行波效應下對稱多跨大跨結構的隨機地震響應研究

趙 博， 王元清， 陳志華， 石永久

(1. 天津大學 建筑工程學院，天津 300072； 2. 清華大學 土木工程系 土木工程安全與耐久性教育部重點實驗室，北京 100084)

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行波效應下對稱多跨大跨結構的隨機地震響應研究

趙 博1， 王元清2， 陳志華1， 石永久2

(1. 天津大學 建筑工程學院，天津 300072； 2. 清華大學 土木工程系 土木工程安全與耐久性教育部重點實驗室，北京 100084)

為了研究行波效應對于多跨大跨結構隨機地震響應的影響機理，首先以兩跨結構簡化模型為研究對象，選取柱頂相對位移作為計算響應量，采用多點虛擬激勵法對結構的響應功率譜公式進行推導，求得結構響應極值隨行波頻率的變化規(guī)律，最后將此方法拓展至多跨結構，分析不同跨數(shù)以及不同支承形式對于多點激勵下結構地震響應的變化規(guī)律。計算結果表明：受擬靜力響應影響，多跨結構中柱柱頂相對位移受行波效應影響更加顯著，在大跨結構抗震設計中應該引起重視；隨著跨數(shù)增加結構響應極值并沒有明顯提升，但不同支承形式可能導致結構受多點激勵效應影響不同，針對具體的支承形式結構進行具體分析是必要的。

行波效應；多跨大跨結構；虛擬激勵法；柱頂相對位移；不同支承形式

空間變化地震動是指在較大區(qū)域范圍內各點振幅和相位均不相同的地震波，考慮這種地震動空間效應可能會對大跨結構抗震設計產生重大影響[1]。過去人們更多的將多點激勵抗震設計應用在橋梁結構中，而忽略了其對大跨空間結構的影響。隨著工程技術的發(fā)展，大跨空間結構的總長度越來越大，甚至可以達到數(shù)百米，抗震設計時考慮地震動空間效應的影響已成為國內外學術界和工程界的共識。因此，對大跨結構采用考慮地震動空間效應的多點地震激勵分析方法是非常必要的。

雖然國內眾多學者已經針對不同類型的大跨空間結構實際工程進行了多點激勵響應分析研究[2-6]，也認識到考慮地震動空間效應對結構抗震設計的重要性，但由于實際工程往往比較特殊，即使相同類型結構的地震響應也會存在較大差異，因此很難得到普遍適用于指定類型結構的地震響應規(guī)律。這樣就需要我們對標準的結構簡化模型進行分析計算，系統(tǒng)的研究簡化模型受多點激勵效應的影響機理，并且與傳統(tǒng)的一致地震激勵下結構響應規(guī)律進行對比，得到適用于規(guī)范設計的實用性結論。

本文選取常見的多支承多跨大跨結構作為研究對象，分析多點激勵效應下跨數(shù)增加對于結構響應的影響變化規(guī)律。柱子數(shù)量增加會導致結構的總體剛度分布有所變化，在多點激勵效應下結構的響應變化規(guī)律也會變得更加復雜。而不同的支承分布形式對應于不同的結構剛度分布，也會對多點激勵效應下的結構響應產生影響。據(jù)此，本文主要針對于常見的周邊支承、對邊支承以及滿堂支承這三種支承形式進行多點激勵下的結構響應分析計算，比較不同支承形式的結構對于相同多點地震動激勵工況下的響應變化。

為了分析多跨結構受多點激勵效應影響，本文首先從簡單的兩跨結構入手，采用多點虛擬激勵法給出兩跨結構地震響應功率譜公式的推導過程，通過分析結構響應功率譜的成分與特征，研究增加支承數(shù)量對多點激勵下結構地震響應的影響機理；然后通過分析結構響應極值的變化規(guī)律，研究多點激勵效應對于不同跨度結構響應的影響情況；最后通過對不同支承形式結構響應進行比較，研究不同支承形式結構受多點激勵效應影響程度的差異。

1 結構模型與響應

1.1 結構模型與方程

采用圖1所示單層雙向多支座大跨結構簡化模型。該模型假定屋蓋結構平面內剛度無窮大，共nb根柱子，每根柱子可提供x方向和y方向的側向剛度kix和kiy，結構平動質量m和轉動慣量I均集中在屋蓋中心處質點。地震波沿x方向入射，此時僅地震動中與波速方向垂直的水平橫波可引起結構扭轉以及y向柱頂相對位移。因此模型的自由度可進一步縮減，如圖1所示，包括屋蓋質點的y向平動位移u,z向轉角位移θ以及各支座的y向平動位移ui共nb+2個自由度。

