shù)據(jù)點(diǎn)的法向量。簡(jiǎn)單的估計(jì)方法可以用數(shù)據(jù)點(diǎn)相鄰兩點(diǎn)的連線的垂線近似數(shù)據(jù)點(diǎn)的法向，但此方法產(chǎn)生的誤差較大。本文利用Jüttler和Felis[13]提出的方法來(lái)估計(jì)數(shù)據(jù)點(diǎn)的法向。

如圖1所示，方法主要分為2步：

(1) 對(duì)于點(diǎn)pi計(jì)算局部相關(guān)回歸線Li，即求解帶權(quán)的最小二乘問(wèn)題：

圖1 估計(jì)數(shù)據(jù)點(diǎn)法向量

(2) 選取一個(gè)新的笛卡爾坐標(biāo)系，以pi為原點(diǎn)，x軸平行于Li，用二次回歸曲線Ci逼近數(shù)據(jù)點(diǎn)，這條曲線是新坐標(biāo)系下的一條二次曲線，通過(guò)求解：

其中，pnj表示新坐標(biāo)系下的數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，可用二次曲線Ci在原點(diǎn)的法向量近似pi的法向量ni。為了使翼型曲線在前緣滿足切線方向垂直于x軸，使最左端前緣數(shù)據(jù)點(diǎn)的法向平行于x軸，估計(jì)出翼型數(shù)據(jù)點(diǎn)的法向量(圖2)。

圖2 翼型數(shù)據(jù)點(diǎn)的法向量

1.3 數(shù)據(jù)的初步處理

(1) 對(duì)給定的翼型數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行初步處理，將控制頂點(diǎn)d0設(shè)為翼型后緣上表面最后一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)值，再將控制頂點(diǎn)d6設(shè)為翼型后緣下表面最后一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)值。剩下需要確定的是控制頂點(diǎn)d1,…,d5。再利用1.2節(jié)的方法，估計(jì)各數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的法向量。

(2) 由累加弦長(zhǎng)法[14]，預(yù)估數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，即將數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)到參數(shù)區(qū)間［］0,1上，得到相應(yīng)參數(shù)，并且令t0= 0,tn=1。將節(jié)點(diǎn)向量中的u1設(shè)為翼型上弧線最高點(diǎn)的參數(shù)值，u2設(shè)為翼型前緣頂端數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)值，u3設(shè)為翼型下弧線最低點(diǎn)的參數(shù)值。

1.4 確定控制頂點(diǎn)坐標(biāo)

通過(guò)初步處理已經(jīng)確定了曲線的首末控制頂點(diǎn)，剩下需要確定的是控制頂點(diǎn) d1,…,d5，即通過(guò)優(yōu)化1.1節(jié)中所給出的目標(biāo)函數(shù)式(3)的過(guò)程，使其取得最小值：

其中，等式右端第一項(xiàng)

關(guān)于xdk求偏導(dǎo)有(k=1,…,5)：

利用B樣條曲線的定義，式(5)右端第二項(xiàng)在節(jié)點(diǎn)區(qū)間ti∈[Uq,Uq +1]上有(其中Uq表示節(jié)點(diǎn)向量第q個(gè)節(jié)點(diǎn)的值，其中q取3～6)：

其中，

關(guān)于xdk求偏導(dǎo)有：

其中

綜上，F(xiàn)(X)對(duì)關(guān)于xdk求偏導(dǎo)有：

同理可得：

令 F(X)關(guān)于xdk,ydk(k=1,…,5)的偏導(dǎo)數(shù)為零，得到法方程組：

式(6)為含有10個(gè)未知數(shù)10個(gè)方程的方程組，通過(guò)求解可以得到控制頂點(diǎn)的坐標(biāo)從而確定控制頂點(diǎn)。

