辮子群的q-組合式

胡紅梅

(華東師范大學數(shù)學系,上海200241)

辮子群的q-組合式

胡紅梅

(華東師范大學數(shù)學系,上海200241)

從標準R-矩陣和適當選取的相互對偶的辮子群出發(fā),作者在［1］中利用雙重玻色化定理刻畫了ABCD型量子包絡代數(shù)Uq(g)的遞歸構造.本文詳細刻畫在這些遞歸構造中,辮子群的生成元在更高一秩的新量子群中的表達式,它們是關于單根向量的q-組合式形式.

R-矩陣;遞歸構造;q-組合式;辮子群;FRT-型生成元

0 引言

Majid在擬三角霍普夫代數(shù)的表示構成的辮子張量范疇的框架下重新理解了Rad ford的雙積,建立了玻色化理論［2-5］.之后,Majid又在文章［6］中發(fā)展了雙重玻色化理論,這個理論不僅改進了FRT-構造［7］,而且也將Drinfeld在文章［8］中建立的量子雙重理論推廣到由辮子群的一個弱擬三角對偶對所伴隨的廣義量子雙重理論.雙重玻色化理論是建立在由擬三角的霍普夫代數(shù)(H,R)的表示構成的辮子張量范疇中的.簡略地來說,從兩個相互對偶的辮子群出發(fā),然后通過雙重玻色化理論在張量空間上存在唯一的更大的新量子群結構,它由H通過附加的“正根”B和附加的“負根”擴張而成,其中兩個玻色化都是這個新量子群的子霍普夫代數(shù).特別地,從李代數(shù)g的根格Q和對偶根格Q∨出發(fā),Majid建立了一個弱擬三角對偶對,然后把量子群的正負部分Uq(n±)看成“Cartan”部分H的表示范疇里的相互對偶的辮子群,利用上面的雙重玻色化理論實現(xiàn)了文章［9］中的Uq(g).另一方面,當H是經典型量子包絡代數(shù)Uq(g)時,依據弱擬三角對偶對,通過Oq(G)的余表示范疇中相互對偶的辮子(余)向量代數(shù)來得到Uq(g)的表示范疇中相互對偶的辮子群,作者證實了這個新的量子群是更高一秩的量子包絡代數(shù),且給出了具體的遞歸構造過程［1］.本文中作者將通過這些構造來分別具體刻畫每種構造中的辮子群V(R′,R)和的生成元在新量子群中的表達式,它們都是關于新量子群的單根向量的q-組合式形式.

1 ABCD型量子包絡代數(shù)的遞歸構造

首先簡述一下在文章［1］中關于ABCD型量子包絡代數(shù)的雙重玻色化的遞歸構造.引言中出現(xiàn)的是擴張的量子包絡代數(shù)［10］,它可以被粗略地理解成由形如的群像元所伴隨的更大的量子包絡代數(shù).Oq(G)是相應類型的李群的坐標代數(shù)的量子化,它是FRT-雙代數(shù)A(R)的商霍普夫代數(shù)［7］.在文章［6］中證明了這兩個霍普夫代數(shù)構成弱擬三角對偶對,對偶關系式是,其中R是相應的標準R-矩陣,具體定義將在下面給出.λ被稱為量子群正規(guī)化常數(shù),稱為的FRT-型生成元.Majid在文章［11］中討論A(R)的余表示構成的辮子范疇時引入了如下的相互對偶的辮子向量代數(shù)V(R′,R)和辮子余向量代數(shù).

定義1.1［11］設R是任意一個可逆的R-矩陣,R′是另一個可逆矩陣,且滿足:這里的P是置換矩陣.V(R′,R)由1和{ei|i=1,···,n}生成,且滿足關系左余作用使得它是辮子范疇A(R)M中的辮子群,稱為辮子向量代數(shù),其辮子群的結構是

定理1.2［1］設R是ABCD型標準R-矩陣.當R是A-型時,選取R′=q-2R;當R是BCD-型時,選取R′=RPR-(∈q∈-N+1+q2)R+(∈q∈-N+3+1)P(BD-型對應的∈=1,C-型對應的∈=-1).其中當N是偶數(shù)時,令N=2n;當N是奇數(shù)時,令N=2n+1.雙重玻色化構造得到的新量子群有如下的交叉關系式和余積

(1)A-型

B,C,D型的向量表示的量子群正規(guī)化常數(shù)λ=q-1.

(2)B-型

將辮子群中的元素e2n+1,f2n+1,及矩陣m+中的元素分別同構等同為新增加的單根向量En+1,Fn+1以及群像元Kn+1,那么利用雙重玻色化構造得到的新的量子群同構于量子包絡代數(shù)Uq(so2n+3).

(3)C-型

將辮子群中的e2n,f2n,以及元素同構等同為新的單根向量En+1,Fn+1以及群像元Kn+1,則就同構于由所伴隨的量子包絡代數(shù)Uq(sp2n+2).

(4)D-型

將辮子群中的e2n,f2n,以及元素同構等同為新的單根向量En+1,Fn+1以及群像元Kn+1,則就同構于由所伴隨的量子包絡代數(shù)Uq(so2n+2).

下面我們就來探究上面定理的每種遞歸構造中的辮子向量代數(shù)和辮子余向量代數(shù)V(R′,R),中的生成元在新量子群中的表達式.由定義1.1可知辮子向量代數(shù)和辮子余向量代數(shù)V(R′,R),是由一對矩陣數(shù)據(R,R′)決定的.不同的R,R′矩陣對應不同的辮子群.

