上三角矩陣代數(shù)上的Jordan 全可導(dǎo)點(diǎn)

孫愛慧

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林四平136000)

上三角矩陣代數(shù)上的Jordan 全可導(dǎo)點(diǎn)

孫愛慧

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林四平136000)

Zhao和Zhu證明了如下結(jié)果：復(fù)數(shù)域上的任意上三角矩陣代數(shù)中的每一矩陣都是Jordan全可導(dǎo)點(diǎn).本文將證明：特征不為2的無限域上的任意上三角矩陣代數(shù)中的每一矩陣都是Jordan全可導(dǎo)點(diǎn).

Jordan全可導(dǎo)點(diǎn);導(dǎo)子;上三角矩陣代數(shù);三角代數(shù)

0 引言

設(shè)R為一個(gè)有單位元的交換環(huán),A為R上的一個(gè)代數(shù).我們總是用1A表示A中的單位元,令X°Y=X Y+YX,設(shè)n≥2為一個(gè)固定的整數(shù).

設(shè)φ:A→A是一個(gè)R-線性映射.若對(duì)任意的X,Y∈A,都有φ(X°Y)=φ(X)° Y+X°φ(Y)成立,則稱φ是一個(gè)導(dǎo)子.設(shè)G∈A.若對(duì)任意的X,Y∈A,且X Y=G,有φ(X°Y)=φ(X)°Y+X°φ(Y)成立,則稱φ在G點(diǎn)Jordan可導(dǎo).如果每一個(gè)在G點(diǎn)Jordan可導(dǎo)的線性映射都是一個(gè)導(dǎo)子,則稱G是一個(gè)Jordan全可導(dǎo)點(diǎn)(見文獻(xiàn)［1］).

Zhao和Zhu在文獻(xiàn)［1］中應(yīng)用算子代數(shù)的方法證明了如下結(jié)果：復(fù)數(shù)域上的任意上三角矩陣代數(shù)的每一個(gè)元素都是全可導(dǎo)點(diǎn).本文將使用代數(shù)方法證明：特征不為2的無限域上的任意上三角矩陣代數(shù)中的每一矩陣都是Jordan全可導(dǎo)點(diǎn).

1 主要結(jié)論

定理特征不為2的無限域上的任意上三角矩陣代數(shù)中的每一矩陣都是Jordan全可導(dǎo)點(diǎn).

在證明定理之前,我們需要如下引理：

引理［2］設(shè)F是一個(gè)無限域,Τn(F)是F上的一個(gè)n×n上三角矩陣代數(shù).設(shè)φ是Τn(F)上的一個(gè)F-線性映射.假設(shè)對(duì)于任意的可逆元X∈Τn(F)有φ(X)=0,則φ=0.

證明假設(shè)對(duì)于任意的可逆陣X∈Τn(F)有φ(X)=0.任取A∈Τn(F),由于F是無限域,則存在λ∈F,使得λ1Τn(F)-A是可逆的.由假設(shè)我們有φ(λ1Τn(F)-A)=0,以及φ(1Τn(F))=0,因此φ=0.證畢.

下面我們給出定理的證明.

定理證明設(shè)F是一個(gè)特征不為2的無限域,Τn(F)是F上的一個(gè)n×n的上三角矩陣代數(shù),又設(shè)G∈Τn(F),假定φ:Τn(F)→Τn(F)是一個(gè)Jordan可導(dǎo)的F-線性映射.我們的目標(biāo)是證明φ是一個(gè)導(dǎo)子.

設(shè)A=Τr(F),M=Mr,t(F),B=Τt(F),此處r+t=n,則Τn(F)可看成一個(gè)三角代數(shù)(關(guān)于三角代數(shù)的定義及性質(zhì),參見文獻(xiàn)［3-5］).設(shè),令

由上式兩邊展開后得：

我們分五步來證明:

第一步將證明:fM=0=fB,gA=0=gM.

對(duì)于任意的m∈M以及非零的λ∈F,在(1)式中取a1=λ1A,m1=m0-λm,b1=b0, a2=λ-1a0,m2=m,b2=1B,則有

由于F是一個(gè)無限域,則由上面的等式得到:對(duì)于任意的m∈M有2fM(m)+ 2fB(1B)=0.易見fM(m)=0,從而fM=0.

