數(shù)學(xué)概念教學(xué)具體策略初探

赫曉玲

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的主要組成部分，是構(gòu)建數(shù)學(xué)大廈的基石，是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和判斷的主要工具。數(shù)學(xué)概念是對(duì)一類數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的反映，是學(xué)生不斷感知經(jīng)驗(yàn)的活動(dòng)過(guò)程，是主體對(duì)客體的不斷加工、修正，最終達(dá)到主體對(duì)客體的建構(gòu)過(guò)程。學(xué)生在對(duì)概念進(jìn)行構(gòu)建的過(guò)程中，既離不開(kāi)對(duì)客體的感性認(rèn)識(shí)，也離不開(kāi)對(duì)客體的理性認(rèn)識(shí)，是從感性認(rèn)識(shí)達(dá)到理性抽象的認(rèn)識(shí)過(guò)程。同時(shí)，還需要了解概念的內(nèi)涵和外延，對(duì)概念能夠恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行表征。另外，學(xué)生要將所學(xué)概念納入已有的認(rèn)知系統(tǒng)，明了此概念與其他知識(shí)，特別是其他概念之間的關(guān)系，建立彼此之間牢固的認(rèn)知系統(tǒng)?；谝陨蠈?duì)概念學(xué)習(xí)的整體認(rèn)識(shí)，我們?cè)谶M(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，建議采取“感知活動(dòng)→理性抽象→定義概念→表征概念→構(gòu)建系統(tǒng)”這樣的具體教學(xué)策略。

“感知活動(dòng)”是數(shù)學(xué)概念形成的基礎(chǔ)。這些“基礎(chǔ)”有的來(lái)源于學(xué)生已有的學(xué)科知識(shí)，有的來(lái)源于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，有的來(lái)源于教師的操作演示，有的來(lái)源于以上幾方面的結(jié)合，等等。學(xué)習(xí)是一種特殊的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，它符合由具體到抽象、由特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律。因此，在教學(xué)數(shù)學(xué)概念時(shí)，教師應(yīng)努力為學(xué)生準(zhǔn)備大量豐富的學(xué)習(xí)材料，密切結(jié)合學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，找準(zhǔn)新舊知識(shí)的對(duì)接點(diǎn)，同時(shí)還應(yīng)給予學(xué)生充分的獨(dú)立觀察和思考的時(shí)間，以便學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)“基礎(chǔ)”達(dá)到“整體感知”的目的。同時(shí)，教師還應(yīng)關(guān)注所選擇的“基礎(chǔ)”材料的典型性、豐富性、統(tǒng)一性和差異性，以利于學(xué)生明確概念的內(nèi)涵和外延。

“理性抽象”是數(shù)學(xué)概念形成的理性提升。概念是以感知經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的。概念的形成應(yīng)依據(jù)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，但又應(yīng)是思維的結(jié)果，即需要理性抽象。這種“理性提升”要求教師在教學(xué)數(shù)學(xué)概念時(shí)，在學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)材料進(jìn)行“整體感知”的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)感知活動(dòng)進(jìn)行理性思考，即對(duì)感知內(nèi)容進(jìn)行去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里地分析、歸納和概括，從而抽象出學(xué)習(xí)材料的共同的、本質(zhì)的屬性，并能夠?qū)@些本質(zhì)屬性進(jìn)行言語(yǔ)描述和說(shuō)明，即能夠給概念下定義。

“概念定義”是數(shù)學(xué)概念形成的言語(yǔ)表達(dá)。數(shù)學(xué)概念通常通過(guò)定義進(jìn)行準(zhǔn)確表達(dá)，用數(shù)學(xué)所特有的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言加以表述，簡(jiǎn)練、準(zhǔn)確、清晰、科學(xué)。數(shù)學(xué)概念具有科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性等特點(diǎn)，即數(shù)學(xué)概念要有明確的內(nèi)涵和外延。概念的內(nèi)涵是指反映概念中對(duì)象的本質(zhì)屬性，概念的外延是指具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對(duì)象。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法。任何概念的定義都離不開(kāi)三個(gè)部分：被定義項(xiàng)（Ds），定義聯(lián)項(xiàng)（“就是”），定義項(xiàng)（Dp）。但在具體敘述時(shí)，表達(dá)的方式可以多種多樣。高中數(shù)學(xué)中的絕大多數(shù)概念都有嚴(yán)格的定義，了解這些概念是如何進(jìn)行定義的，有助于我們厘清概念所反映的事物的本質(zhì)屬性。從概念定義的方法我們不難看出，不論哪種定義方法，都是對(duì)概念內(nèi)涵的揭示（這里不做詳細(xì)說(shuō)明）。

