多重隨機環(huán)境中的馬爾可夫鏈

費時龍

(宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,安徽宿州234000)

多重隨機環(huán)境中的馬爾可夫鏈

費時龍

(宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,安徽宿州234000)

引入了多重隨機環(huán)境中的馬爾可夫鏈,討論了多重隨機環(huán)境中的馬爾可夫鏈的若干性質(zhì),給出了多重隨機環(huán)境中的馬爾可夫鏈的幾個應(yīng)用背景.證明了多重隨機環(huán)境中的馬爾可夫鏈的一個存在性定理,獲得了多重隨機環(huán)境中的馬爾可夫鏈若干等價描述.

隨機環(huán)境;多重馬氏鏈;股市預(yù)測;人口預(yù)測

0 引言

馬爾可夫鏈是隨機過程中歷史最悠久且至今仍然充滿活力的一個分支.特別是對時間齊次的馬爾可夫鏈(以下稱為經(jīng)典馬氏鏈)的研究已取得了較為完善的結(jié)果,具有深厚的理論基礎(chǔ),在許多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用背景,如現(xiàn)代物理、生物學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、網(wǎng)絡(luò)理論、保險學(xué)等.簡單地說,經(jīng)典馬氏鏈主要是研究轉(zhuǎn)移函數(shù)具有確定的情形;然而,現(xiàn)實世界中還大量存在著許多不確定情形,因此需要對經(jīng)典馬氏鏈模型進行推廣.Cogburn首先考慮到轉(zhuǎn)移函數(shù)會受到一個隨機因素的干擾,引入了隨機環(huán)境中的馬爾可夫鏈(以下簡稱MCRE).自20世紀80年代以來,MCRE的理論得到了長足的發(fā)展,國內(nèi)外許多學(xué)者對此進行了廣泛的研究并取得了很多豐富的成果.剛開始的研究主要是集中在MCRE的兩種特殊模型,即隨機環(huán)境中的隨機游動與隨機環(huán)境中的分支過程,詳見文獻［1-6］.在此基礎(chǔ)上,MCRE的一般理論的研究得到了較好的發(fā)展.Cogburn在MCRE的狀態(tài)分類［7-8］、平穩(wěn)分布［9］、中心極限定理［10］等方面獲得了豐富的研究成果.Orey［11］對Cogburn等人的工作進行了總結(jié)和評價,同時得到類似于經(jīng)典馬氏鏈理論方面的結(jié)果并提出了一些公開的問題讓大家研究解答.丁萬鼎［12］研究了MCRE的構(gòu)造并討論了MCRE與馬氏性的關(guān)系.胡迪鶴［13-14］分別討論了MCRE的構(gòu)造與隨機環(huán)境中q-過程的存在唯一性.李應(yīng)求［15-16］研究了MCRE與馬氏雙鏈的關(guān)系.關(guān)于MCRE的詳細介紹可參考文獻［17］.本文主要是在MCRE的研究基礎(chǔ)上對MCRE模型進行推廣,引入了多重隨機環(huán)境中的馬爾可夫鏈模型,討論了多重MCRE的一些性質(zhì),給出了多重MCRE的一些應(yīng)用.例1給出了多重MCRE在股市預(yù)測中的應(yīng)用背景;例2給出了多重MCRE在人口預(yù)測中的應(yīng)用背景;例3、例4給出了兩種特殊的多重MCRE(二重隨機環(huán)境中的隨機游動);例5應(yīng)用定理1.3的結(jié)果給出了多重MCRE在產(chǎn)品銷售預(yù)測模型中的應(yīng)用.

1 多重MCRE的模型與性質(zhì)

(i)固定θm及xm,p(θm;xm,·)是A上的一個概率測度,

(ii)固定θm及A∈A,p(θm;·,A)關(guān)于Am可測,

(iii)固定xm及A∈A,p(·;xm,A)關(guān)于?m可測,

(iV)對每個固定的A∈A,p(·;·,A)關(guān)于?m×Am可測,

則稱p(·;·,·)為一個m重隨機馬爾可夫核.

