集合的基本概念與表示方法

李斌

“集合”這一節(jié)內(nèi)容是進(jìn)入高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的敲門(mén)磚，而“集合”這兩個(gè)字是大家都不陌生的詞語(yǔ)。學(xué)校一般進(jìn)入高一前都會(huì)進(jìn)行軍訓(xùn)，而教官使用頻率較高的詞語(yǔ)就有“集合”，通常會(huì)說(shuō)“一連集合”“一連女生集合”“一連男生集合”等等。這些都是關(guān)于“集合”在生活中的應(yīng)用。

一、集合的理解

教材上是這樣定義集合的：一般的，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合（簡(jiǎn)稱集）。比如在軍訓(xùn)中的“一連女生集合”中的一連每一個(gè)女生就是一個(gè)元素，而一連中所有的女生就構(gòu)成一個(gè)集合。這樣看感覺(jué)集合很簡(jiǎn)單，但是要理解集合要從以下幾方面來(lái)理解：

1.集合中的元素具有確定性：比如說(shuō)“漂亮的女生”就不是一個(gè)集合，因?yàn)槊恳粋€(gè)人評(píng)價(jià)漂亮的標(biāo)準(zhǔn)不同，就會(huì)出現(xiàn)張三覺(jué)得漂亮，王五覺(jué)得不漂亮這種情況，因此就無(wú)法判斷該女生是否在該集合內(nèi)，這就與集合元素的確定性相悖。簡(jiǎn)單地說(shuō)就是一個(gè)元素要么屬于集合，要么不屬于集合，二者必居其一，且只居其一。

2.集合中的元素具有互異性：比如：5∈1，m+2，m2+4，則m的取值集合為1，-1，3。這是錯(cuò)誤的，因?yàn)槿绻鹠取的值是-1，那么原集合就變成了1，1，5，這里的兩個(gè)1相同，就與集合元素的互異性矛盾。也就是說(shuō)若元素a屬于集合A，元素b屬于集合A，則元素a不等于元素b。

3.集合中的元素具有無(wú)序性：a，b與b，a表示同一個(gè)集合。也就是說(shuō)集合中元素的位置沒(méi)有前后左右之分。

二、集合的表示方法

1.列舉法：常用于表示有限集，就是把集合中的所有元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在花括號(hào)“ ”內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法。比如要表示“中國(guó)的直轄市”可以用集合表示為北京市，天津市，上海市，重慶市；要表示小于11的所有自然數(shù)組成的集合可以表示為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10；要表示由方程x2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合可以表示為0，1；要表示1～19以內(nèi)的所有素?cái)?shù)組成的集合可以表示為2，3，5，7，11，13，17等等，這些有限集都可以用列舉法來(lái)表示。用它來(lái)表示集合簡(jiǎn)潔明了，一目了然，但只能表示有限集，且有限集里面的元素盡量少才能表示。

2.描述法：常用于表示無(wú)限集，把集合所含元素的共同特征在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。這種表示集合的方法叫做描述法。即：x|P（x為該集合的元素的一般形式，P為這個(gè)集合的元素的共同屬性）比如：x|y=x2表示函數(shù)y=x2的定義域即為R，y|y=x2表示函數(shù)的值域即為非負(fù)數(shù)集，（x，y）|y=x2表示的是函數(shù)y=x2的圖像拋物線上所有點(diǎn)集合。這三個(gè)集合看起來(lái)相同，實(shí)際上大相徑庭，因此教學(xué)時(shí)一定要強(qiáng)調(diào)代表元素的重要性。又比如要表示不等式x-3>2的解集可以表示為x|x-3>2；要表示二次函數(shù)y=x2-15圖像上的所有點(diǎn)組成的集合可以表示為（x，y）|y=x2-15；要表示方程x2+y2+4x-6y+13=0的解集可以表示為（x，y）|x2+y2+4x-6y+13=0等等，這些集合都可以用描述法來(lái)表示，而對(duì)于方程x2+y2+4x-6y+13=0的解集，它既可以用列舉法也可以用描述法來(lái)表示，如果用列舉法表示就是（-2，3），這表示集合中有且只有一個(gè)元素，即

（-2，3）。顯然，用列舉法表示集合時(shí)，豎線前的代表元素非常關(guān)鍵，還有就是后面的描述也非常關(guān)鍵，一旦描述得不同，結(jié)果就有可能完全不同了，因此一定要認(rèn)真讀題，仔細(xì)分析。用描述法來(lái)表示集合不僅表達(dá)比較簡(jiǎn)潔，而且能把元素間的相互關(guān)系表達(dá)清楚，因此描述法是表示集合的一種重要方法。

3.自然語(yǔ)言法：顧名思義就是用自然語(yǔ)言來(lái)描述集合的一種方法。例如：我國(guó)從1992～2016年內(nèi)所發(fā)射的所有人造衛(wèi)星；重慶市酉陽(yáng)第一中學(xué)校在2016年9月1日入學(xué)的所有高一學(xué)生；方程x2+y2+4x-6y+13=0的所有實(shí)數(shù)根；到直線l的距離等于定長(zhǎng)d的所有點(diǎn)的集合等等。這些都是用自然語(yǔ)言表示集合的例子。用自然語(yǔ)言可以表示所有的集合。

4.圖示法：為了形象表示集合，我們常常畫(huà)一條封閉的曲線（或者說(shuō)圓圈），用它的內(nèi)部表示一個(gè)集合。這樣可以形象直觀地表示集合，通常用于處理抽象集合間的相互關(guān)系。

5.常用數(shù)集及表示法：R：實(shí)數(shù)集；Q：有理數(shù)集；Z：整數(shù)集；N：自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集）；N*正整數(shù)集；？準(zhǔn)：空集；C：復(fù)數(shù)集。

一旦掌握了集合的定義和集合的表示方法后，關(guān)于集合概念的問(wèn)題就會(huì)迎刃而解了，因此，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該多舉形象生動(dòng)的例子，讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)其中的深意。

參考文獻(xiàn)：

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