極小極大問(wèn)題的生物地理學(xué)優(yōu)化鄰近點(diǎn)算法

楊國(guó)平,劉三陽(yáng),張建科

(1.西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西西安 710071; 2.西安郵電大學(xué)理學(xué)院,陜西西安 710121)

極小極大問(wèn)題的生物地理學(xué)優(yōu)化鄰近點(diǎn)算法

楊國(guó)平1,劉三陽(yáng)1,張建科2

(1.西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西西安 710071; 2.西安郵電大學(xué)理學(xué)院,陜西西安 710121)

離散型非線性極小極大問(wèn)題本質(zhì)上為一個(gè)傳統(tǒng)的梯度類算法難以求解的不可微優(yōu)化問(wèn)題.針對(duì)每個(gè)分量函數(shù)都是凸函數(shù)的此類問(wèn)題,利用熵函數(shù)法將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)光滑的無(wú)約束凸優(yōu)化問(wèn)題,并將具有并行搜索機(jī)制的生物地理學(xué)優(yōu)化算法和具有全局收斂性的鄰近點(diǎn)算法相混合,設(shè)計(jì)了一種具有全局收斂性的混合算法.為了充分發(fā)揮生物地理學(xué)優(yōu)化算法的并行搜索機(jī)制和無(wú)需使用初始點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn),該混合算法采用生物地理學(xué)優(yōu)化為內(nèi)層算法鄰近點(diǎn)算法為外層算法.數(shù)值仿真結(jié)果表明,所提算法是求解此類非線性極小極大問(wèn)題的一種有效算法.

生物地理學(xué)優(yōu)化;進(jìn)化算法;極小極大問(wèn)題;鄰近點(diǎn)算法

極大極小問(wèn)題來(lái)源于博弈論,是一類重要的不可微優(yōu)化問(wèn)題,具有廣泛的應(yīng)用,因此如何求解此類問(wèn)題具有重要的理論意義和實(shí)際價(jià)值.求解此類問(wèn)題的主要困難在于目標(biāo)函數(shù)的不可微性,這就使得經(jīng)典的梯度類算法難以直接使用.文獻(xiàn)[1]基于熵函數(shù)法將極小極大問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)光滑優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解.文獻(xiàn)[2]針對(duì)約束極小極大問(wèn)題提出一種解決此類問(wèn)題的可行信賴域算法.文獻(xiàn)[3]采用提升技術(shù)將極小極大問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題并設(shè)計(jì)了一個(gè)光滑化信賴域擬牛頓算法.這些算法均取得了良好的計(jì)算效果,然而,提升技術(shù)和極大熵函數(shù)法的本質(zhì)優(yōu)勢(shì)是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可微的優(yōu)化問(wèn)題,進(jìn)而采用基于傳統(tǒng)的梯度類算法進(jìn)行求解[1-3],這些算法依賴于初始點(diǎn)的選取、梯度和海森陣的計(jì)算,特別是在一些實(shí)際問(wèn)題中計(jì)算量主要集中在梯度和海森陣上.

近年來(lái),差分進(jìn)化[4]、粒子群優(yōu)化[5]、細(xì)菌覓食優(yōu)化[6]及生物地理學(xué)優(yōu)化[7]等智能優(yōu)化算法因具有無(wú)需梯度信息和選取初始點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)而得到了廣泛應(yīng)用.生物地理學(xué)優(yōu)化算法(Biogeography-Based Optimization,BBO)是模擬生物物種在各棲息地之間遷入、遷出及消亡過(guò)程而提出來(lái)的一種智能優(yōu)化算法[7].BBO算法由于進(jìn)化機(jī)理的新穎性,近幾年已經(jīng)得到了極大的發(fā)展,其優(yōu)化性能已被大量標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題所檢驗(yàn)[7-9].目前,BBO算法已成功應(yīng)用于圖像處理、天線優(yōu)化、混沌系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)等領(lǐng)域[10-11].近年來(lái),將各類智能優(yōu)化算法與極大熵相結(jié)合來(lái)求解極大極小問(wèn)題已受到一些研究者的關(guān)注.文獻(xiàn)[12]提出了一種粒子群算法與極大熵函數(shù)法相結(jié)合的混合算法;在此基礎(chǔ)上,一些研究者還將該方法推廣到非線性l1模極小化問(wèn)題和非線性互補(bǔ)問(wèn)題上,并取得了一些成效[13].因?yàn)?這些算法屬于隨機(jī)搜索算法,本質(zhì)上僅僅是依概率收斂的,熵函數(shù)僅起到將不可微優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可微優(yōu)化問(wèn)題的作用;因此,算法不能保證100%收斂到問(wèn)題的全局最優(yōu)解.

