《簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃》教學(xué)設(shè)計(jì)

王丹

一、教學(xué)指導(dǎo)思想與理論依據(jù)

線性規(guī)劃是利用數(shù)學(xué)為工具，來(lái)研究在一定的人、財(cái)、物、時(shí)、空等資源條件下，如何安排，達(dá)到用最少的資源取得最大的效益。目前所學(xué)的線性規(guī)劃只是規(guī)劃論中極小的一部分，但這部分內(nèi)容，也能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具性、應(yīng)用性，為學(xué)生今后解決實(shí)際問(wèn)題提供了一種重要的解題方法——數(shù)學(xué)建模法。重點(diǎn)是介紹線性規(guī)劃的有關(guān)概念和利用圖解法求解。難點(diǎn)是圖解法求最優(yōu)解的探索過(guò)程。

二、教學(xué)背景分析

1.教學(xué)內(nèi)容分析

本課時(shí)是本節(jié)內(nèi)容的第二課時(shí)，是本節(jié)的核心內(nèi)容。第一課時(shí)即二元一次不等式表示平面區(qū)域，為本課時(shí)的學(xué)習(xí)做好了知識(shí)上的準(zhǔn)備。第三課時(shí)線性規(guī)劃的應(yīng)用更是以本課時(shí)內(nèi)容為基礎(chǔ)展開(kāi)的。

2.學(xué)生情況分析

本節(jié)課是對(duì)二元一次不等式的深化和再認(rèn)識(shí)、再理解，進(jìn)一步了解二元一次不等式組在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。如果直接向?qū)W生介紹目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，考慮到他們的接受能力，用數(shù)學(xué)游戲來(lái)滲透，設(shè)置一系列問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的探索欲望。

3.教學(xué)方式：自主探究、合作探究及教師引導(dǎo)相結(jié)合。

4.教學(xué)手段：計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)。

三、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

1.知識(shí)與技能：了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；會(huì)用圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值。

2.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、作圖和滲透化歸，用數(shù)學(xué)的意識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。通過(guò)對(duì)“線性規(guī)劃”的歷史及應(yīng)用的大致介紹，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）引入：組織學(xué)生做選盒子的游戲活動(dòng)

師：在下圖的方格中，每列（x）與每行（y）的交匯處都放有一個(gè)盒子，每次你只能選其中的一個(gè)盒子，每個(gè)盒子對(duì)應(yīng)一個(gè)分值，即為你的得分，而且該分值與盒子所在的行數(shù)和列數(shù)有關(guān)，且每次的關(guān)系式在變化，你會(huì)選哪個(gè)盒子分值最高？

第一次：分值=x+y（即：列數(shù)+行數(shù)）

第二次：分值=y-2x（即：行數(shù)-列數(shù)×2）

師：出圖3，在圖中找出函數(shù)b=2x+y的最大值？

學(xué)生沿用上面計(jì)算的方法顯然很復(fù)雜，于是學(xué)生的思維產(chǎn)生“結(jié)點(diǎn)”，引出課題，提出何為線性（即為一次的），怎么規(guī)劃（即求函數(shù)的最值），這是本節(jié)課的研究重點(diǎn)。

（二）獨(dú)思共議，引導(dǎo)探究方法

引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，分析目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值。

師：出圖4，學(xué)生合作探究討論如下問(wèn)題：

問(wèn)題1：點(diǎn)（1，1）所對(duì)應(yīng)的b值為多少？還有哪些點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的b值與之相同？

問(wèn)題2.哪些點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的b值為6？

問(wèn)題3.有沒(méi)有點(diǎn)對(duì)應(yīng)的b值為200？

問(wèn)題4.b的取值應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？

問(wèn)題5.哪個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的b值最大？為什么？

問(wèn)題6.如何求出b的最大值？

b的幾何意義是什么？

學(xué)生：b實(shí)質(zhì)上為與陰影區(qū)域有公共點(diǎn)的這些斜率為-2的直線在y軸上的截距。

師：如果這個(gè)問(wèn)題重新給你，還用不用再找一個(gè)點(diǎn)試一試呢？（不用）那解決該題的方法是什么呢？

（三）變式思考，深化探究思路

已知x-4y≤-33x+5y≤25x≥1，求z=2x+y的最大值和最小值.

（設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般，利用數(shù)形結(jié)合，尋求解題思路。）

通過(guò)學(xué)生將直線化成斜截式的直線形式，做直線并平移，觀察縱截距的最大值的回答過(guò)程。

由圖3找出最大值的鋪墊，學(xué)生就很自然地得到了解決線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法。

一般的，已知某個(gè)二元一次不等式組，如何求目標(biāo)函數(shù)z=Ax+By（B≠0）的最值？

（四）形成一般方法

1.畫(huà)；2.移；3.求；4.答。

思考題：學(xué)生的午餐和晚餐關(guān)系著學(xué)生的身心健康，某校高一年級(jí)，一個(gè)單位的營(yíng)養(yǎng)配餐中有如下成分：

午餐（個(gè)/單位）：碳水化合物12，蛋白質(zhì)6，維生素C為6。

晚餐（個(gè)/單位）：碳水化合物8，蛋白質(zhì)6，維生素C為10。

午餐和晚餐中至少含有碳水化合物、蛋白質(zhì)和維生素C分別為64個(gè)單位、42個(gè)單位和54個(gè)單位才能滿(mǎn)足學(xué)生正常成長(zhǎng)的營(yíng)養(yǎng)需要。一份午餐為10元，晚餐為16元，求預(yù)定多少單位午餐和晚餐所用費(fèi)用最節(jié)省的情況下滿(mǎn)足營(yíng)養(yǎng)要求。

師生活動(dòng)，建立數(shù)學(xué)模型

（五）回顧歷史，感受文化

“線性規(guī)劃之父”——“丹齊克”

“數(shù)學(xué)的戰(zhàn)爭(zhēng)”——“波斯灣戰(zhàn)爭(zhēng)”