利用復(fù)旋轉(zhuǎn)矩陣的非酉聯(lián)合對(duì)角化算法

劉文娟,馮大政

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710071)

利用復(fù)旋轉(zhuǎn)矩陣的非酉聯(lián)合對(duì)角化算法

劉文娟,馮大政

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710071)

結(jié)合復(fù)Givens旋轉(zhuǎn)和復(fù)Shear旋轉(zhuǎn),將分離矩陣分解為多個(gè)復(fù)旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積,有效地利用旋轉(zhuǎn)矩陣的結(jié)構(gòu)及目標(biāo)矩陣經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換后相關(guān)元素的巧妙表示,將最小化F范數(shù)代價(jià)函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列維數(shù)為3×3的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的廣義特征向量求解問(wèn)題,進(jìn)而提出了一種基于復(fù)Givens旋轉(zhuǎn)和復(fù)Shear旋轉(zhuǎn)相結(jié)合的非酉聯(lián)合對(duì)角化算法.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,新算法具有估計(jì)精度高、收斂性能穩(wěn)定等特點(diǎn).

盲信號(hào)分離;非正交聯(lián)合對(duì)角化;復(fù)Givens旋轉(zhuǎn);復(fù)Shear旋轉(zhuǎn)

聯(lián)合對(duì)角化在信號(hào)處理領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,特別是盲信號(hào)分離、獨(dú)立分量分析和陣列信號(hào)處理等.現(xiàn)有的聯(lián)合對(duì)角化方法主要分為兩大類(lèi):正交聯(lián)合對(duì)角化和非正交聯(lián)合對(duì)角化.正交聯(lián)合對(duì)角化算法通常要求待估計(jì)的分離矩陣為正交矩陣,因此需要對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行預(yù)白化處理,這要求目標(biāo)矩陣中至少存在一個(gè)正定矩陣.研究表明[1-2],由于截?cái)嗾`差和噪聲等的影響,目標(biāo)矩陣的估計(jì)存在誤差,這使得白化處理不可能精確實(shí)現(xiàn),且由此引入的額外誤差無(wú)法由接下來(lái)的正交聯(lián)合對(duì)角化算法消除.

為了避免預(yù)白化階段產(chǎn)生的不利影響,越來(lái)越多的學(xué)者研究非正交聯(lián)合對(duì)角化算法.其中,一部分算法最小化所有矩陣非對(duì)角線元素的F范數(shù)平方和,如FFDIAG[3],CVFFDiag[4],基于Given和Shear (hyperbolic)旋轉(zhuǎn)的JDi[1]、CJDi[5]和CNJD[6],基于LU或QR分解的ALUJA[7]和GNJD[8]等;另一部分算法最小化最小二乘擬合代價(jià)函數(shù),如ACDC[9],s-BIA[10],UWEDGE[11]和PDMM[12]等;還有優(yōu)化對(duì)數(shù)似然函數(shù)的算法[13].JDi算法利用實(shí)Givens旋轉(zhuǎn)和實(shí)Shear旋轉(zhuǎn)相結(jié)合的方法,將經(jīng)典的JADE[14]算法推廣至非正交領(lǐng)域,保持了其良好的收斂性能.但該算法只能應(yīng)用于實(shí)數(shù)域,無(wú)法直接推廣至復(fù)數(shù)域.

筆者提出一種復(fù)數(shù)域的非正交聯(lián)合對(duì)角化算法,利用復(fù)Givens和復(fù)Shear旋轉(zhuǎn)矩陣的特殊結(jié)構(gòu)及對(duì)相關(guān)目標(biāo)矩陣元素的巧妙表示方法,最小化JDi采用的簡(jiǎn)化的F范數(shù)代價(jià)函數(shù),聯(lián)合估計(jì)復(fù)Givens和復(fù)Shear旋轉(zhuǎn)矩陣的所有參數(shù),避免了奇異解的出現(xiàn).同時(shí),避免了CJDi算法對(duì)目標(biāo)矩陣共軛對(duì)稱(chēng)性的要求.

1　問(wèn)題描述

非酉聯(lián)合對(duì)角化需要解決的問(wèn)題是:給定一組維數(shù)為M×M的復(fù)矩陣M(M={M1,…,MK}),估計(jì)分離矩陣V使得矩陣組M′k=V MkVH,k=1,…,K,盡可能地對(duì)角化.

將分離矩陣V(V∈CM×M)分解為一系列旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積形式[5]:

其中,i=(-1)1/2.與JDi類(lèi)似,相對(duì)于每個(gè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)對(duì){p,q},(p=1,…,M-1,q=p+1,…,M),可以建立一種簡(jiǎn)化的F范數(shù)代價(jià)函數(shù):

這里,m′k,pq為M′k的 第(p,q)個(gè)元素.

下面介紹最小化此代價(jià)函數(shù)估計(jì)旋轉(zhuǎn)矩陣參數(shù)的算法.