下面定理1.1將討論m重隨機環(huán)境中的馬氏鏈的幾個等價條件,定理1.2將給出隨機環(huán)境中的馬氏鏈、m重隨機環(huán)境中的馬氏鏈、n重隨機環(huán)境中的馬氏鏈之間的相互關(guān)系.

定理1.1下列條件等價.

注1.2由注1.1及定理1.2知MCRE必然是m重MCRE,從而m重隨機環(huán)境中的馬爾可夫鏈是隨機環(huán)境中的馬爾可夫鏈模型的推廣.它的直觀想法為:系統(tǒng)未來(n+m時刻)的演變規(guī)律只與最近一段時間內(nèi)(n時刻到n+m-1時刻)系統(tǒng)所處的狀態(tài)和環(huán)境有關(guān),而與過去較長時間(n時刻之前)無關(guān).

下面給出該模型的幾個應(yīng)用背景.

例1(股票價格預(yù)測模型)設(shè)Xn,n=0,1,2,···表示在n時刻某種股票的價格.顯然若不考慮環(huán)境因素的變化且假定未來的股票價格只與現(xiàn)在有關(guān)而與過去無關(guān),則Xn為一個馬氏鏈.一般的情況,若未來的股票價格不僅與現(xiàn)在有關(guān),還與現(xiàn)在到過去一段時間(不妨設(shè)為m個單位時間)內(nèi)的股票價格有關(guān),則Xn為一個m重馬氏鏈.更為一般的,若進一步考慮外部環(huán)境(如經(jīng)濟政策、公司經(jīng)營狀況、市場環(huán)境等因素)的變化,即假定未來的價格會受到一段時間(不妨設(shè)為m個單位時間)內(nèi)外部環(huán)境的影響,則Xn為一個m重隨機環(huán)境中的馬氏鏈.因此,m重隨機環(huán)境中的馬氏鏈對于股票價格預(yù)測模型具有更符合實際的情形.

例2(人口預(yù)測模型)設(shè)Xn,n=0,1,2,···表示n時刻的人口數(shù)量.在理想的情況下,若假設(shè)未來的人口數(shù)量只與現(xiàn)在的人口數(shù)量有關(guān),而與過去的人口數(shù)量無關(guān),則Xn為一個馬氏鏈.考慮到人的大致生育年齡段和死亡年齡段,假設(shè)未來的人口數(shù)量不僅與現(xiàn)在有關(guān),還與現(xiàn)在到過去一段時間(不妨設(shè)為m個單位時間)內(nèi)的人口數(shù)量有關(guān),則Xn為一個m重馬氏鏈.更為一般的,若進一步考慮自然環(huán)境因素的影響,即假定未來的人口數(shù)量會受到從現(xiàn)在到過去一段時間(不妨設(shè)為m個單位時間)內(nèi)的自然環(huán)境的影響,則Xn為一個m重隨機環(huán)境中的馬氏鏈.因此,m重隨機環(huán)境中的馬氏鏈對于人口預(yù)測模型具有更合理的情形.

例3(空間隨機環(huán)境中直線上二重緊鄰的隨機游動)設(shè)e={(ξi,ηi)}i∈Z為一列定義在概率空間(Ω,F,P)上取值于(0,1)2上的二維隨機向量序列,若滿足條件

則稱{Xn,n≥0}為空間隨機環(huán)境e中直線上二重緊鄰的隨機游動.

例4(時間隨機環(huán)境中直線上二重緊鄰的隨機游動)例3中的轉(zhuǎn)移函數(shù)是空間位置的隨機變量函數(shù),若將其替換成時間的隨機變量函數(shù),即滿足條件

則稱{Xn,n≥0}為時間隨機環(huán)境e中直線上二重緊鄰的隨機游動.