筆者以每個(gè)分量函數(shù)均為凸函數(shù)的離散型非線性極小極大問(wèn)題為研究對(duì)象.首先,采用熵函數(shù)法給出極小極大問(wèn)題一個(gè)無(wú)約束的光滑逼近子問(wèn)題;然后,將生物地理學(xué)優(yōu)化算法作為內(nèi)層算法,鄰近點(diǎn)算法作為外層算法,構(gòu)造出100%收斂的生物地理學(xué)優(yōu)化-鄰近點(diǎn)混合算法.文中選取幾個(gè)典型的離散型非線性極小極大問(wèn)題進(jìn)行測(cè)試,測(cè)試結(jié)果表明,該算法是求解此類問(wèn)題的一種有效算法.

1　離散型非線性極小極大問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

一般的離散型非線性極小極大問(wèn)題表示如下:

其中,fi(x),x∈D?Rn,(i=1,2,…,m,m≥2)為可微凸函數(shù).因目標(biāo)函數(shù)f(x)的不可微性使得該問(wèn)題成為一個(gè)復(fù)雜的非光滑凸優(yōu)化問(wèn)題.采用熵函數(shù)作為光滑技術(shù)將該離散型非線性極小極大問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列光滑的逼近子問(wèn)題.

定理1 對(duì)任意x∈D?Rn,函數(shù)Fp(x)與f(x)在D上滿足[12]:

即當(dāng)p→+∞時(shí),Fp(x)在D上一致收斂到f(x).

定理2 對(duì)任意x∈D?Rn,若fi(x)中存在一個(gè)嚴(yán)格凸函數(shù),則Fp(x)滿足如下性質(zhì):

(1)函數(shù)Fp(x)是嚴(yán)格凸的可微函數(shù);

(2)函數(shù)Fp(x)隨參數(shù)p的增大而減小,且Fp(x)從上方一致逼近f(x);

(3)Fp( x)與f(x)之間的誤差不超過(guò)(ln m)p.

定理1給出了極大熵函數(shù)逼近目標(biāo)函數(shù)時(shí)產(chǎn)生的誤差,當(dāng)控制參數(shù)p充分大時(shí),就可以用極大熵函數(shù)Fp(x)替代目標(biāo)函數(shù)f(x);定理2表明極大熵函數(shù)與目標(biāo)函數(shù)具有相同的凹凸性.這就為將離散型非線性極小極大問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)光滑優(yōu)化問(wèn)題提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ).控制參數(shù)p取值適當(dāng)大時(shí)即可保證具有較高的求解精度.例如,若m=3,取p=103,此時(shí)計(jì)算誤差就不會(huì)超過(guò)ln3×10-3.

