數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入單元測試題

■河北省棗強(qiáng)中學(xué) 郭統(tǒng)福

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數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入單元測試題

■河北省棗強(qiáng)中學(xué) 郭統(tǒng)福

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的)

A.1 B.3 C.-4 D.-5

3.若復(fù)數(shù)z滿足(2-i)z=|1+2i|，則z的虛部為( )。

4.復(fù)數(shù)z滿足(1+2i)z=4+ai(a∈R，i是虛數(shù)單位)，若復(fù)數(shù)z的實部與虛部相等則a等于( )。

A．第四象限 B．第三象限

C．第二象限 D．第一象限

A．圓 B．橢圓

C．雙曲線 D．拋物線

A.-15 B.3 C.-3 D.15

8.i+i2+i3+…+i2 014=( )。

A.1+i B.-1-i

C.1-i D.-1+i

9.“復(fù)數(shù)z為實數(shù)”的充分而不必要條件是( )。

A．復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第一象限

C．若復(fù)數(shù)z1=z+b(b∈R)為純虛數(shù)，則b=4

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)

16.給出下列的命題：

(1)若z∈C，則z2≥0；

(2)若a,b∈R，且a>b，則a+i>b+i；

(3)若a∈R，則(a+1)i是純虛數(shù)；

(4)若z=-i，則z3+1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限。其中正確的命題是____。(填上所有正確的命題的序號)

三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本題10分)當(dāng)實數(shù)m取何值時,復(fù)數(shù)z=(m2-3m+m2i)-[4+(5m+6)i]為實數(shù)?為虛數(shù)?為純虛數(shù)?

18.(本題12分)已知復(fù)數(shù)z=1+i。

19.(本題12分)設(shè)復(fù)數(shù)z=(a2-4sin2θ)+(1+2cosθ)i，其中i為虛數(shù)單位，a為實數(shù)，θ∈(0,π)。若z是方程x2-2x+5=0的一個根，且z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第一象限，求θ和a的值

20.(本題12分)已知x,y為共軛復(fù)數(shù)，且(x+y)2-3xyi=4-6i，求x,y。

(1)求z2;

(1)求|z|的值及z的實部的取值范圍;

(3)求ω-u2的最小值。

7.C 8.D 9.B 10.C 11.C 12.B

15.-1 16.(4)

17.先把復(fù)數(shù)z整理成z=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i。

(1)當(dāng)m2-5m-6=0,即m=-1或m=6時,z是實數(shù)。

(2)當(dāng)m2-5m-6≠0,即m≠-1且m≠6時,z是虛數(shù)。

19.方程x2-2x+5=0的根為x=1±2i，因為z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第一象限，所以z=1+2i。

即(a2-4sin2θ)+(1+2cosθ)i=1+2i。

故所求的復(fù)數(shù)為：

(2)在△ABC中,由于內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列, 則B=60°,A+C=120°。

=cosA+icosC。

所以|μ+z2|2=cos2A+cos2C

=cos (A+C)cos (A-C)+1

=1+cos 120°cos(A-C)

由于A+C=120°,所以A-C=120°-2C。因此-120°

22.(1)因為z是虛數(shù),所以可設(shè)z=x+yi,x,y∈R,且y≠0。

則x2+y2=1,即|z|=1。此時ω=2x。

因此，u為純虛數(shù)。

ω-u2的最小值為1,此時z=±i。

(責(zé)任編輯 徐利杰)