對(duì)任意的可逆元b∈B,以及非零的λ∈F,在(1)式中取a1=1A,m1=0,b1=λb0b-1, a2=a0,m2=m0,b2=λ-1b,則有

由于F是一個(gè)無限域,則由上面的等式得到:2fB(b)=0,從而fB(b)=0.由引理可知fB=0.類似地,由(3)式可得gA=0=gM.

第二步我們證明:hA=0=hB.

對(duì)任意的可逆元a∈A以及非零的λ∈F,在(2)式中取a1=a,m1=λm0,b1=λb0, a2=a-1a0,m2=0,b2=λ-11B,并利用關(guān)系hB(1B)=0,可得

由于F是一個(gè)無限域,由上面的等式可得hA(a)=0.再由引理可得hA=0.類似地,由(2)式可得hB=0.

第三步將證明:對(duì)于任意的a∈A,m∈M,b∈B,有

對(duì)任意的可逆元b∈B,m∈M以及非零的λ∈F,在(2)式中取a1=1A,m1=m, b1=λ-1b0b-1,a2=a0,m2=m0-λm b,b2=λb,可得

由于F是一個(gè)無限域,由上面的等式可得：

再由引理可知等式(4)成立.

第四步將證明：對(duì)于任意的a∈A,m∈M,b∈B,都有

首先假設(shè)G/=0.由(4)式可見只需證明fA(1A)=0=gB(1B).在(4)式中令a=1A,則對(duì)于任意的m∈M,有fA(1A)m=m gB(1B).根據(jù)文獻(xiàn)［3,Proposition 3］可得

另一方面,由于φ在G點(diǎn)Jordan可導(dǎo),并且1Τn(F)G=G,則有

因此,φ(1Τn(F))°G=0.又由F的特征不為2,可得φ(1Τn(F))G=0.考慮G/=0可得φ(1Τn(F))=0.即fA(1A)=0=gB(1B).

第五步最后證明fA與gB均為導(dǎo)子.

利用第四步的結(jié)果可見,對(duì)于任意的a1,a2∈A,m∈M有

另一方面,對(duì)于任意的a1,a2∈A,m∈M,都有

由上述兩個(gè)等式可得,對(duì)于任意的a1,a2∈A,有

由于M是一個(gè)左忠實(shí)A-模,可得fA(a1a2)-fA(a1)a2-a1fA(a2)=0,即fA為導(dǎo)子.同理可得gB也為導(dǎo)子.綜合上述步驟,由［4,引理5］可得φ是一個(gè)導(dǎo)子.

［1］ZHAO S,ZHU J.Jordan all-derivable points in the algebra of all upper triangular matrices［J］.Linear Algebra Appl,2010,433:1922-1938.

［2］ZHU J. Characterization of all-derivable points in nest algebras ［J］. proc Amer Math Soc, 2013, 141: 2343-2350.

［3］CHEUNG W S. Commuting maps of triangular algebras ［J］. J London Math Soc, 2001, 63(1): 117-127.

［4］CHEUNG W S. Lie derivations of triangular algebras ［J］. Linear and Multilinear Algebra, 2003, 51(3): 299-310.

［5］梁才學(xué),朱軍,趙金平.三角代數(shù)上的廣義Jordan高階導(dǎo)子［J］.杭州電子科技大學(xué)學(xué)報(bào),2011,31(2):82-85.

(責(zé)任編輯林磊)

Jordan all-derivable points in upper triangular matrix algebras

SUN Ai-hui
(College of Mathematics,Jilin Normal University,Siping Jilin 136000,China)

Zhao and Zhu proved the following result:Every matrix in upper triangular matrix algebras over the com p lex number field is a Jordan all-derivable point.The aim of this paper is to show that every matrix in upper triangular matrix algebras over an in finite field of characteristic not 2 is a Jordan all-derivable point.

Jordan all-derivable point;derivation;upper triangular matrix algebra; triangular algebra

O 153.3

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2016.01.005

1000-5641(2016)01-0039-04

2014-11

國家自然科學(xué)基金(11301215);吉林省科技廳青年科研基金(20130522094H)

孫愛慧,女,碩士,副教授,研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué).E-mail:sunaihui2002@126.com.