von Neumann熵基本性質簡述

孫仕海

摘要：熵是信息論中一個十分重要的概念，能夠用于刻畫信源的平均信息量。但和經典信息論中的香農熵不一樣，量子信息中信源的不確定性需要使用von Neumann熵來進行刻畫。同時，von Neumann熵在糾纏判別、糾纏度刻畫等方面也具有十分重要的地位。因此，我們希望通過本文對von Neumann熵的性質進行介紹，能夠幫助研究生更好地掌握該概念。

關鍵詞：量子信息;von Neumann熵;信息論

中圖分類號：G642.0 ? ?文獻標志碼：A ? ?文章編號：1674-9324（2016）43-0279-02

一、定義

設一個量子系統(tǒng)的狀態(tài)由密度算子

=pi|ψ〉〈ψ|（1）

其中，pi≥0，pi=1，|ψ〉是系統(tǒng)空間內的純態(tài)。但此處需要注意的是不同的|ψ〉不一定相互正交。因此，可以定義這個系統(tǒng)的von Neumann熵為

S（ρ）=-trρlogρ（2）

如果不同的|ψ〉互相正交（不失一般性可以假設其已經歸一化），那么von Neumann熵可以寫為

S（ρ）=-〈ψm|ρlogρ|ψm〉（3）

對方程（3）進一步的推導后可以得到如下的表達式

S（ρ）=-〈ψm|pi|ψiδin〈ψn|logpj|ψj〉δjm

=-〈ψm|pn|ψn〉〈ψn|logpm|ψm〉

=-pmlogpm（4）

其中pm為密度算子的本征值。

從von Neumann熵的定義可以看出，其和經典信息論中的香農熵具有相類似的含義，能夠用于定量分析信源的平均信息量，是忠實傳送信源編碼態(tài)所需要的最小信道量子位數目。同時，從公式（4）可以看出，當量子態(tài)處于完全混合態(tài)時（此時|ψi〉互相正交），von Neumann熵退化為香農熵。

二、基本性質

1.非負性。

S（ρ）=-trρlogρ≥0（5）

其中，當且僅當量子系統(tǒng)處于純態(tài)時等號成立。該性質十分明顯，而且證明過程十分簡單，在此就不進行證明。講解時可以作為練習讓學生自己推導。

2.von Neumann熵在幺正變換下不變，即

S（UPU-1）=S（ρ）（6）

3.如果量子系統(tǒng)ρ存在M個非零的本征值，那么

有S（ρ）≤logM（7）

當且僅當所有非零本征值都相等時等號成立。

4.對于復合系統(tǒng)AB而言，如何系統(tǒng)處于純態(tài)，那么必然有S（A）=S（B）（8）

該性質是von Neumann熵一個比較重要的性質，下面我們對其進行簡單的證明。對于復合純態(tài)系統(tǒng)AB而言，其狀態(tài)波函數可以進行Schmitt分解，即其波函數可以寫為|ψAB〉=|φ〉|φ〉，那么可以有

S（ρA）=S[TrB（|ψAB〉〈ψAB|）]=-PilogPi

S（ρB）=S[TrA（|ψAB〉〈ψAB|）]=-PilogPi（9）

因此可以得證。

5.假設量子體系的密度矩陣可以寫為

ρ=i pi ρi，并且pi處于相互正交子空間，那么有

S（pi ρi）=H（pi）+piS（ρi）（10）

證明：假設λ和|e〉是密度算子ρi的本征值和相應的本征矢量。注意到piλ和|e〉是pi ρi的本征值和本征矢，因此

S（pi ρi）=-piλlog（piλ）

=-pilogpi-piλlogλ

=H（pi）+piS（ρi）

得證。

上面的性質（5）是von Neumann熵一個十分重要的性質，需要幫助學生理解清楚，并要求學生能夠進行證明。同時，由該性質，我們可以推導出下面的結論，即假設ρi是系統(tǒng)A的密度算子集合，|i〉是系統(tǒng)B的正交態(tài)，那么有S（pi ρi？茚|i〉〈i|）=H（pi）+piS（ρi）。這個推理可以用于正交復合系統(tǒng)熵的計算。

6.三角不等式。設ρAB是不同的量子系統(tǒng)A和B中的一個狀態(tài)，那么兩個系統(tǒng)中的聯合熵滿足不等式

S（A，B）≤S（A）+S（B）S（A，B）≥|S（A）-S（B）|（12）

第一個方程當A和B系統(tǒng)不存在關聯時等號成立，第二個方程的等號成立沒有簡單的關系式。三角不等式是von Neumann熵中另一個重要的性質，在判斷不同系統(tǒng)熵大小時具有廣泛的應用。

三、小結

上面我們從定義和基本性質兩個方面對von Neumann熵進行了介紹，這些概念和性質是學習von Neumann熵時必須掌握的基本性質，對于后面量子信息基本理論的學習具有十分重要的基礎作用。因此在授課時對于比較復雜的證明過程一定要讓學生自己動手推導，這樣才能夠更好地掌握這些基本性質，這對于后面的學習十分重要。

Basic Concept of von Neumann Entropy

SUN Shi-hai

（College of Science，National University of Defense Technology， Changsha，Hunan 410073，China）

Abstract：Entropy is a very important concept in the information theory， which could be used to describe the average information amount. However，different from the Shannon Entropy in classical information theory， von Neumann Entropy should be used in the quantum information theory. At the same time， von Neumann entropy could plays important role in the criterion of entanglement. Thus， in this paper， we want to help the student to understand the von Neumann entropy by introducing the basic concept.

Key words：Quantum information;von Neumann entropy