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    具有Markov切換的隨機Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時滯依賴的指數(shù)同步

    2016-11-23 04:58:45周阿麗何秀麗印凡成
    關(guān)鍵詞:系統(tǒng)

    周阿麗,何秀麗,印凡成

    (河海大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 南京 210098)

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    具有Markov切換的隨機Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時滯依賴的指數(shù)同步

    周阿麗,何秀麗,印凡成

    (河海大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 南京 210098)

    基于隨機分析理論以及時滯依賴的反饋控制技術(shù),首先運用Lyapunov函數(shù)方法和Gronwall不等式,其次給出了具有Markov切換的隨機Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時滯依賴的指數(shù)同步的充分性判據(jù),此判據(jù)解除了傳統(tǒng)意義上時滯延遲的可微性以及其導(dǎo)數(shù)的有界性的限制,最后通過一個數(shù)值模擬實例驗證了理論結(jié)果的正確性及有效性.

    指數(shù)同步; Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò); Markov切換; 時變時滯延遲

    自從Pecora[1]等最初提出耦合混沌系統(tǒng)的同步性以來,基于其在多種領(lǐng)域中的潛在應(yīng)用價值,混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性理論已被廣泛應(yīng)用在創(chuàng)造安全的交流系統(tǒng)、化學(xué)和生物系統(tǒng)以及自動化控制等領(lǐng)域.因此,關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)帶有噪聲或沒有噪聲的同步性理論也被廣泛研究[2-3].Sun等[4]利用LMI方法研究了混沌系統(tǒng)的指數(shù)同步問題,Zhou等[5]利用M矩陣方法研究了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隨機同步問題,同時自適應(yīng)性同步的問題也得到了廣泛的研究[6-7].此外,關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性問題也取得了很多成果[8-10].特別地,關(guān)于Cohen-Grossberg(C-G)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性和同步性也取得了很大的成就[11-14].但是在現(xiàn)實應(yīng)用中,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)會出現(xiàn)隨機故障,導(dǎo)致鏈接權(quán)值或閥值突然被改變,此類問題可通過Markov切換來模擬,其中,Zhu等[12]運用Halandy不等式等對C-G神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)指數(shù)同步做了深入研究.筆者受以上研究的啟發(fā),將Lyapunov函數(shù)方法、隨機分析技術(shù)與Grownwall不等式方法等相結(jié)合給出了具有Markov切換的變時滯隨機C-G神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步的充分性判據(jù),同時不再對傳統(tǒng)意義上的時滯函數(shù)的可微性以及其導(dǎo)數(shù)的有界性做要求.

    本文首先介紹了具有Markov切換的C-G神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)以及所需的一些假設(shè)和定義,其次通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)并結(jié)合Grownwall不等式等技術(shù)得到了對于誤差系統(tǒng)的指數(shù)同步準(zhǔn)則,最后通過一個實例及其數(shù)值模擬驗證了所得結(jié)論的有效性和適用性.

    1 模型,符號和假設(shè)

    設(shè){r(t),t≥0}為狀態(tài)空間S={i=1,2,…,N}的一個連續(xù)時間的Markov鏈,其生成元矩陣∏=(πij)n×n為

    考慮下面的帶有時滯依賴的C-G神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

    dx(t)={-α(x(t),r(t))[β(x(t),r(t))-C(r(t))f(x(t))-D(r(t))g(x(t-τ(t)))]+J}dt,

    (1)

    其中,x(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T是n個神經(jīng)元的狀態(tài)向量,α(x(t),r(t))=diag(α1(x1(t),r(t)),…,αn(xn(t),r(t)))代表放大函數(shù)β(x(t),r(t))=[β1(x1(t),r(t)),β2(x2(t),r(t)),…,βn(xn(t),r(t))]T為行為函數(shù),C(r(t))=(cij(r(t)))n×n和D(r(t))=(dij(r(t)))n×n分別為連接權(quán)矩陣和時滯連接權(quán)矩陣. f(x(t))=[f1(x1(t)),f2(x2(t)),…,fn(xn(t))]T和g(x(t))=[g1(x1(t)),g2(x2(t)),…,gn(xn(t))]T為神經(jīng)元的激勵函數(shù),J=[J1,J2,…,Jn]T代表一個恒定的外部輸入變量,時滯依賴τ(t)滿足0≤τ(t)≤τ,其中τ是一個正常量.