2　生物地理學(xué)優(yōu)化鄰近點(diǎn)混合算法

2.1生物地理學(xué)優(yōu)化算法

BBO算法主要由遷移算子(Migration operator)和變異算子(Mutation operator)兩個(gè)算子組成,它們分別模擬了生物地理學(xué)中物種在棲息地之間的遷移、突變及其消亡過(guò)程.算法的基本原理是將種群中的每個(gè)個(gè)體模擬成一個(gè)棲息地(habitat),采用該棲息地的適宜度指數(shù)(Habitat Suitability Index,HSI)對(duì)個(gè)體進(jìn)行評(píng)價(jià),將刻畫(huà)該棲息地的特征變量(如氣候、植被、降雨量等因素)定義為適宜度索引變量(Suitable Index Variable,SIV)用來(lái)表示自變量,并以此設(shè)計(jì)了個(gè)體遷移算子(Habitat migration)和個(gè)體變異算子(Habitat mutation),使得不同個(gè)體間可以進(jìn)行信息共享,從而獲得問(wèn)題的最優(yōu)解.個(gè)體的適宜度指數(shù)HSI越高,候選解越好,反之亦然.適宜度指數(shù)高的個(gè)體以更大的概率共享自己的特征,而適宜度指數(shù)低的個(gè)體以更大的概率接受此特征.

BBO算法中,每個(gè)棲息地具有各自的遷入率λ和遷出率μ.棲息地遷入率越高,表明棲息地所含物種數(shù)越少,當(dāng)該棲息地中的物種數(shù)目為0時(shí),該棲息地λ=I,μ=0.每個(gè)棲息地的λ和其具有的物種數(shù)目成反比而μ和物種數(shù)目成正比,當(dāng)該個(gè)體中的物種數(shù)目達(dá)到最大時(shí),此時(shí),λ=0,μ=E,I,E分別表示最大遷入率和遷出率.設(shè)BBO算法種群中第k個(gè)個(gè)體包含k個(gè)物種時(shí),則常用的線性遷移公式為

其中,n表示該個(gè)體所能容納的最大物種數(shù),根據(jù)生物地理學(xué)的不同數(shù)學(xué)模型,可以得到不同的遷移公式,通常考慮最大遷入率和最大遷出率相等的情形.遷移算子就是基于遷移公式的個(gè)體特征交換方法,它使BBO算法具有很強(qiáng)的開(kāi)發(fā)能力,詳見(jiàn)文獻(xiàn)[7].

BBO算法中,變異算子根據(jù)棲息地所含物種數(shù)量k的概率以隨機(jī)方式對(duì)其特征變量進(jìn)行變異運(yùn)算,用以增加種群的多樣性.生物物種數(shù)量的概率大,意味該棲息地的生態(tài)系統(tǒng)處于一個(gè)相對(duì)平衡的狀態(tài),發(fā)生突變的可能性小.反之,生物物種數(shù)量概率較少,棲息地的生態(tài)系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài),棲息地容易受外突發(fā)事件的影響,發(fā)生突然變異,從而導(dǎo)致棲息地的生物物種數(shù)量急劇增多或減少.因此,種群中第k個(gè)個(gè)體的變異概率與該棲息地的數(shù)量概率成反比,其計(jì)算公式為

其中,mmax為用戶指定的變異率,并且Pmax=arg max Pk,k=1,2,…,n,是指棲息地的種群概率的最大值.

變異算子可以增加種群的多樣性,從而增強(qiáng)算法的全局搜索性能.

2.2鄰近點(diǎn)算法

鄰近點(diǎn)算法(Proximal Point Algorithm,PPA)是求解凸優(yōu)化問(wèn)題的一類基本方法.近年來(lái),一些研究者從理論和算法設(shè)計(jì)兩個(gè)方面對(duì)PPA算法進(jìn)行了深入的研究[14-16].

考慮以下無(wú)約束凸優(yōu)化問(wèn)題:

其中,f(x)為閉正則凸函數(shù).

采用鄰近點(diǎn)算法求解式(5),其迭代序列{xk}由如下式子產(chǎn)生:

其中,x0∈Rn,為任意選取的初始點(diǎn),{λk}為正值有界序列,D(x)為距離函數(shù).早期的鄰近點(diǎn)算法常采用歐氏距離函數(shù),近年來(lái),Bregman函數(shù)、類似熵函數(shù)等滿足凸性的距離函數(shù)相繼被提出來(lái).根據(jù)不同的距離函數(shù)可以設(shè)計(jì)不同類型的鄰近點(diǎn)算法,對(duì)凸優(yōu)化問(wèn)題,鄰近點(diǎn)算法產(chǎn)生的迭代序列{xk}收斂于問(wèn)題的全局最優(yōu)點(diǎn),詳細(xì)內(nèi)容見(jiàn)文獻(xiàn)[14].