圖1 多跨結構模型Fig.1 Multi-span structural model

在地面多點地震激勵下建立以絕對位移表示的結構動力方程為

(1)

式中，下標s和b分別表示上部結構和支座(下同)；X為位移向量；M、C和K分別為質量、阻尼和剛度矩陣；Pb表示支座受到地基施加的力。

(2)

(3)

(4)

Xs=(u,θ)T，Xb=(u1,u2,…,unb)T

(5)

式中：xi、yi分別為以屋蓋中心處質點為原點的第i根柱子的x向與y向坐標值。

1.2 支座多點激勵

地震波視波速為vapp，僅考慮行波效應的多點地震動功率譜矩陣：

(6)

式中：Ti為地震波到達第i個支座的時間，而Ti-Tj=(xi-xj)/vapp即地震波在i和j支座間的延時；Sa(ω)為一致地震動加速度功率譜。根據(jù)反應譜與功率譜的近似關系，由規(guī)范反應譜直接迭代合成地震動功率譜模型[7]。其中目標反應譜選用修正后的《建筑抗震設計規(guī)范》(GB 50011—2010)反應譜[8]，如圖2所示。為保證地震動位移特性的合理性，文獻[8]對規(guī)范反應譜長周期段進行了必要的修正：采用T-2下降段替換反應譜的線性下降段，T-2下降段起始周期為2 s。

圖2 修正后規(guī)范反應譜Fig.2 Revised code response spectrum

本文選取的具體反應譜參數(shù)為：7度多遇地震，第一組設計地震分組，Ⅲ類場地，合成的地震動加速度功率譜Sa(ω)和位移功率譜Su(ω)如圖3所示。

圖3 地震動功率譜密度函數(shù)曲線Fig.3 Power spectrum density function curves of earthquake ground motion

(7)

(8)

1.3 結構響應

(1) 屋蓋位移

將式(1)中絕對位移分解為擬靜力項和相對動力項(上標分別為s和d，下同)：

(9)

根據(jù)多點地震激勵動力方程求解方法[10]，求得上部結構位移響應在頻域內的表達式如下：

(10)

(11)

式中:Hu(iω)、Hθ(iω)分別為y向平動振型和扭轉振型的傳遞函數(shù)，可以由以下公式求得：

(12)

(13)

(14)

(2) 柱頂相對位移

第i根柱的y向柱頂相對位移：

Ui=u+xiθ-ui

(15)

將Ui分解為擬靜力項和相對動力項：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

同樣的，柱頂相對位移的功率譜也可由虛擬響應求得：

(21)

2 兩跨結構響應功率譜

2.1 響應功率譜計算公式

將圖1所示模型進一步簡化：兩個方向總跨度相等，Lx=Ly=L；x和y向柱子數(shù)量分別為3和2，x向兩跨間距相等；兩方向所有單柱側向剛度相等kix=kiy=k；結構的剛度和質量均對稱分布。根據(jù)此簡化規(guī)則，由節(jié)1各式求得簡化后的結構響應功率譜密度函數(shù)。

1) 屋蓋位移

如前所述，屋蓋位移的擬靜力項無法獨立影響柱頂相對位移的結果，不作為考察對象，因此僅列出位移相對動力項的功率譜

(22)

(23)

式中：ωij為第i和j支座間的行波頻率ωij=2πvapp/(xi-xj)，ωij值越小則行波效應越強；對于本簡化模型而言，各ωij有以下關系:ω21=ω32=2ω31。

2) 柱頂相對位移

不失一般性，僅考察柱1(角柱)、柱2(中柱)的柱頂相對位移：

(1) 柱1

(24)

(25)

(26)

(2) 柱2

(27)

(28)

(29)

3) 行波效應項

觀察式(22)～式(27)可以發(fā)現(xiàn)，各式中體現(xiàn)行波效應的是以下各行波效應項：

(30)

(31)

(32)

(33)