    模型(1)為驅(qū)動系統(tǒng),其響應(yīng)系統(tǒng)為

    dy(t)= {-α(y(t),r(t))[β(y(t),r(t))-C(r(t))f(y(t))-D(r(t))g(y(t-τ(t)))]+

    J+u(t,r(t))}dt+σ(t,r(t),y(t)-x(t),y(t-τ(t))-x(t-τ(t)))dw(t) ,

    (2)

    其中,u(t,r(t))表示控制輸入向量,w(t)是一個m維布朗運動,假設(shè)Markov鏈r(·)獨立于布朗運動w(·),且取u(t,r(t))=K1(r(t))[f(y(t)-x(t))]+K2(r(t))[g(y(t-τ))-g(x(t-τ(t)))],K1(r(t)),K2(r(t))為增益矩陣.

    令e(t)=y(t)-x(t)為同步誤差,且A(r(t))=C(r(t))+K1(r(t))=(aij(r(t)))n×n,B(r(t))=D(r(t))+K2(r(t))=(bij(r(t)))n×n,則系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)誤差系統(tǒng)可以表示為

    de(t)= {-[α(y(t),r(t))β(y(t),r(t))-α(x(t),r(t))β(x(t),r(t))]+α(y(t),r(t))A(r(t))×

    [f(y(t))-f(x(t))]+α(y(t),r(t))B(r(t))[g(y(t-τ(t))-g(x(t-τ(t))]+

    [α(y(t),r(t))-α(x(t),r(t))]×[C(r(t))f(x(t)+D(r(t))g(x(t-τ(t)))]}dt+

    σ(t,r(t),e(t),e(t-τ(t)))dw(t).

    (3)

    LV(t,i,e(t))= Vt(t,i,e(t))+Ve(t,i,e(t))·F(t,i,e(t),e(t-τ(t)))+1/2trace[σT(t,i,e(t),

    (4)

    為了得到本文主要結(jié)果,給出以下假設(shè):

    5) f(0)≡0,g(0)≡0,σ(t,0,0)≡0.

    定義1 如果存在正常數(shù)γ,λ對于t≥0有E|u(t)-v(t)|2≤γE|u(0)-v(0)|2e-λt,則稱2個耦合的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)和(2)為指數(shù)同步的.

    2 主要結(jié)論

    δ1|e(t)|2≤V(t,i,e(t))≤δ2|e(t)|2

    (5)以及不等數(shù)τ<τ*成立,其中τ*=(δ2/λ1)log(λ1δ1/λ2δ2),則系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)是時滯依賴指數(shù)同步的.

    (6)

    由假設(shè)(1)可得

    |ej(t)‖fk(yk(t))-fk(xk(t))|≤u1k|ej(t)‖ek(t)|≤u1k(|ej(t)|2+|ek(t)|2)/2,

    |ej(t)‖gk(yk(t-τ(t)))- gk(xk(t-τ(t)))|≤u2k|ej(t)‖ek(t-τ(t))|≤

    u2k(|ej(t)|2+|ek(t-τ(t))|2)/2,

    (7)

    將式(7)代入式(6)并整理可得

    λ1|e(t)|2+|eτ(t)|2,

    (8)

    另由定理條件可得

    (9)

    對于任意t≥τ,存在整數(shù)K>2使得(K-1)τ≤t≤Kτ.

    定義Lyapunove 函數(shù)V1(tm,r(tm),e,eτ),

    對于0≤m≤K-1,tm=t-mτ.

    由式(5)和(8)條件可以得到

    因此

    由上述條件可得

    由Gronwall不等式可得

    因此,由定義可以得出系統(tǒng)(1)和(2)是時滯依賴指數(shù)同步的.