下面定理1.3討論m重隨機環(huán)境中馬爾可夫鏈的存在性,并討論m重隨機環(huán)境中的馬氏鏈、m重馬爾可夫鏈和馬爾可夫鏈之間的相互關(guān)系.

由定理1.3中的(iV)與(V)知:通過擴大相空間維數(shù)的方法,我們可以利用m重馬爾可夫鏈與馬爾可夫鏈的相關(guān)理論工具研究m重隨機環(huán)境中的馬爾可夫鏈.下面給出該方法的一個應(yīng)用.

例5(產(chǎn)品銷售預(yù)測模型)企業(yè)在產(chǎn)品生產(chǎn)過程中需要對未來的銷售情況進行預(yù)測,以便為企業(yè)的生產(chǎn)規(guī)模提供合理的理論依據(jù).為簡單起見,現(xiàn)將銷售狀態(tài)看成兩種情形:以“Xn=1”表示在n時刻產(chǎn)品“暢銷”;以“Xn=0”表示在n時刻產(chǎn)品“滯銷”.再將市場環(huán)境狀態(tài)也看成兩種情形:以“ξn=1”表示在n時刻市場環(huán)境“良好”;以“ξn=0”表示在n時刻市場環(huán)境“惡化”.顯然若不考慮市場環(huán)境序列的變化(即將市場環(huán)境序列固定),且未來的銷售狀態(tài)只與當(dāng)前的銷售狀態(tài)有關(guān),則{Xn,n≥0}為一個馬氏鏈.但更一般的情況,若市場環(huán)境序列{ξn,n≥0}是隨機變化的,且未來的銷售狀態(tài)不僅與當(dāng)前的銷售狀態(tài)有關(guān),還與當(dāng)前到過去的m個單位時間銷售狀態(tài)及市場環(huán)境有關(guān),則可將{Xn,n≥0}看成是m重隨機環(huán)境{ξn,n≥0}中的馬氏鏈,從而多重隨機環(huán)境中的馬氏鏈具有更廣泛的適用范圍.下面利用定理1.3的有關(guān)性質(zhì)給出求P(Xn+1=1)及P(Xn+1=0)的方法.

求解方法不失一般性,不妨設(shè)m=2,并假定環(huán)境序列{ξn,n≥0}為時齊的2重馬氏鏈.我們可以通過對市場調(diào)查獲得其轉(zhuǎn)移概率(如通過轉(zhuǎn)移頻數(shù)近似轉(zhuǎn)移概率),設(shè)為

由于{ξn,n≥0}為具有2個狀態(tài)的時齊的2重馬氏鏈,故{(ξn+1,ξn),n≥0}為一個具有4個狀態(tài)的時齊的馬氏鏈.利用二進制的方法可將{(ξn+1,ξn),n≥0}的4個狀態(tài)分別對應(yīng)為:(0,0)?0,(0,1)?1,(1,0)?2,(1,1)?3,其轉(zhuǎn)移概率矩陣為

由轉(zhuǎn)移概率矩陣(9)及{(ξn+1,ξn),n≥0}的初始分布((ξ1,ξ0)的分布),并再利用馬氏鏈的相關(guān)理論即可求出(ξn+1,ξn)的分布,進而由關(guān)系式

即可求出ξn+1的分布.同理,我們可以通過對歷史數(shù)據(jù)的調(diào)查獲得如下的轉(zhuǎn)移概率.設(shè)

再根據(jù)定理1.3知{(Xn+1,Xn,ξn+1,ξn),n≥0}為一個具有16個狀態(tài)的時齊的馬氏鏈.我們可以利用上式獲得其轉(zhuǎn)移概率矩陣,再根據(jù){(Xn+1,Xn,ξn+1,ξn),n≥0}的初始分布即可求出{(Xn+1,Xn,ξn+1,ξn),n≥0}的分布.從而利用全概率公式便可得到P(Xn+1= 1)及P(Xn+1=0)的求解公式(這里由于轉(zhuǎn)移概率矩陣形式較復(fù)雜,省略具體求解表達式).

