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    例談構(gòu)造函數(shù)在導(dǎo)數(shù)解題中的應(yīng)用

    2022-05-19 10:04:22江蘇省宿豫中學(xué)羅偉
    關(guān)鍵詞:奇函數(shù)換元單調(diào)

    ■江蘇省宿豫中學(xué) 羅偉

    導(dǎo)數(shù)是高考命題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一,可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明不等式、求參數(shù)的取值范圍、探究函數(shù)的零點(diǎn)等問(wèn)題,命制的題目具有結(jié)果獨(dú)特、綜合性強(qiáng)等特點(diǎn),而構(gòu)造函數(shù)是解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的基本方法,如何合理地構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵,下面舉例談?wù)剺?gòu)造函數(shù)的一些常用方法。

    題型一、構(gòu)造可導(dǎo)的積的形式函數(shù)

    例1已知函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),且當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)+xf'(x)<0 成立,a=20.2·f(20.2),b=logπ3·f(logπ3),c=log39·f(log39),則a,b,c的大小關(guān)系為()。

    A.a>b>cB.a>c>b

    C.c>b>aD.b>a>c

    解析:因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),所以函數(shù)y=xf(x)為奇函數(shù)。因?yàn)閇xf(x)]'=f(x)+xf'(x),所以當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)<0,函數(shù)y=xf(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),函數(shù)y=xf(x)單調(diào)遞增。因?yàn)?<20.2<2,0<logπ3<1,log39=2,所以0<logπ3<20.2<log39,所以b>a>c。故選D。

    點(diǎn)評(píng):如果題設(shè)條件滿足結(jié)構(gòu)f'(x)g(x)+f(x)g'(x),可以構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)g(x)。例如:(1)對(duì)于f'(x)+f(x)>0(<0),可構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex·f(x);(2)對(duì)于xf'(x)+f(x)>0(<0),可構(gòu)造函數(shù)h(x)=x·f(x);(3)對(duì)于xf'(x)+nf(x)>0(<0),可構(gòu)造函數(shù)h(x)=xn·f(x)等。

    題型二、構(gòu)造可導(dǎo)的商的形式函數(shù)

    例2已知定義在R 上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有f(x)>f'(x),且y=f(x)-1為奇函數(shù),則不等式f(x)<ex的解集為()。

    A.(-∞,0)B.(0,+∞)

    C.(-∞,e4)D.(e4,+∞)

    解析:因?yàn)閥=f(x)-1為奇函數(shù),且定義域?yàn)镽,所以f(0)-1=0,得f(0)=1。設(shè)h(x)=,則h'(x)=,因?yàn)閒(x)>f'(x),所以h'(x)<0,所以h(x)是R 上的減函數(shù),所以不等式f(x)<ex等價(jià)于,所以x>0。故選B。

    題型三、對(duì)局部進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)

    例3已知函數(shù)f(x)=,若x0<1,設(shè)直線y=g(x)為函數(shù)f(x)的圖像在x=x0處的切線,求證:f(x)≤g(x)。

    證明:函數(shù)f(x)的圖像在x=x0處的切線方程為y=g(x)=f'(x0)(x-x0)+f(x0)。

    令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0)+f(x0),x∈R,則h'(x)=f'(x)-f'(x0)=。

    設(shè)φ(x)=-(1-x0)ex,x∈R,則φ'(x)=-(1-x0)ex。

    因?yàn)閤0<1,所以φ'(x)<0,所以φ(x)在R 上單調(diào)遞減。

    因?yàn)棣?x0)=0,所以當(dāng)x<x0時(shí),φ(x)>0,h'(x)>0;當(dāng)x>x0時(shí),φ(x)<0,h'(x)<0。

    所以h(x)在區(qū)間(-∞,x0)上為增函數(shù),在區(qū)間(x0,+∞)上為減函數(shù),故x∈R時(shí),h(x)≤h(x0)=0,故f(x)≤g(x)。

    點(diǎn)評(píng):對(duì)于一類(lèi)不等式的證明或求參數(shù)問(wèn)題,若直接構(gòu)造函數(shù)無(wú)法解決,則我們可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)·g(x)或,其中f(x)與g(x)某一個(gè)函數(shù)可明顯判斷出與零的大小關(guān)系,則另外一個(gè)函數(shù)即為構(gòu)造對(duì)象,可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程,順利解決問(wèn)題。

    題型四、先放縮再構(gòu)造函數(shù)

    例4設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b為常數(shù)),曲線y=f(x)與直線y=在點(diǎn)(0,0)處相切。

    (1)求a,b的值;

    (2)求證:當(dāng)0<x<2時(shí),f(x)<。

    解析:(1)a=0,b=-1。(過(guò)程略)

    (2)當(dāng)x>0 時(shí),由均值不等式得<x+2,故+1。

    所以f(x)=ln(x+1)+-1<ln(x+1)+。

    當(dāng)0<x<2時(shí),h'(x)<0,所以h(x)在(0,2)內(nèi)是減函數(shù)。

    點(diǎn)評(píng):若待求的函數(shù)式較為復(fù)雜時(shí),可利用函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式、已成立的不等式等將函數(shù)式的一部分進(jìn)行放縮,然后再構(gòu)造函數(shù),這樣可以獲得事半功倍的效果。例如:要證f(x)<g(x)?f(x)<h(x)(新構(gòu)造的函數(shù))<g(x);或f(x)>g(x)?f(x)>h(x)(新構(gòu)造的函數(shù))>g(x)。

    題型五、變形后再構(gòu)造函數(shù)

    例5已知函數(shù)f(x)=kx,g(x)=,若不等式f(x)≥g(x)在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

    解析:f(x)≥g(x)在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,即kx2-lnx≥0在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,令h(x)=kx2-lnx(x>0),則h'(x)=。

    (1)若k≤0,顯然h(x)≥0不恒成立。

    點(diǎn)評(píng):對(duì)于一類(lèi)指數(shù)式的不等式,可以先對(duì)不等式兩邊取對(duì)數(shù),進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,使函數(shù)式得以化簡(jiǎn),再構(gòu)造函數(shù);或者對(duì)主元的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行換元,將分式化為整式進(jìn)行換元,這樣可以簡(jiǎn)化構(gòu)造的函數(shù)。例如:本題如果直接構(gòu)造函數(shù)h(x)=kx-,極值點(diǎn)不能具體求出,需要整體代換,過(guò)程相對(duì)復(fù)雜,沒(méi)有上述方法簡(jiǎn)潔易行。

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