1.5 誤差計(jì)算和參數(shù)的重新選擇

誤差是衡量參數(shù)化結(jié)果好壞的標(biāo)準(zhǔn)，本文中所給的誤差均指在翼型弦長(zhǎng)為1時(shí)各數(shù)據(jù)點(diǎn)到參數(shù)曲線的距離之中的最大值。此外由于數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)化對(duì)曲線的形狀以及擬合效果具有非常重要的作用，而初始的參數(shù)化方法并不一定理想，因此在初始計(jì)算的基礎(chǔ)上需要對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)重新參數(shù)化并重新計(jì)算控制頂點(diǎn)以改善擬合效果，而重新參數(shù)化數(shù)據(jù)點(diǎn)的過(guò)程可以與計(jì)算擬合誤差同步進(jìn)行。

本文使用基于幾何特征的快速迭代法[15]計(jì)算點(diǎn)到曲線的距離。如圖 3所示，求一點(diǎn)p到曲線C(t)的距離，即希望找到滿足 C(t)與p之間距離最小的參數(shù)tp，一般根據(jù)幾何關(guān)系可知，矢量ρ=(p-C(tp))必須與曲線在C(tp)點(diǎn)處的切線方向垂直，即滿足(p-C (tp))·C′(tp)=0，其中。此方法通過(guò)給定初始參數(shù)值tp,0，通過(guò)迭代逐漸逼近tp。其算法如下：

圖3 點(diǎn)到曲線的距離

在計(jì)算誤差過(guò)程中同時(shí)更新數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)值，用tp替代數(shù)據(jù)點(diǎn)的原參數(shù)值，再用1.4節(jié)的方法求出在新參數(shù)值下的新控制頂點(diǎn)，重復(fù)1.4節(jié)與1.5節(jié)的方法，直到誤差收斂。此時(shí)得到的即為最終的翼型函數(shù)。

2 算法與實(shí)例

圖4為利用三次非均勻B樣條曲線進(jìn)行翼型參數(shù)化的算法流程圖。采用圖 4所示的算法，對(duì)EPPLER 398翼型進(jìn)行參數(shù)化。表1給出具體的迭代次數(shù)以及每次迭代后的擬合誤差。

圖4 算法流程圖

表1 計(jì)算次數(shù)與誤差

從表1中可以看出，誤差在第343次計(jì)算達(dá)到收斂，至此也就確定了參數(shù)曲線的控制頂點(diǎn)坐標(biāo)。翼型的參數(shù)化過(guò)程見圖5。

圖5 EPPLER 398翼型的參數(shù)化過(guò)程

將這種參數(shù)化方法應(yīng)用于其他一些典型的翼型數(shù)據(jù)。圖6是對(duì)NACA 65(2)-215翼型的參數(shù)化過(guò)程，表 2給出了一些典型翼型的參數(shù)化誤差，以及參數(shù)化的計(jì)算時(shí)間(算法在 VS2013平臺(tái)使用C++編程實(shí)現(xiàn)，這里的計(jì)算時(shí)間均是在CPU頻率為3.20 Hz，內(nèi)存為4 GB的PC機(jī)上運(yùn)行得出)。

圖6 NACA 65(2)-215翼型的參數(shù)化過(guò)程

表2 各翼型函數(shù)的誤差與計(jì)算時(shí)間

由表1發(fā)現(xiàn)，雖然最終翼型函數(shù)的誤差較小，但誤差的收斂速度比較慢。經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)，對(duì)于一般的翼型一般需要迭代 300～400次才能收斂。但本文方法的計(jì)算時(shí)間是可以控制的，從表 2可以看出，一般翼型的參數(shù)化都可以在1 s左右得出結(jié)果。