2　非酉聯(lián)合對(duì)角化算法

對(duì)于最小化代價(jià)函數(shù)式(4),筆者提出一種兩階段算法,分別關(guān)于旋轉(zhuǎn)矩陣和優(yōu)化代價(jià)函數(shù)式(4),估計(jì)旋轉(zhuǎn)矩陣參數(shù),并更新目標(biāo)矩陣組.為簡(jiǎn)化公式推導(dǎo),將和分別表示為

其中,ωn,pp=cosθncosh yn-sinθnsinh yn,ωn,pq=sinθncosh yn+cosθnsinh yn,ωn,qp=cosθnsinh ynsinθncosh yn,ωn,qq=sinθnsinh yn+cosθncosh yn,n=1,2.可以看出,式(5)和式(6)的所有元素均為實(shí)數(shù)或純虛數(shù).

M′k的第(p,q)個(gè)元素m′k,pq為

令v1=[sinh(2y1),-sin(2θ1)cosh(2y1),cos(2θ1)cosh(2y1)]T,J=diag([-1,1,1]).J為一個(gè)3×3對(duì)角矩陣,顯然,.將mk,pq的實(shí)部和虛部分別表示為和,省略與旋轉(zhuǎn)參數(shù)無(wú)關(guān)的項(xiàng),m′k,pq可近似表示為

第1階段的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解與JDi算法[1]相同的代價(jià)函數(shù).由JDi的結(jié)論可知,最小化代價(jià)函數(shù)式(10)可以通過(guò)求解(R1,J)的最小正廣義特征值對(duì)應(yīng)的特征向量得到.若此特征向量表示為,并歸一化,則待求的旋轉(zhuǎn)參數(shù)的解析表示可以由該特征向量的元素給出[1,5]:

以此構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣,對(duì)目標(biāo)矩陣進(jìn)行更新,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行第2階段的旋轉(zhuǎn).

M″k的第(p,q)個(gè)元素m″k,pq可以表示為

3　計(jì)算復(fù)雜度分析

通過(guò)計(jì)算每次掃描所需的實(shí)數(shù)乘除法運(yùn)算次數(shù)(Number of real-valued Multiplications and Divisions,NMD)來(lái)分析所提算法(簡(jiǎn)寫(xiě)為CGH-JD)的計(jì)算復(fù)雜度.由于此類(lèi)算法的計(jì)算量主要來(lái)源于對(duì)目標(biāo)矩陣的更新,利用和具有稀疏性,且在(p,p)、(q,q)、(p,q)和(q,p)處的元素均為實(shí)數(shù)或純虛數(shù),對(duì)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)對(duì){p,q},更新式(7)和式(12)需32MK次實(shí)數(shù)乘除法運(yùn)算次數(shù),完成一次掃描需M(M-1)/2次更新,若忽略所有階數(shù)低于M3K的項(xiàng),則CGH-JD算法每次掃描需要M3K次實(shí)數(shù)乘除法運(yùn)算次數(shù).

為了便于比較,同時(shí)給出部分現(xiàn)存的非酉聯(lián)合對(duì)角化算法每次迭代(掃描)的計(jì)算復(fù)雜度分析:ACDC為20M3K,CVFFDiag和UWEDGE為8M3K,CJDi的計(jì)算復(fù)雜度與筆者提出的算法相同.

4　仿真實(shí)驗(yàn)

通過(guò)與CJDi[5],ACDC[9],CVFFDiag[4]和UWEDGE[11]等算法的比較,詳細(xì)分析所提出的CGH-JD算法的性能.為了便于分析和比較,采用盲分離算法中常用的性能指標(biāo)全局拒絕水平(Global Rejection Level,GRL)[1,3-10,12,14]來(lái)衡量算法的有效性:

實(shí)驗(yàn)1 構(gòu)造一組M×M的目標(biāo)矩陣組R(k),R(k)=A diag(λ1(k),…,λM(k))AH+ΔR(k)(k=1,…,K).定義無(wú)誤差矩陣項(xiàng)和誤差矩陣項(xiàng)F范數(shù)的平方比(No Error matrix and matrix norm F square Ratio,NER),即,來(lái)衡量噪聲的擾動(dòng).令M=5,K=7,混迭矩陣A、對(duì)角矩陣和誤差矩陣ΔR(l)的實(shí)部和虛部均為隨機(jī)產(chǎn)生,且服從N(0,1)正態(tài)分布.為滿足ACDC的要求,取對(duì)角矩陣為實(shí)矩陣、ΔR(l)共軛對(duì)稱(chēng).一個(gè)好的初始值可以使算法很快收斂.為了在不受初始值干擾的情況下表明算法的收斂性能,所有實(shí)驗(yàn)均采用單位矩陣IM作為算法的初始值,所有結(jié)果均為100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)的平均值.圖1表示CJDi和CGH-JD的收斂全局拒絕水平和收斂時(shí)間隨無(wú)誤差矩陣項(xiàng)和誤差矩陣項(xiàng)F范數(shù)的平方比變化的平均曲線(算法運(yùn)行環(huán)境:MATLAB R2010a,Pentium(R)Dual-Core E5200 CPU,2.50 GHz,2 GB內(nèi)存).圖1表明,CJDi與CGH-JD得到的分離矩陣本質(zhì)相等,但筆者所提CGH-JD算