2.2 數(shù)值計算分析

對前述解析式進行賦值計算，模型參數(shù)取值如下：m=3.0×105kg，I=1.25×108kgm，k=2.0×106N/m，L=50 m，ζ=0.05。

圖4分別為ωapp=4π(vapp=100 m/s)時，式(30)～(31)各多點效應項與式(22)～(27)中其他項之間的關系圖。

(a) 地面位移功率譜與EsU1(b) 地面位移功率譜與EsU2(c) 平動振型傳遞函數(shù)H2u與Edu(d) 扭轉振型傳遞函數(shù)H2θ與Edθ

圖4 行波效應項與相關項關系圖

Fig.4 Diagram of wave-passage effect items and related items

以上各圖表明，雖然各行波效應項由不同周期的三角函數(shù)疊加而成，在整個頻域內呈周期型分布，但當響應解析式中存在其他項與其相乘時，其有效值的分布范圍很?。?/p>

(2) 圖4(c)、(d)表明，相對動力響應計算中的振型傳遞函數(shù)具有僅分布在自振頻率附近的窄帶特性，因此當振型傳遞函數(shù)與行波效應項相乘時，行波效應項的影響范圍是有限的；當行波效應項三角函數(shù)的峰值點與自振頻率重合時，結構響應可能出現(xiàn)極值點。

2.3 響應極值期望值

隨機振動分析中直接參與計算的是輸入量和輸出量的功率譜，而在抗震設計中人們更關心地震輸入最大值和結構地震響應最大值，目前在工程領域內，通常采用文獻[11]方法計算隨機過程極值期望值，并以此作為與反應譜法計算得到的結構地震響應相當?shù)牧俊?/p>

改變行波頻率，求得各響應極值隨行波頻率的變化規(guī)律，如圖5～7所示。為了便于與一致地震激勵結果進行比較，圖中各響應值均除以一致地震激勵下相應的響應值。

圖5 屋蓋位移相對動力項極值Fig.5 The maximum value of relative dynamic item of roof ’ s displacement

圖6 柱1柱頂相對位移極值Fig.6 The maximum value of relative displacement of column 1

圖7 柱1與柱2柱頂相對位移響應極值比較Fig.7 Comparison of relative displacement between column 1 and 2

(1) 圖5表明，考慮行波效應后屋蓋平動位移相對動力項減小，而扭轉位移則由0增加；比較圖5和圖4可以看到，兩者隨行波頻率的變化規(guī)律分別與對應的多點效應項曲線相似，但波動幅度隨行波頻率增加而減小。

(2) 圖6(a)中由屋蓋平動位移引起的柱1柱頂相對位移相對動力項比由屋蓋轉動位移引起的大得多，因此總相對動力項與前者接近，略大于前者。這說明扭轉效應對于結構響應相對動力項的影響較小。圖6(b)中柱1柱頂相對位移擬靜力項隨行波頻率減小而增大，并趨于定值；總響應在行波頻率較大時，相對動力項貢獻大于擬靜力項，隨著行波頻率減小，擬靜力項逐漸成為總響應的主要成分。

(3) 圖7(b)表明，柱1與柱2柱頂相對位移相對動力響應相近，產生微小差異的原因是柱2不受屋蓋扭轉位移的影響，相應的相對動力項為零導致的；而從圖7(a)可以看出兩者的擬靜力響應差別很大，這也可以從圖4中兩者的擬靜力行波效應項的大小關系中體現(xiàn)出來；總響應受擬靜力響應差別的影響，柱2柱頂相對位移受多點激勵效應的影響程度要大于柱1，在結構抗震設計中要更加重視。

3 多跨結構響應

隨著跨數(shù)的增加，結構響應也會發(fā)生相應的變化，本文將上述兩跨結構響應分析方法延伸至多跨情況，研究跨數(shù)對多點地震激勵下結構響應的影響。

3.1 不同跨數(shù)的結構響應

保持結構總長、單根柱子剛度不變，增加x向柱子數(shù)量，同時調整平動質量和轉動慣量，以保證各跨度的結構自振頻率和振型的一致性。各模型參數(shù)見表1。通過多點虛擬激勵法得到隨著跨數(shù)改變各結構響應值的變化情況如圖8和圖9所示。

表1 結構模型參數(shù)

圖8 各跨數(shù)角柱柱頂相對位移響應極值比較Fig.8 Comparison of the maximum responses of corner column’s relative displacement with different spans

圖9 各跨數(shù)中柱柱頂相對位移響應極值比較Fig.9 Comparison of the maximum responses of middle column’s relative displacement with different spans

