梯形斷面消力池?cái)U(kuò)散型消能計(jì)算

黃朝煊

（浙江省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，浙江杭州 310002）

梯形斷面消力池?cái)U(kuò)散型消能計(jì)算

黃朝煊

（浙江省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，浙江杭州 310002）

針對(duì)目前NB/T35023—2014《水閘設(shè)計(jì)規(guī)范》只涉及矩形斷面消力池，未涉及梯形斷面消力池消能計(jì)算的問(wèn)題，基于水力學(xué)基本理論和數(shù)值分析理論對(duì)梯形斷面消力池消能計(jì)算進(jìn)行研究，推導(dǎo)了梯形斷面收縮水深的解析計(jì)算式以及梯形斷面消力池?cái)U(kuò)散型消能躍后共軛水深基本方程，并利用高次方程求解理論分別給出棱柱體梯形斷面躍后共軛水深的解析計(jì)算式和擴(kuò)散型消能躍后共軛水深的簡(jiǎn)易迭代求解公式，并根據(jù)消能計(jì)算方程，給出梯形斷面消力池?cái)U(kuò)散型消力池池深、池長(zhǎng)的計(jì)算式。工程實(shí)例計(jì)算結(jié)果表明，所提出計(jì)算式精度可靠。

消力池；水閘；梯形斷面；收縮水深；躍后共軛水深；擴(kuò)散比

水閘消能計(jì)算為消能防沖設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，關(guān)系到水閘整體的安全穩(wěn)定性，隨著國(guó)家對(duì)農(nóng)田水利發(fā)展的重視、“五水共治”以及“海綿城市”理念的提出，水閘消能計(jì)算顯得尤為重要。目前NB/T 35023—2014《水閘設(shè)計(jì)規(guī)范》［1］只對(duì)矩形斷面消力池消能計(jì)算進(jìn)行說(shuō)明，而實(shí)際工程有采用梯形翼墻斷面的情況，如舟山市六橫小郭巨圍墾工程擋潮排澇閘［2］。對(duì)于梯形翼墻斷面消能計(jì)算，往往采用面積等效法將其近似為矩形斷面，但該近似等效法誤差較大，不能保證實(shí)際工程的消能防沖安全。已有文獻(xiàn)中，主要是針對(duì)矩形斷面消力池消能計(jì)算進(jìn)行研究，如黃朝煊等［3］對(duì)矩形斷面消力池池深極值進(jìn)行了無(wú)量綱化數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得出了矩形斷面消力池池深極值的直接計(jì)算公式；謝景惠等［4］對(duì)矩形斷面消力池池深計(jì)算進(jìn)行了微分極值初步推演，但不具備實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。田嘉寧等［5-7］采用智能算法如遺傳算法（GA）和粒子群算法（SPO）等對(duì)多級(jí)消力池總長(zhǎng)等參數(shù)進(jìn)行了程序優(yōu)化，其原理與羅列多工況試算法基本一致，無(wú)法尋找本質(zhì)共性特征。田嘉寧等［8］、劉璐等［9］通過(guò)模型試驗(yàn)分別對(duì)臺(tái)階式消能和聯(lián)合型消能消力池的水力特性進(jìn)行了研究，也不能得出共性規(guī)律。為彌補(bǔ)目前水閘消能計(jì)算僅適用于矩形斷面的不足，筆者基于數(shù)學(xué)分析理論，擬結(jié)合Matlab軟件對(duì)梯形斷面消力池?cái)U(kuò)散型消能計(jì)算進(jìn)行研究，得出消力池池深、池長(zhǎng)的解析計(jì)算式。

1　消能計(jì)算基本理論

如圖1所示，消力池消能計(jì)算基本公式為

式中：d為消力池池深；σ0為水躍淹沒系數(shù)，可取1.05～1.10；h2為躍后水深；hs為下游水深；ΔZ為出池落差；T0為以收縮斷面底部為基準(zhǔn)面的泄水建筑物上游總水頭；h1為躍前收縮斷面水深；Q為流量；g為重力加速度；φ為流速系數(shù)；A1為收縮斷面過(guò)水面積；As為下游河床過(guò)水?dāng)嗝婷娣e；A2為躍后過(guò)水?dāng)嗝婷娣e；α為水流動(dòng)能校正系數(shù)，可采用1.0～1.05；Lsj為消力池池長(zhǎng)；Ls為消力池斜坡段水平投影長(zhǎng)度；Lj為水躍長(zhǎng)度；β為水躍長(zhǎng)度校正系數(shù)，取值0.7～0.8。