2 辮子群的q-組合式

我們將利用新量子群在定理1.2中的交叉關系式(1)和(2)來探究辮子群在這些新量子群中的表達式.首先我們來考慮上面的A型的遞歸構造中的辮子群在新量子群中的表達式.在接下來的內容中我們用的標準R-矩陣同有些文獻(例如［9］,［10］)中的標準R-矩陣是P°*°P的關系.我們也定義一個記號［x,y］q:=xy-qyx.

A-型的標準R-矩陣中的每個元素的表達式為

命題2.1定理1.2的(1)中將辮子群中的生成元en+1,fn+1同構等同為新量子群中的單根向量En+1,Fn+1后,則辮子群和V(R′,R)中其余生成元在新量子群中的表達式是如下的q-組合式形式.

從這些表達式可以觀察到

然后再根據R-矩陣中的元素的取值(4),可得

然后將關系式(7)代入,可得

同樣再由新量子群中的交叉關系可得

將這些關系式分別代入(8),(9)中,可得

從而得到了關系式(5)和(6),命題得證.

接下來我們將分別考慮BCD型的遞歸構造中辮子群的生成元在新量子群中的表達式.首先給出BCD型的標準R-矩陣中的每一個元素的取值表達式

對應B-型,∈=∈1=···=∈2n+1=1.并且當i＜n+1時,;當i=n+1時, ρn+1=0;當i＞n+1時,.根據(12)式可知B-型的標準R-矩陣中一些位置元素的具體取值.首先根據可知,如果i+j/=2n+2,或者l+k/=2n+2,則.因此對于任意的i,j,我們有

命題2.2定理1.2的(2)中將辮子群中的生成元e2n+1,f2n+1同構等同為新量子群Uq(so2n+3)中的單根向量En+1,Fn+1后,則辮子群和V(R′,R)中其余生成元在新量子群中的表達式是如下的q-組合式形式.

當1≤i≤n-1,i+j=2n+2時,則n+3≤j≤2n+1?n+2≤j-1≤2n.依據新量子群中的交叉關系和上面的R-矩陣的取值可得

然后再根據新量子群中如下兩個交叉關系式

則關系式(21)就變?yōu)?/p>

命題2.3定理1.2的(3)中將辮子群中的生成元e2n,f2n同構等同為新量子群Uq(sp2n+2)中的單根向量En+1,Fn+1后,則辮子向量余代數(shù)和辮子向量代數(shù)V(R′,R)中其余生成元在新量子群中的表達式是如下的q-組合式形式.

證明對應Uq(sp2n)的向量表示,我們需要的中的FRT-型生成元以及一些關系式在文章［1］中已經給出,下面我們先羅列出這些元素.

當i+j=2n+1,1≤i≤n-1時,則n+2≤j≤2n?n+1≤j-1≤2n-1.同理依據新量子群中的交叉關系式以及R-矩陣中元素的取值,證明的具體過程類似.下面我們主要給出依據的交叉關系式以及得到的結論.根據R-矩陣的取值,我們可以得到下面這些具體的交叉關系等式:

依據這些等式,可證得(27)式.同時為了證明等式(28),我們主要依據下面的交叉關系式:

而另一方面,我們再根據R-矩陣中元素的取值,以及雙重玻色化遞歸構造中新量子群的交叉關系式,可得到下面的等式:

再依據這些等式可得證(29)式.而表達式(30)-(32)可類似得證.

命題2.4定理1.2的(4)中將辮子群中的生成元e2n,f2n同構等同為新量子群Uq(so2n+2)中的單根向量En+1,Fn+1后,則辮子群和V(R′,R)中其余生成元在新量子群中的表達式是如下的q-組合式形式.

證明對應Uq(so2n)的向量表示,我們需要的中的FRT-型生成元以及一些關系式同樣在文章［1］中已經得到了,羅列如下:

當i+j=2n+1,1≤i≤n-1時,則n+2≤j≤2n?n+1≤j-1≤2n-1.同理依據新量子群中的交叉關系式以及R-矩陣中元素的取值,我們得到如下的關系式:

然后依據這些關系式,可證明得到關系式(40).為了得到en的表達式,我們考慮下面的交叉關系式,其中用到的取值.

因此我們得到下面的這些關系式:

依據這些等式,可以得證關系式(41).而另一方面,我們再依據R-矩陣的取值,又得到下面的關系式:

它們可以用來得到關系式(42).而表達式(43)-(45)可類似得證.

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(責任編輯林磊)

The q-commutators of b raided groups

HU Hong-mei
(Department of Mathematics,East China Normal University,Shanghai 200241,China)

With the standard R-matrices and suitably chosen a pair of dual braided groups,the authors gave the rank-inductive constructions of Uq(g)for the ABCD series via the double-bosonization theory in［1］.This paper described exp licitly the expressions for the generators of braided groups in the new higher rank-one quantum groups in these constructions,which are the q-commutators With the simple root vectors.These q-commutators are very important to the structure of new quantum groups.

R-matrix;rank-inductive construction;q-commutator;braided group; FRT-generator

O152.2

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2016.01.002

1000-5641(2016)01-0009-10

2015-04

國家自然科學基金(11271131)

胡紅梅,女,博士研究生,研究方向為量子群及其表示理論.E-mail:hmhu0124@126.com.