2.3生物地理學(xué)優(yōu)化鄰近點(diǎn)混合算法

針對(duì)離散型極小極大問(wèn)題,采用生物地理學(xué)優(yōu)化算法求解臨近點(diǎn)子問(wèn)題式(6),將其嵌入到臨近點(diǎn)算法中設(shè)計(jì)出生物地理學(xué)優(yōu)化-鄰近點(diǎn)混合算法.

2.3.1混合算法的主要步驟

步驟1 給定初始點(diǎn)x0,控制參數(shù)p,正數(shù)λ0,置k:=1;

步驟2 執(zhí)行BBO算法求解鄰近點(diǎn)子問(wèn)題,得到xk+1;

步驟3 檢驗(yàn)是否滿足算法終止條件,若是,算法停止;否則,置k:=k+1,轉(zhuǎn)步驟2.

2.3.2生物地理學(xué)優(yōu)化算法

步驟1 隨機(jī)生成初始種群;

步驟2 計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適宜度指數(shù)(HSI),對(duì)問(wèn)題式(1),其適宜度指數(shù)為,此處的距離函數(shù)也可以使用其他距離;

步驟3 計(jì)算每個(gè)個(gè)體的種群數(shù)k,遷入率λ和遷出率μ;

步驟4 基于遷入率λ和遷出率μ對(duì)種群中進(jìn)行個(gè)體的遷移運(yùn)算;

步驟5 用變異算子對(duì)種群中的個(gè)體進(jìn)行變異;

步驟6 采用精英選擇策略保留最好個(gè)體;

步驟7 如果終止條件滿足,則停止;否則,返回到步驟2執(zhí)行下一次的迭代.

2.3.3兩點(diǎn)說(shuō)明

(2)由于鄰近點(diǎn)算法的全局收斂性,內(nèi)層生物地理學(xué)優(yōu)化算法只需求得鄰近點(diǎn)子問(wèn)題的近似最優(yōu)解,因此,其種群規(guī)模和迭代次數(shù)不必選取得太大.

3　數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為了檢驗(yàn)所提生物地理學(xué)優(yōu)化-鄰近點(diǎn)算法(記為PPBBO)的有效性,采用4類典型的測(cè)試函數(shù)進(jìn)行測(cè)試并與標(biāo)準(zhǔn)的生物地理學(xué)優(yōu)化算法和經(jīng)典的梯度類算法進(jìn)行比較.在MatlabR2008a編程環(huán)境下,采用Intel (R)Core(TM)i3-3110M,2.40 GHz CPU內(nèi)存2 GB的微機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn).PPBBO和標(biāo)準(zhǔn)BBO算法的參數(shù)設(shè)置如下:種群規(guī)模:PN=5D;最大遷入概率I=1;最大遷出概率E=1;變異率mmax=0.05;求解精度ε=10-6;光滑參數(shù)p=106;最大迭代次數(shù)(MaxIter)為100.算例1和算例2的每個(gè)變量搜索范圍分別為[-2,2]和[-3,3];初始點(diǎn)x0分別為(0.3,0.5)和(0.5,0.5,1,-0.5).算例3和算例4的每個(gè)變量搜索范圍均為[-5,5].經(jīng)典梯度類算法選取文獻(xiàn)[5]中的信賴域牛頓共軛梯度算法(記為TRNCG).為公平比較起見(jiàn),采用與文獻(xiàn)[3]中相同的光滑函數(shù),對(duì)算例3和算例4中不同維數(shù)和函數(shù)個(gè)數(shù)進(jìn)行仿真.各算法獨(dú)立運(yùn)行30次,統(tǒng)計(jì)它們的運(yùn)行時(shí)間和目標(biāo)值,仿真結(jié)果見(jiàn)表1.