    注:本文所研究的為時滯依賴的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,同時不再對傳統(tǒng)意義上時滯函數(shù)的可微性以及其導(dǎo)數(shù)的有界性做要求.例如文獻(xiàn)[11]要求時滯函數(shù)可微且其導(dǎo)函數(shù)小于1,而本文定理的條件只需時滯函數(shù)有界.另外,本文所考慮的激勵函數(shù)弱化了傳統(tǒng)的Lipschitz 條件[4]及函數(shù)的單調(diào)性及連續(xù)可微性[7].

    3 數(shù)值模擬

    將給出具體例子來說明所得結(jié)論的有效性和可行性.

    例1 考慮如下二維C-G神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

    dx(t)={-α(x(t),r(t))[β(x(t),r(t))-C(r(t))f(x(t))-D(r(t))g(x(t-τ(t)))]+J}dt,dy(t)= {-α(y(t),r(t))[β(y(t),r(t))-C(r(t))f(y(t))-D(r(t))g(y(t-τ(t)))]+J+u(t)}dt+

    σ(t,r(t),y(t)-x(t),y(t-τ(t))-x(t-τ(t)))dw(t),

    其中,u(t,r(t))=K1(r(t))[f(y(t))-f(x(t))]+K2(r(t))[g(y(t-τ(t)))-g(x(t-τ(t)))],J=(0,0)T,x(t)=(x1(t),x2(t))T,y(t)=(y1(t),y1(t))T,w(t)是二維布朗運動,r(t)為Markov鏈,S={1,2},生成元矩陣及其他參數(shù)為βj(xj(t),i)=2xj(t)(i,j=1,2),αj(xj(t),i)=0.6+0.2cos(xj(t)),τ(t)=0.1|cos t|+1,f(xj(t))=g(xj(t))=(|xj(t)+1|-|xj(t)-1|)/2,

    容易驗證假設(shè)1)~5)成立,其他條件給出如下

    圖1 a和b分別顯示出系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)的混沌現(xiàn)象,取q1=1,q2=0.5,定理中的條件均滿足.因此系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)是指數(shù)同步的,圖1 c驗證了2個系統(tǒng)的同步性.

    4 小 結(jié)

    研究了具有Markov切換的隨機延遲的Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問題,基于隨機分析理論以及時滯依賴的反饋控制技術(shù),首先運用Lyapunov函數(shù)方法和Gronwall不等式,給出了具有Markov切換的變時滯隨機Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步的充分性判據(jù),該判據(jù)不在對時滯延遲具有可微性及導(dǎo)數(shù)有界性作要求,最后數(shù)值模擬實例驗證了理論結(jié)果的正確性及有效性.

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    [15] 胡適耕.隨機微分方程[M].北京:科學(xué)教育出版社, 2008.

    Exponential Synchronization of Cohen-Grossberg Neural Networks with Time-varying Delays and Markovian Switching

    Zhou Ali, He Xiuli,Yin Fancheng

    (College of Science, Hohai University, Nanjing 210098, China)

    Based on the stochastic analysis theory and delay-dependent feedback control technique, the Lyapunov function and Gronwall inequality were used, and the sufficient criteria of the exponential synchronization of random Cohen-Grossberg neural network time-delay dependent with Markov change was proposed, which removed the differentiability of the time varying delay and the boundness of its derivative. Lastly, a numerical example and its simulation were proposed to demonstrate the effectiveness and correctness of the theoretical results.

    exponential synchronization; Markovian switching; time-varying delay; Cohen-Grossberg neural network

    2016-03-29

    中央高??蒲袠I(yè)務(wù)費青年教師科研創(chuàng)新能力培育項(A)(2015B19814)

    周阿麗(1990-),女,安徽利辛人,河海大學(xué)2014級碩士研究生,研究方向:隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)穩(wěn)定性和同步性分析,E-mail:zhoualiahut@126.com

    1004-1729(2016)03-0203-06

    O 175

    A DOl:10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2016.0031

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