由圖8(a)可以看出，隨著跨數(shù)增加，擬靜力響應均增大。這是由于支承數(shù)量增多，所以結構抗扭剛度增大，屋蓋的扭轉變形受中間支承的影響而減小，支承頂部與底部的相對位移增大。圖8(b)表明，隨著跨數(shù)增加，相對動力響應的變化規(guī)律越來越復雜，整體呈現(xiàn)下降的趨勢，響應極值點會出現(xiàn)在行波頻率更小的位置。圖8(c)中的結構總響應與相對動力響應變化趨勢相似，但受到擬靜力響應的影響，隨跨數(shù)增加結構總響應極值也會隨之增大。

從兩跨結構受多點激勵效應的響應分析可以看出，隨著跨數(shù)的增加，中柱柱頂相對位移受多點激勵效應的影響比較大。圖9給出了隨著跨數(shù)增加，多點激勵效應對中柱柱頂相對位移的影響。

圖9(a)、(b)表明：隨著跨數(shù)的增加中柱柱頂相對位移擬靜力響應并沒有太大的變化，相對動力響應呈現(xiàn)三角函數(shù)疊加的變化形式，隨著跨度的變化，響應極值點出現(xiàn)的位置也會不同。圖9(c)給出的結構總響應可以看出，對于不同跨數(shù)結構，總響應的極值大小相同，但是極值點分布并不相同，隨著跨數(shù)增加，極值點出現(xiàn)的位置向右偏移，也就是行波頻率較小的位置。對于同是4跨結構的不同中柱(邊中柱與中柱)來說，多點激勵效應的影響大致相同，且在相同位置取得相近的極值。所以多跨結構對于多點激勵效應的影響，只需將所有邊柱與中柱區(qū)分開來考慮即可。

3.2 不同支座分布的結構響應

圖10 三種支承形式(以兩跨結構為例)Fig.10 Three supporting forms (two-span)

前文以對邊多支承大跨空間結構為例，詳細的分析了多點激勵效應對于多跨大跨結構的影響機理以及跨數(shù)改變對多點激勵下結構響應的影響。而對于支撐數(shù)量增加以后大跨結構的支承分布形式多種多樣，如圖10所示，分別為周邊支承，對邊支承(沿波速方向)以及滿堂支承，不同支承形式對應結構柱子的空間剛度分布有差異，結構受多點激勵效應影響，各柱頂相對位移可能會產生變化，而哪一種支承分布形式更容易受多點激勵效應的影響則是本節(jié)接下來要研究的問題。

僅考慮行波效應的情況下，分別計算不同支承形式各跨數(shù)結構角柱與中柱的柱頂相對位移總響應，并且求得與一致地震激勵下相同響應量的比值，結果如圖11～圖13所示。其中對邊支承形式結構的模型參數(shù)已在表1中給出，接下來，表2和表3將分別給出周邊支承以及滿堂支承形式結構模型參數(shù)。

表2 結構模型參數(shù)(周邊支承)

表3 結構模型參數(shù)(滿堂支承)

圖11 不同支承形式兩跨結構響應極值比較Fig.11 Comparison of the maximum responses of two span structure with different supporting forms

圖12 不同支承形式三跨結構響應極值比較Fig.12 Comparison of the maximum responses of three span structure with different supporting forms

圖13 不同支承形式四跨結構響應極值比較Fig.13 Comparison of the maximum responses of four span structure with different supporting forms

從圖11(a)、圖12(a)、圖13(a)中可以看出，對于不同支承形式角柱柱頂相對位移受多點地震激勵效應的影響不同，對邊支承形式最大，滿堂支承形式次之，周邊支承形式最小。隨著結構跨數(shù)的增加，這種差別也變得越來越明顯。但受到結構總長度的限制，不同支承形式結構響應的差異在此體現(xiàn)的并不十分明顯。不過對于本算例可以看出，周邊支承情況下，考慮多點激勵效應并不會使得角柱柱頂相對位移增大，而其他兩種形式則有可能使得柱頂相對位移增加。

圖11(b)、(c)、圖12(b)、(c)、圖13(b)、(c)則表明，對于中柱柱頂相對位移受多點地震激勵效應的影響，對邊支承與滿堂支承兩種支承形式結構響應相同，周邊支承結構響應會更大。同樣，隨著跨數(shù)增大，這種差異會變得更加明顯。無論哪種支承形式，對于考慮多點激勵效應各中柱柱頂相對位移均有所增加。

從圖11～圖13中可以看出，對邊支承與滿堂支承的各個結構響應量變化規(guī)律都很相似，這主要是由于沿著地震波傳播方向，兩種結構的整體剛度分布相同，導致在考慮多點激勵效應(行波效應)時，各柱子間產生的結構響應差異相接近，使得最終的結構響應變化規(guī)律相接近。由此可見，結構整體的剛度分布也是改變結構受多點激勵效應影響程度的因素之一。考慮地震動空間效應的情況下，不同的支承形式結構響應不同，因此針對于特定的支承形式進行結構多點激勵下地震響應研究是必要的。