表3 RAE 2822翼型的參數(shù)化結(jié)果

表4 NACA640-110翼型的參數(shù)化結(jié)果

3 結(jié)論與展望

根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對(duì)于大多數(shù)翼型，本文方法的擬合精度可達(dá)到 10–3～10–4，滿足機(jī)翼外形曲線擬合以及隨后生成機(jī)翼參數(shù)曲面的要求，所得到的翼型函數(shù)具有多項(xiàng)優(yōu)點(diǎn)：光滑且滿足C2條件、函數(shù)所含的設(shè)計(jì)變量較少(共 10個(gè))、可以在較短時(shí)間內(nèi)收斂到參數(shù)化結(jié)果。

但為了達(dá)到氣動(dòng)力性能設(shè)計(jì)的要求，擬合誤差需要小于 7×10–4，即翼型的精確表示[11]。將本文方法簡(jiǎn)單推廣到多段(多于四段)[16]，就可以得到一般的改進(jìn)翼型三次 B樣條參數(shù)化方法，達(dá)到精確表示翼型的要求。表3和表4分別給出了RAE 2822翼型和NACA64-110翼型利用本文算法和典型參數(shù)化方法[17]的參數(shù)化結(jié)果。對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)本文所提出的改進(jìn)的 B樣條參數(shù)化方法的參數(shù)個(gè)數(shù)明顯少于傳統(tǒng)的參數(shù)化方法，而將本文方法推廣得到的多段改進(jìn) B樣條參數(shù)化方法不僅可以滿足氣動(dòng)力性能設(shè)計(jì)的要求，而且在擬合精度和參數(shù)個(gè)數(shù)方面都比傳統(tǒng)的參數(shù)化方法有所提高。

在接下來(lái)的工作中，將進(jìn)一步改進(jìn)算法，增加能量約束[18]，并將算法推廣，使得算法可以根據(jù)翼型數(shù)據(jù)點(diǎn)規(guī)模和曲率自適應(yīng)選取 B樣條曲線控制頂點(diǎn)個(gè)數(shù)(即分段數(shù))，從而達(dá)到氣動(dòng)力性能設(shè)計(jì)的要求。最后還將把算法推廣到三維上，用 B樣條曲面對(duì)飛行器翼面進(jìn)行擬合，從而給出機(jī)翼的函數(shù)表示。

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An Improved Method for Airfoil Parameterization by B-Sp line

Zhang Ji1, Zhu Chungang1, Feng Renzhong2, Liu Mingm ing1, Zhang Hengyang1

(1. School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology, Dalian Liaoning 116024, China; 2. School of Mathematics and Systems Science, Beihang University, Beijing 100083, China)

Airfoil design is a crucial issue of aerodynam ic research, the parameterization of airfoil will affect the airfoil optimization design. In order to reduce the number of variables in the airfoil optim ization, eliminate the unfairness phenomenon, preserve the C2continuity condition, and control the geometric characteristics of the airfoil in the optim ization process, in this paper, we present an improved method for airfoil parameterization by B-spline. The method represents airfoil by a cubic non-uniform B-spline curve. Fitting of airfoil data by B-spline curve is mainly by least square method and the normal constraints. And the final result is obtained by iteration. Experiments show that the proposed method can be well fitted to the typical airfoil data, the resulting curve is fair and C2continuity, and has few parameters of airfoil function compared with the classical airfoil parametric methods.

airfoil; B-spline curves; airfoil parameterization; airfoil optim ization

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2016030342

A

2095-302X(2016)03-0342-07

2015-11-05；定稿日期：2015-12-01

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11271060, 11290143)；民用飛機(jī)專項(xiàng)項(xiàng)目(MJ-F-2012-04)；中央基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目(DUT16LK38)；遼寧省高等學(xué)校優(yōu)秀人才支持計(jì)劃項(xiàng)目(LJQ2014010)

張 驥(1990–)，男，江蘇鹽城人，碩士研究生。主要研究方向?yàn)橛?jì)算幾何。E-mail：jizhang1990@gmail.com

朱春鋼(1977–)，男，北京人，教授，博士。主要研究方向?yàn)橛?jì)算幾何與計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。E-mail：cgzhu@dlut.edu.cn