圖1　水閘消力池消能計(jì)算示意圖

2　躍前收縮水深計(jì)算

根據(jù)無(wú)量綱化理論可知KQ≥2.25，0＜Km＜3。公式（6）的判別式Δ=（KQ-0.39）2+4.02（KmKQ-0.83）＞0，求解一元二次方程，得躍前收縮斷面無(wú)量綱水深的直接計(jì)算式為

通過(guò)數(shù)值計(jì)算研究，公式（7）的適用范圍為0＜h1/T0＜0.5。一般水利工程中總水頭遠(yuǎn)大于收縮斷面水深，因此公式（7）在絕大部分情況下是適用的。

采用Matlab軟件迭代算法求解非線性方程，得到精確值，可知公式（7）的最大相對(duì)誤差小于0.57%（圖2），精度完全滿足工程計(jì)算要求。h1/T0與KQ、Km關(guān)系曲面見圖3。

圖2　公式（7）相對(duì)誤差分布曲線

圖3　h1/T0與KQ、Km關(guān)系曲面

3　躍后共軛水深計(jì)算

如圖4所示，利用連續(xù)方程和動(dòng)量方程推導(dǎo)得擴(kuò)散型梯形翼墻斷面水躍方程為

式中：v1、v2分別為躍前斷面和躍后斷面平均流速；α1、α2分別為躍前斷面和躍后斷面流速系數(shù)；F1、F2分別為躍前斷面和躍后斷面順?biāo)鬏S線方向作用力；F3為擴(kuò)散段翼墻水壓力在順?biāo)鬏S線方向的投影分量。

圖4　擴(kuò)散型梯形斷面消能示意圖

根據(jù)水壓力計(jì)算理論可知：

式中：ε為水躍過(guò)程中水面線的非線性變化的影響系數(shù)，ε≥0，本文取ε=0；m1、m2分別為躍前斷面和躍后斷面坡比；b1、b2分別為躍前收縮斷面和躍后斷面的底寬。取m1=m2=m，α1=α2=1，記躍后無(wú)量綱相對(duì)水深η2=mh2/b2，躍前無(wú)量綱相對(duì)水深η1= mh1/b1，記擴(kuò)散比ξ=b1/b2。將公式（9）代入公式（8）化簡(jiǎn)可得：

公式（10）即為用η2表征的躍后共軛水深計(jì)算方程，該方程也是一元五次方程，一般情況下無(wú)法直接求解。

3.1無(wú)擴(kuò)散時(shí)（ξ=1）躍后共軛水深計(jì)算

對(duì)無(wú)擴(kuò)散時(shí)梯形斷面共軛水深的計(jì)算，劉計(jì)良等［10］給出了近似計(jì)算法，但精度不高，其中最大躍后水深相對(duì)誤差甚至大于5%。筆者擬根據(jù)數(shù)學(xué)方程理論，給出躍后共軛水深精確解析解。

對(duì)于無(wú)擴(kuò)散情形，即b1=b2=b，ξ=1，公式（10）可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為以下關(guān)于無(wú)量綱相對(duì)水深η1、η2的輪換對(duì)稱方程：

式中M0為中間參數(shù)。易知公式（11）是對(duì)稱方程，η1、η2均是該一元五次對(duì)稱方程的實(shí)根，由躍前收縮水深計(jì)算躍后共軛水深時(shí)，可將公式（11）除以（η2-η1）進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元四次方程，根據(jù)《特殊函數(shù)概論》［14］中推薦的一元四次方程求解方法，求解步驟為：①通過(guò)對(duì)待求變量x作平移變換，將一般一元四次方程的三次方項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)換為零；②通過(guò)待定系數(shù)法和因式分解理論將以上方程降次轉(zhuǎn)換為兩個(gè)一元二次方程的乘積形式，進(jìn)而求出原一元四次方程的解析解。

η1、η2為待求量，記K0=Q2m3/（gb5），t=η2-η1，將其代入公式（11），根據(jù)輪換對(duì)稱方程的對(duì)稱性，顯然t=η2-η1=0（即η2=η1）是該方程的一個(gè)特解，可知關(guān)于t的五次方程常數(shù)項(xiàng)為零；方程兩邊同除以t，可轉(zhuǎn)化為四次方程：