2 定理的證明

本節(jié)將給出定理1.1、定理1.2、定理1.3的證明,首先給出下列引理.

引理2.1［17］設(shè)(Ei,εi)為可測空間,Wi是概率空間(Ω,F,P)上的Ei值隨機元(i= 1,2,3),fi是Ei上的有界可測函數(shù)(i=1,2,3),C是F中的子σ-代數(shù),W1與W2關(guān)于C條件獨立,W3關(guān)于C/ε3可測,f3是(E2×E3,ε2×ε3)上的有界可測函數(shù),則

定理1.1的證明(a)??(b)由定義1.2顯然,下證(b)?(c).設(shè)

首先證明對任意的k≥1,有

這里A∈A,Bi∈?,1≤i≤k,n≥0.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明式(10)、式(11).當(dāng)k=1時,在式(2)中令A(yù)=χ可得式(10)成立.將k=1時的式(10)的結(jié)論代入式(11),可得當(dāng)k=1時式(11)成立.設(shè)式(10)、式(11)對k成立,則對k+1時,有

由式(2)和注1.2得

由歸納假設(shè)的式(10)對k成立知{ξn+m,···,ξn+m+k-1}與{X0,···,Xn+m-1}關(guān)于條件獨立.由式(11)對k成立及式(12)可知{ξn+m,···,ξn+m+k-1}與Xn+m關(guān)于Fn+m-1條件獨立.現(xiàn)將Xn+m看成引理2.1中的W1,將{ξn+m,···,ξn+m+k-1}看成引理2.1中的W2,將看成引理2.1中的W3,將Fn+m-1看成引理2.1中的C,則由引理2.1可得

利用式(12)、式(13)、式(14)、式(15)式可得

特別地,在式(16)中令A(yù)=χ得式(10)對k+1成立,將式(10)對k+1成立的結(jié)論帶入式(16)可得式(11)對k+1也成立,從而式(10)、式(11)成立.由式(10)和式(11)可得對中的所有柱集,式(3)成立,由單調(diào)類定理易證明式(3)成立.

再令A(yù)=χ得

由式(17)和式(18)易得式(4)成立.在式(18)中令n=0得式(5)成立,故(c)?(d)得證.

下證(d)?(b).設(shè)式(4)和式(5)成立,則對k＜n及有界可測函數(shù)f,有

利用式(5),對有界可測函數(shù)g,h,有

故ξk+m與{X0,X1,···,Xn+m-1}關(guān)于條件獨立.因此

從而有

故(d)?(b)得證.

定理1.2的證明若p(·;·,·)為一個m重隨機馬爾可夫核,則記

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(責(zé)任編輯李藝)

The multiple Markov chains in random environments

FEIShi-long
(School of Mathematics and Statistics,Suzhou University,Suzhou Anhui 234000,China)

The multiple Markov chains in random environments were introduced and several properties and application backgrounds of the multiple Markov chains in random environments were given.An existence theorem on the multiple Markov chains in random environments was p roved and several equivalent conditions of the multiple Markov chains in random environments were presented.

random enveronments;the multiple Markov chains;stock market prediction;population prediction

O 211.62

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2016.01.010

1000-5641(2016)01-0081-10

2014-12

高校優(yōu)秀青年人才支持計劃重點項目(gxyqZD2016340);安徽省自然科學(xué)研究項目(KJ2013 B288);宿州學(xué)院青年人才基金(2013XQRL04);安徽省創(chuàng)新訓(xùn)練項目(AH201410379079, AH201410379077)

費時龍,男,碩士,講師,主要研究方向為概率論與數(shù)理統(tǒng)計.E-mail:fsl627@sina.com.