4 結 論

本文首先以對邊支承形式兩跨結構簡化模型為例，以柱頂相對位移作為結構響應量，采用多點激勵虛擬激勵法對行波效應項進行推導，通過分析其表達式組成成分和特征來研究行波效應對兩跨結構地震響應的影響機理，并且給出結構響應極值隨行波頻率的變化規(guī)律；然后將此研究方法拓展至多跨情況，分析不同跨數(shù)以及不同支承形式對于多點激勵下結構地震響應的變化規(guī)律，得到以下結論：

(1) 由屋蓋平動位移引起的角柱柱頂相對位移相對動力項比由屋蓋轉動位移引起的大得多，因此總相對動力項與前者接近，略大于前者。這說明扭轉效應對于結構響應相對動力項的影響較小。

(2) 角柱與中柱柱頂相對位移相對動力響應相近，而兩者的擬靜力響應差別很大，總響應受擬靜力響應差別的影響，中柱柱頂相對位移受多點激勵效應的影響程度要大于角柱，在結構抗震設計中要更加重視。

(3) 跨數(shù)增加以后，結構響應受多點激勵效應的影響變得更加復雜。隨著跨數(shù)增加，角柱柱頂相對位移的擬靜力響應增加，而相對動力響應減小，結構總響應與相對動力響應變化趨勢相似，但受到擬靜力響應的影響，隨跨數(shù)增加結構總響應極值最大值也會隨之增大，但增加幅度不大；中柱柱頂相對位移擬靜力響應并不隨著跨數(shù)改變，所以總響應的極值最大值也不隨跨數(shù)發(fā)生變化，但可以明顯看出跨數(shù)增加，響應極值最大值出現(xiàn)在了結構總長度與視波速比值更大的位置。

(4) 不同支承形式的結構受多點激勵效應的影響程度也不相同，主要原因在于不同支承形式導致結構整體剛度分布不同，在受到不一致地震激勵時，結構響應也會不同。對于角柱柱頂相對位移受多點激勵效應而言，對邊支承形式響應最大，滿堂支承形式次之，周邊支承形式響應最小；而對于中柱而言，結論剛好相反，對邊支承與滿堂支承形式結構響應相同但均小于周邊支承形式；并且隨著跨數(shù)的增加，不同支承形式之間的響應差異變得更加明顯，而不同支承形式響應最大值點的分布并沒有變化。因此，針對于具體的支承形式結構進行具體分析是必要的。

本文旨在研究行波效應對于多跨大跨結構地震響應的影響機理，而具體的影響程度會受結構跨度、柱子抗側剛度等諸多參數(shù)條件影響而產生變化，但結構相應的響應規(guī)律并不受參數(shù)選取所限，所得到的規(guī)律性結論可適用于其他同類型結構，這也是本文研究目的所在。

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A study on the random seismic response of large symmetric multi-span structures to wave-passage effect

ZHAO Bo1, WANG Yuanqing2, CHEN Zhihua1, SHI Yongjiu2

(1. School of Civil Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2. Key Laboratory of Structural Engineering and Vibration of Education Ministry, Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

This paper aimed at studying the influence mechanism of the seismic response of large multi-span structures to wave-passage effect. A simplified two-span structural model was firstly studied and the relative displacement of columns was used as the response. The response power spectrum density formulae were derived by the multi-support pseudo excitation method. The changing law of the structural seismic peak response with wave-passage frequency was also calculated. These procedures were extended to study the influence of different amounts of spans and different supporting forms to the structural seismic response of multi-span structures. The result shows that: due to the pseudo static response, the relative displacement of the middle columns is larger than the corner columns and it should be paid more attention in structural seismic design; the peak response does not increase significantly with the increase of spans; however, different supporting forms may lead to distinct response. It is thus necessary to calculate the structural response to multi-support excitations according to a specific supporting form.

wave-passage effect; large multi-span structures; pseudo excitation method; relative displacement of columns; different supporting forms

國家自然科學基金重點項目(51038006); 高等學校博士學科點專項基金資助課題(20090002110045)

2015-08-03 修改稿收到日期：2015-11-12

趙博 男，博士生， 1987年9月生

陳志華 男，博士，教授，博士生導師，1966年10月生

TU311.3; O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.20.002