通過(guò)變量參數(shù)變換，設(shè)z=t+a1/4，進(jìn)行因式分析得：

其中

式中k為待求中間參數(shù)。

通過(guò)恒等關(guān)系消元變換得待定系數(shù)k2滿足以下三次方程：

利用卡當(dāng)公式求解方程（14），可得待定系數(shù)k2的正實(shí)根為

將方程（15）代入方程（13）右邊的因式分解項(xiàng)，將方程（13）降次為兩個(gè)一元二次方程，求解得正根z，并根據(jù)上述參數(shù)代換z=t+a1/4，t=η2-η1，求解得躍后共軛水深的精確解析計(jì)算式為

公式（16）適用于棱柱體梯形斷面水躍情況。通過(guò)公式（16）可直接給出簡(jiǎn)化后的數(shù)值解集，記收縮斷面處的臨界水深為hk1，則其無(wú)量綱量ηk1= mhk1/b1，ηk1的解析式已有較多研究，如文獻(xiàn)［11-13］，可采用現(xiàn)有公式計(jì)算。記參數(shù)x=η1/ηk1，y= η2/ηk1，x=1時(shí)為臨界情況，此時(shí)x=y=1，η1=η2= ηk1；根據(jù)水躍強(qiáng)弱知Fr≤9，通過(guò)Matlab軟件反分析得到0.23≤x≤1，考慮到更廣的適用范圍，本文分析0.15＜x≤1的范圍。

根據(jù)以上解析法可求出x、y隨K0之間的精確數(shù)據(jù)關(guān)系（表1），通過(guò)分析可知，當(dāng)0.2＜K0＜8時(shí)，x、y隨K0的影響不敏感（最大相對(duì)誤差小于0.85%），直接根據(jù)躍前水深x求出躍后水深y，進(jìn)而根據(jù)y=η2/ηk1求出躍后無(wú)量綱相對(duì)水深η2。

通過(guò)最佳逼近擬合原理，得出無(wú)擴(kuò)散時(shí)（ξ=1）用y表征的躍后共軛水深的近似計(jì)算公式：

式（17）適用于0.2≤K0≤8時(shí)的棱柱體梯形斷面水躍計(jì)算，當(dāng)K0＜0.2或K0＞8時(shí)，計(jì)算誤差為3.5%，相對(duì)較大。

3.2擴(kuò)散型消能（0.5＜ξ＜1）躍后共軛水深計(jì)算

對(duì)于擴(kuò)散型消能，b1≠b2，記無(wú)量綱參數(shù)K′0=

方程（18）為η2的一元五次方程，其中無(wú)量綱參數(shù)K′0、η1、ξ均為已知參數(shù)。由于該方程較復(fù)雜，無(wú)法直接求解，可采用迭代法將方程（18）變換成如下形式：

通過(guò)對(duì)公式（19）右邊求導(dǎo)容易證明其導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值小于1，即迭代方程（19）收斂，限于篇幅，本文未給出證明過(guò)程。其迭代初值η2初可根據(jù)無(wú)擴(kuò)散時(shí)（ξ=1）躍后共軛水深計(jì)算式（17）的修正值（乘以修正系數(shù)ξ）給出，公式如下：

其中收縮斷面處的臨界水深的無(wú)量綱量可采用王正中等［11］的計(jì)算公式：

通過(guò)Matlab軟件大量數(shù)值計(jì)算分析可知公式（21）的相對(duì)誤差小于0.5%，甚至接近0.01%，精度很高。η2的迭代初值計(jì)算公式（20）精度也較高，公式（20）與精確值的比值函數(shù)曲面見圖5。通過(guò)迭代公式（19）迭代1次后精度基本小于1%，滿足實(shí)際工程計(jì)算要求。

表1　由共軛水深公式（16）求解出的y與x、K0關(guān)系

圖5　公式（20）與精確值的比值函數(shù)曲面

4　算例分析

某閘前斷面總水頭T0=10.31 m，過(guò)閘流量Q= 140 m3/s，下游水深hs=4.0 m。梯形翼墻消力池?cái)嗝娴讓抌1=10 m，b2=12.5 m，梯形翼墻邊坡系數(shù)m=1，流速系數(shù)φ=0.95，需求解該工況下閘下消力池池深和池長(zhǎng)。

步驟1 求解躍前收縮斷面水深h1。根據(jù)KQ= 9.9452，Km=1.031，將其代入公式（7）得ˉh1=0.09613，進(jìn)而可得h1=ˉh1T0=0.096 13×10.31 m=0.991 1 m，與Matlab軟件采用多次迭代法算得的精確值0.9915m基本一致，相對(duì)誤差為0.043%。