圖1　全局拒絕水平和收斂時(shí)間隨無(wú)誤差矩陣項(xiàng)和誤差矩陣項(xiàng)F范數(shù)的平方比變化的平均曲線

法的運(yùn)算時(shí)間更短.圖2表示在RNER=0 dB的情況下,筆者所提算法CGH-JD的平均全局拒絕水平和代價(jià)函數(shù)的值隨迭代次數(shù)的變化曲線.可以看出,筆者提出的CGH-JD算法具有良好的收斂性能.圖3(a)表示全局拒絕水平隨無(wú)誤差矩陣項(xiàng)和誤差矩陣項(xiàng)F范數(shù)的平方比變化的平均曲線.圖3(b)表示無(wú)誤差矩陣項(xiàng)和誤差矩陣項(xiàng)F范數(shù)的平方比為20 dB時(shí),全局拒絕水平隨矩陣個(gè)數(shù)變化的平均曲線.結(jié)果表明,筆者所提算法的估計(jì)性能與CJDi算法的相同,同時(shí)優(yōu)于其他3種算法.

圖2　全局拒絕水平和代價(jià)函數(shù)隨迭代次數(shù)變化的平均曲線(CGH-JD,RNER=0 dB)

圖3　全局拒絕水平隨無(wú)誤差矩陣項(xiàng)和誤差矩陣項(xiàng)F范數(shù)的平方比和矩陣個(gè)數(shù)變化的平均曲線

實(shí)驗(yàn)2 仿效文獻(xiàn)[4]中實(shí)驗(yàn)3的方案,取4個(gè)零均值、統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的復(fù)信號(hào)s1(t)=sin(3200πt)+icos(1900πt),s2(t)=sin(20πt)sin(600πt)+ icos(20πt)cos(600πt),s3(t)=sin[ 600πt+6cos(120πt)]+icos(900πt),s4(t)=sin(180πt)+isin(400πt),由4個(gè)傳感器接收,接收信號(hào)X= AS+N.其中,信道沖擊響應(yīng)由復(fù)矩陣A表示,其實(shí)部和虛部均服從N(0,1)正態(tài)分布;源信號(hào)S=[s(1),…,s(L)],這里s(t)=[s1(t),s2(t),s3(t),s4(t)]T;噪聲矩陣N=rand n(4,L)+irand n(4,L),樣本數(shù)L= 1 000.產(chǎn)生10個(gè)目標(biāo)矩陣.定義信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)為. 星座圖,即信號(hào)矢量端點(diǎn)的分布圖,反映了調(diào)制信號(hào)的兩個(gè)基本參數(shù):載波的幅度和相位.因此,對(duì)于判斷調(diào)制方式、誤碼率等有很直觀的效果.星座圖越集中,表示信號(hào)的分離性能越好.所以本實(shí)驗(yàn)中采用星座圖作為衡量算法性能的另一個(gè)指標(biāo).圖4表示各個(gè)算法的全局拒絕水平隨信噪比變化的平均曲線.特別地,為顯示源信號(hào)的恢復(fù)結(jié)果,抽取當(dāng)RSNR=15 d B時(shí)的1次實(shí)驗(yàn),圖5表示源信號(hào)、接收信號(hào)和分離信號(hào)的星座圖.可以看出,CGH-JD能很好地恢復(fù)出源信號(hào),具有良好的分離性能.

圖4　全局拒絕水平隨信噪比變化的平均曲線

5　總 結(jié)

筆者提出一種基于復(fù)Givens和復(fù)Shear旋轉(zhuǎn)的非酉聯(lián)合對(duì)角化方法.該算法采用乘性迭代機(jī)制,將待

Non-unitary joint diagonalization by complex Givens and complex Shear rotation

LIU Wenjuan,FENG Dazheng
(National Key Lab.of Radar Signal Processing,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

The proposed algorithm is based on the combination of complex Givens and complex Shear rotations,which decomposes the de-mixing matrix into a product of complex rotation matrices.By ingenious utilization of the structure of the complex Givens and complex Shear rotations,together with the adequate expression of the concerned variables,the minimization of the F-norm criterion function can be transformed into a sequence of problems of calculating the generalized eigenvector of two 3×3 real symmetric matrices.Numerical simulations illustrate the good performance and convergence property of the proposed algorithm.

blind source separation;non-orthogonal joint diagonalization;complex Givens rotation; complex Shear rotation

TN911.7

A

1001-2400(2016)05-0006-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.05.002

2015-08-17 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:2015-12-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61271293)

劉文娟(1986-),女,西安電子科技大學(xué)博士研究生,E-mail:wjliu@stu.xidian.edu.cn.

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20151210.1529.004.html