“概念表征”是數(shù)學(xué)概念形成的符號(hào)系統(tǒng)。這種“符號(hào)系統(tǒng)”是指數(shù)學(xué)概念在人腦中記載和呈現(xiàn)的方式，它與學(xué)生對(duì)概念的理性抽象結(jié)果有著密切的關(guān)系，是學(xué)生對(duì)理性抽象結(jié)果的符號(hào)表示。這種表示同時(shí)具有兩種側(cè)面：概念性側(cè)面與程序性側(cè)面，即數(shù)學(xué)概念是過(guò)程與結(jié)構(gòu)的耦合體。實(shí)踐證明，截然把數(shù)學(xué)概念分為過(guò)程或結(jié)構(gòu)是不可能的，在談及一個(gè)側(cè)面時(shí)，必然要涉及另一個(gè)側(cè)面。概念表征要求我們?cè)诮虒W(xué)數(shù)學(xué)概念時(shí)，既應(yīng)給學(xué)生以結(jié)構(gòu)化的理論，也應(yīng)讓學(xué)生通過(guò)活動(dòng)獲得經(jīng)驗(yàn)，做到二者的有機(jī)結(jié)合。例如，函數(shù)、極限等數(shù)學(xué)概念，在學(xué)生頭腦中的表征并非完全是靜態(tài)的，而是一種“過(guò)程—對(duì)象”的耦合體。它們既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的結(jié)果性，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的過(guò)程性。

“構(gòu)建系統(tǒng)”是數(shù)學(xué)概念形成的重要標(biāo)志。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是十分復(fù)雜的過(guò)程，不僅僅涉及對(duì)概念自身結(jié)構(gòu)的理解，還涉及對(duì)概念間關(guān)系的掌握。教師需要幫助學(xué)生將新學(xué)的概念納入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并形成相對(duì)穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，這才是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的終極目標(biāo)。一方面，大多的概念都是以某概念為中心，以“概念群”的形式出現(xiàn)。從心理學(xué)角度看，這些不同概念之間的聯(lián)系，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念的意義是從多種情境中提取出來(lái)的，要分析每一種情境又不能只用一種概念，而要用到幾種概念。概念的學(xué)習(xí)就是組成一個(gè)由概念作為節(jié)點(diǎn)，由關(guān)系作為紐帶的概念體系，每一個(gè)概念都具有一定的復(fù)雜程度，只有在與其他概念所形成的網(wǎng)絡(luò)中才能全面理解它，例如，復(fù)數(shù)的概念。另一方面，數(shù)學(xué)概念不是一個(gè)一個(gè)孤立的，概念與概念之間是相互聯(lián)系的，這種聯(lián)系是概念網(wǎng)絡(luò)的重要組成部分。沒(méi)有聯(lián)系，概念網(wǎng)絡(luò)也就不存在，聯(lián)系的豐富性與穩(wěn)定性影響學(xué)生對(duì)概念的理解。概念的網(wǎng)絡(luò)具有縱向和橫向兩個(gè)維度，縱向反映概念的“層次性”，橫向反映概念的“豐富性”。概念的網(wǎng)絡(luò)是易動(dòng)的、發(fā)展的，是可以激活的、搜索的。

概念是思維的細(xì)胞，它是基本而重要的。沒(méi)有概念，就不可能進(jìn)行判斷、推理和證明。因此，掌握一門科學(xué)，首先必須掌握這門科學(xué)的概念。此外，判斷是由概念構(gòu)成的，推理是由判斷構(gòu)成的，論證又是由判斷和推理構(gòu)成的，因此，概念是構(gòu)成判斷、推理和論證的“基本元件”，它是其他思維形式的基礎(chǔ)，學(xué)好數(shù)學(xué)概念，是學(xué)好其他數(shù)學(xué)知識(shí)，乃至學(xué)好其他學(xué)科知識(shí)的前提。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊曉紅.高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略的研究[D].上海師范大學(xué)，2011.

[2]姜燕.高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)案例研究[D].四川師范大學(xué)，2012.