步驟2 求解躍后水深h2。根據(jù)h1=0.9911 m，η1=0.099 11，λ=0.2714，由公式（21）可知ηk1= 0.2492，進(jìn)而得到x=η1/ηk1=0.397 8，根據(jù)公式（20）可知η2初=0.391 3，計(jì)算得出K′0=0.006 55，f（η1，K′0，ξ）=0.097 0，根據(jù)迭代公式（19），由η2初= 0.3913迭代1次后得η2迭1=0.3826，與Matlab軟件多次迭代法算得的η2=0.3827基本一致，精度相當(dāng)高，進(jìn)而得到h2=η2b2/m=4.782 m。

步驟3 求解消力池池深、池長(zhǎng)。根據(jù)h1= 0.9911m，h2=4.782 m，hs=4.0 m，由消能計(jì)算公式（3）及A=（b+mh）h可知ΔZ=0.1725 m，故可知該工況下消力池池深d=σ0h2-hs-ΔZ=1.05×4.782 m-4.0 m-0.1725 m=0.849 m，進(jìn)而由公式（4）知該工況下消力池池長(zhǎng)Lsj=23.47 m。

另外，若采用面積等效法將梯形斷面近似為矩形斷面，根據(jù)黃朝煊等［3］矩形斷面消能研究成果可知，矩形斷面翼墻最不利條件下消力池池深極值可采用以下公式計(jì)算：

求解該方程可知消力池池深極值dmax=1.688 m，比本文擴(kuò)散型梯形翼墻消力池特定工況下的消力池池深計(jì)算值0.849 m大，因此，筆者認(rèn)為擴(kuò)散型梯形斷面消力池也同矩形斷面消力池一樣，存在某種最不利工況使得消力池池深取極大值，同樣，消力池池長(zhǎng)也存在一個(gè)極大值。鑒于問(wèn)題的復(fù)雜性，筆者將進(jìn)行后續(xù)研究。

5　結(jié) 語(yǔ)

a.通過(guò)水力學(xué)基本理論及數(shù)值分析理論對(duì)梯形斷面消力池消能計(jì)算進(jìn)行分析研究，通過(guò)降次法推導(dǎo)出了收縮水深解析計(jì)算公式，該公式精度滿足工程計(jì)算要求。

b.根據(jù)動(dòng)量守恒定律推導(dǎo)了梯形斷面消力池?cái)U(kuò)散型水躍共軛水深基本方程，并通過(guò)一元四次方程求解理論給出了無(wú)擴(kuò)散（ξ=1）梯形斷面躍后水深的解析計(jì)算式；同時(shí)給出了擴(kuò)散型（0.5＜ξ＜1）梯形斷面躍后水深的快速收斂迭代計(jì)算式，并通過(guò)算例分析，認(rèn)為本文計(jì)算公式精度可靠，方便快捷。

c.根據(jù)本文給出的梯形斷面收縮水深、躍后共軛水深解析計(jì)算式以及消能基本方程，得到了梯形斷面擴(kuò)散型消能的消力池池深、池長(zhǎng)的計(jì)算方法，為工程設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。

［1］NB/T 35023—2014 水閘設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.

［2］舟山市六橫小郭巨圍墾工程初步設(shè)計(jì)［R］.杭州：浙江省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院.2010.

［3］黃朝煊，王賀瑤，王正中，等.消力池最不利條件下池深極值探討［J］.水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2015，34（1）：79-84.（HUANG Chaoxuan，WANG Heyao，WANG Zhengzhong，et al.The investigate for extremum depth of sluice stilling basin under the most unfavorable conditions［J］.Journal of Hydroelectric Engineering，2015，34（1）：79-84.（in Chinese））

［4］謝景惠，陳菊清.消力池最不利設(shè)計(jì)條件的分析與計(jì)算［J］.水利水電技術(shù)，1995（12）：7-11.（XIE Jinghui，CHEN Juqing.Analysis and caleulation of the most unfavourable design conditions for stilling basin［J］.Water Conservancy and Hydropower Engineering，1995（12）：7-11.（in Chinese））

［5］田嘉寧，安田陽(yáng)一，李建中.臺(tái)階式泄水建筑物的消能分析［J］.水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2009（2）：96-100.（TIAN Jianing，YASUDAYouichi，LIJianzhong.Energy dissipation on stepped sluicing structure［J］.Journal ofHydroelectricEngineering，2009（2）：96-100.（in Chinese））

［6］BAKHTYAR R，BARRY D A.Optimization of cascade stilling basins using GA and PSO approaches［J］.Journal of Hydroinformatics，2009（11）：119-132.