表1　算法PPBBO和其它算法的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

問(wèn)題2 考慮如下非線性極小極大問(wèn)題:

已知最優(yōu)解和最優(yōu)值分別為x*=(0,1,2,-1)T,f(x*)=-44.

從表1可以看出,隨著極小極大問(wèn)題規(guī)模的增大,PPBBO、TRNCG及標(biāo)準(zhǔn)BBO在相同的精度要求下,算法耗費(fèi)時(shí)間越來(lái)越長(zhǎng),BBO算法對(duì)同樣問(wèn)題規(guī)模耗費(fèi)時(shí)間大概是PPBBO兩倍以上;而對(duì)例3和例4問(wèn)題維數(shù)不超過(guò)80時(shí),PPBBO和TRNCG算法耗時(shí)相差無(wú)幾,但當(dāng)維數(shù)超過(guò)100時(shí),PPBBO耗時(shí)接近TRNCG的兩倍.從這幾個(gè)典型的數(shù)值算例說(shuō)明,PPBBO算法在一定程度上綜合了經(jīng)典算法在迭代過(guò)程每一步都取最優(yōu)的優(yōu)點(diǎn),改善了隨機(jī)搜索的盲目性;同時(shí)將隨機(jī)算法多點(diǎn)搜索優(yōu)點(diǎn)引入經(jīng)典算法,使得經(jīng)典算法在一定程度上放寬對(duì)初始點(diǎn)的苛刻要求.

4　結(jié)束語(yǔ)

采用熵函數(shù)法將一類每個(gè)分量函數(shù)都是凸函數(shù)的離散型非線性極小極大問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)可微的優(yōu)化問(wèn)題,并將生物地理學(xué)優(yōu)化算法與鄰近點(diǎn)算法相混合提出了求解此類問(wèn)題的一種新的混合算法.新算法具有智能算法的并行性和鄰近點(diǎn)算法的全局收斂性的兩個(gè)優(yōu)點(diǎn).數(shù)值算例仿真結(jié)果表明,在計(jì)算的精度方面與文獻(xiàn)[3]所得結(jié)果相當(dāng),并且當(dāng)控制參數(shù)p足夠大時(shí),所得結(jié)果與理論值趨于一致.為了與傳統(tǒng)的優(yōu)化算法作比較研究混合算法的性能,采用分段多項(xiàng)式光滑函數(shù)為光滑化函數(shù)進(jìn)行試驗(yàn),新算法在求解時(shí)間上比標(biāo)準(zhǔn)BBO算法有及大的降低,在精度上和TRNCG算法相差無(wú)幾,在計(jì)算成功率上達(dá)到100%.以上指標(biāo)表明了新算法求解此類非線性極小極大問(wèn)題的有效性.

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(編輯:王 瑞)

Biogeography based optimization-proximal point algorithm for nonlinear minimax problems

YANG Guoping1,LIU Sanyang1,ZHANG Jianke2
(1.School of Mathematics and Statistics,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China; 2.School of Sciences,Xi’an Univ.of Posts and Telecommunications,Xi’an 710121,China)

Concerning the discrete nonlinear minimax problems with the convex function as each of its components,a new method,called the biogeography based optimization-proximal point algorithm,is presented.By using maximum-entropy methods,the minimax problem is transformed into the unconstrained optimization problem of the smooth function.The algorithm employs the proximal point algorithm as the outer algorithm,and the biogeography based optimization as the internal algorithm.The proposed algorithm which resolves several minimax problems is global convergent.Preliminary numerical experiments show that the proposed algorithm is an effective algorithm for nonlinear minimax problems.

biogeography based optimization;evolutionary computation;minimax problems;proximal point algorithm

O224

A

1001-2400(2016)05-0088-05

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.05.016

2015-07-28 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:2015-12-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61373174,71271165);陜西省教育廳自然科學(xué)專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(2013JK1130,11JK1051);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(JB140705,2014GXNSFBA118023)

楊國(guó)平(1975-),男,副教授,碩士,E-mail:guoping02@126.com.

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20151210.1529.032.html