［7］BAKHTYAR R，MOUSAVI S J，AFSHAR A.Dynamicprogramming approach to optimal design of cascade stilling basins［J］.Journal of Hydraulic Engineering，2007，133（8）：949-954.

［8］田嘉寧，趙慶，范留明.臺(tái)階式溢流壩后消力池壓強(qiáng)特性［J］.水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2012，31（4）：114-124.（TIAN Jianing，ZHAOQing，F(xiàn)ANLiuming.Pressure characteristics in stilling basin of stepped spillways［J］. Journal of Hydroelectric Engineering，2012，31（4）：114-124.（in Chinese））

［9］劉璐，張建民，余飛，等.重力壩下游寬尾墩和消力池聯(lián)合消能工水力特性試驗(yàn)研究［J］.水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2012，31（2）：49-55.（LIU Lu，ZHANG Jianmin，YU Fei，et al. Experimental study of hydraulic characters of the flaring gate pier&ling basin united energy dissipator with high water head and large discharge［J］.Journal of Hydroelectric Engineering，2012，31（2）：49-55.（in Chinese））

［10］劉計(jì)良，王正中，楊曉松，等.梯形渠道水躍共軛水深理論計(jì)算方法初探［J］.水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2010，29（5）：216-219.（LIUJiliang，WANGZhengzhong，YANG Xiaosong，et al.Preliminary study on the theoretical method for calculating conjugate depth of trapezoidal channel［J］.Journal of Hydroelectric Engineering，2010，29（5）：216-219.（in Chinese））

［11］王正中，袁駟，武成烈.再論梯形明渠臨界水深計(jì)算法［J］.水利學(xué)報(bào)，1999，30（4）：14-17.（WANG Zhengzhong，YUAN Si，WU Chenglie.A final inquiry on a formula for calculating critical depth of open channel with trapezoidal crosssection［J］.JournalofHydraulic Engineering，1999，30（4）：14-17.（in Chinese））

［12］黃朝煊.梯形明渠水力學(xué)特征水深的解析計(jì)算式研究［J］.灌溉排水學(xué)報(bào)，2016，35（3）：73-78.（HUANG Chaoxuan.Analytic formula of characteristic depths for trapezoidal open channel［J］.Journal of Irrigation and Drainage，2016，35（3）：73-78.（in Chinese））

［13］黃朝煊.梯形渠道恒定漸變流水面線計(jì)算的新解析法［J］.長(zhǎng)江科學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，29（11）：46-49.（HUANG Chaoxuan.A new analytical method of computing water surface curve of constant and gradually varied flow in trapezoidal channel［J］.JournalofYangtzeRiver Scientific Research Institute，2012，29（11）：46-49.（in Chinese））

［14］王竹溪，郭敦仁.特殊函數(shù)概論［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2010：480-483.

Energy dissipation calculation for diffused stilling basin with trapezoidal cross section

HUANG Chaoxuan
（Zhejiang Design Institute of Water Conservancy and Hydro-Electric Power，Hangzhou 310002，China）

As the current standard NB/T 35023—2014“sluice design specification”involves stilling basin with rectangular cross section，excluding stilling basin with trapezoid section，energy dissipation calculation for stilling basin with trapezoidal cross section were studied on the basis of the classical hydraulics theory and numerical analysis.The analytical formula of shrinking depth and the equation of conjugate depth after hydraulic jump of stilling basin with trapezoidal cross section were derived.Using theory of high-order equation，simple iterative formulas for conjugate depth after hydraulic jump of stilling basin with prismatic trapezoidal cross section and diffused trapezoidal cross section were given，respectively.Finally，the calculation formulas for depth and length of the stilling basin with trapezoidal cross section were obtained according to the energy dissipation equation.Calculation results of a practical project validate the proposed formula has high accuracy.

stilling basin；sluice；trapezoidal cross section；shrinking depth；conjugate depth after hydraulic jump；diffusion ratio

TV131.4

A

10067647（2016）05003406

10.3880/j.issn.10067647.2016.05.006

水利部公益性行業(yè)科研專項(xiàng)（201401010）；浙水院科標(biāo)業(yè)項(xiàng)目（B1608，B1609）

黃朝煊（1983—），男，碩士，主要從事水工結(jié)構(gòu)及巖土工程研究。E-mail：516227811@qq.com

（20150723 編輯：駱超）