用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的初等變換方法

林琳

【摘要】正交變換法是將實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形常用的方法之一.本文介紹了一種利用初等變換求一個(gè)正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的新方法，并進(jìn)行了方法應(yīng)用實(shí)例分析.

【關(guān)鍵詞】實(shí)二次型；標(biāo)準(zhǔn)形；正交變換；初等變換

求一個(gè)正交變換將實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形通常采用的方法是，先求二次型矩陣的特征值，再對(duì)每一個(gè)特征值求出全部線性無(wú)關(guān)的特征向量，即求解與特征值對(duì)應(yīng)的方程組（λE-A）X=0的基礎(chǔ)解系，并將其進(jìn)行施密特正交化，再單位化.由正交單位化的特征向量構(gòu)成一個(gè)矩陣，此矩陣即為將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的正交變換矩陣.這種方法的不足是需要解特征方程多次求解線性方程組，且施密特正交化公式較易忘記.本文介紹一種用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的初等變換方法.

一、幾個(gè)相關(guān)定理

定理1設(shè)A為n×n矩陣，秩（A）=r，且An×nEn×n→Bn×r0n×（n-r）*Pn×（n-r）其中對(duì)A做初等變換對(duì)E做相應(yīng)的初等列變換即得右邊的矩陣，且這里B是秩為r的列滿(mǎn)秩矩陣.則矩陣P所含的n-r個(gè)列向量就是齊次線性方程組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

定理2n階矩陣A的特征矩陣F（λ）=λE-A等價(jià)于其等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形B（λ），即存在可逆矩陣S（λ）與T（λ），使S（λ）（λE-A）T（λ）=B（λ）其中B（λ）=diag（φ1（λ），φ2（λ），…，φn（λ））. φi（x）∣φi+1（x），i=1，2，…，n-1.

定理3實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A必與對(duì)角陣相似.

二、新的計(jì)算方法

設(shè)F（λ）=λE-A，且F（λ）E

→B（λ）P（λ）

，其中對(duì)F（λ）做初等變換對(duì)E做相應(yīng)的初等列變換即得右邊矩陣，且這里B（λ）為對(duì)角陣.B（λ）的主對(duì)角線上的全部元素的λ多項(xiàng)式的全部根恰為矩陣A的全部特征值.對(duì)于矩陣A的每一特征值λi，矩陣B（λ）中非零向量的列必構(gòu)成列滿(mǎn)秩矩陣.矩陣P（λi）中和B（λi）中零列向量對(duì)應(yīng)的列向量是屬于特征值λi的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量.

設(shè)所求出的特征向量為α11，…，α1k1，…，αi1，…，αiki，…，αs1，…，αsks，它是一組線性無(wú)關(guān)的向量，以α′ij為列向量構(gòu)造矩陣B=（aij），則B′B是一個(gè)n階正定矩陣，必與單位矩陣E合同，即存在n階可逆矩陣Q，使Q′（B′B）Q=E（1），即 （BQ）′（BQ）=E（2）.

（1）式說(shuō)明，對(duì)矩陣B′B施行一系列的初等列變換（相應(yīng)的初等矩陣的乘積為Q）及一系列的初等行變換（相應(yīng)的初等矩陣的乘積為Q′），可成為單位矩陣；（2）式說(shuō)明BQ的列向量組是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，BQ可以通過(guò)對(duì)矩陣B施行與對(duì)矩陣B′B所施行的相同的初等列變換求出.

于是得到求正交矩陣的初等變換的初等變換法：BB

B

→E

BQ

，其中對(duì)B′B做初等變換對(duì)B做相應(yīng)初等列變換即得右邊矩陣.

三、方法應(yīng)用舉例

例求一個(gè)正交變換將二次型f（x1，x2，x3）=2x21+5x22+5x23+4x1x2-4x1x3-8x2x3

化為標(biāo)準(zhǔn)形.

解 二次型矩陣

A=2[]2[]-2

2[]5[]-4

-2[]-4[]5

.

λE-A

E=λ-2[]-2[]2

-2[]λ-5[]4

2[]4[]λ-5

1[]0[]0

0[]1[]0

0[]0[]1

→

-2[]0[]0

0[]λ-1[]0

0[]0[]1[]2（λ-1）（10-λ）

1[]1[]2（λ-5）[]1[]2（9-λ）

0[]1[]-1

0[]0[]1

.

因此

B（λ）=-2[]0[]0

0[]λ-1[]0

0[]0[]1[]2（λ-1）（10-λ）

，P（λ）=1[]1[]2（λ-5）[]1[]2（9-λ）0[]1[]-1

0[]0[]1

.

顯然A的特征值為λ1=1（二重），λ2=10.

當(dāng)λ1=1時(shí)，B（λ1）P（λ1）

=-2[]0[]00[]0[]0

0[]0[]0

1[]-2[]4

0[]1[]-1

0[]0[]1

.

非零向量的列構(gòu)成滿(mǎn)秩矩陣，對(duì)應(yīng)列向量的向量為：α1=（-2，1，0）′，α2=（4，-1，1）′.

當(dāng)λ2=10時(shí)，同理求出對(duì)應(yīng)特征向量α3=-12，-1，1′.

這里α1，α2，α3是線性無(wú)關(guān)的.以α1，α2，α3為列向量構(gòu)成矩陣B，再求出B′B.

于是，得B′BB=5-90-91800094-24-121-1-1011→100010001-255235-1355435-2305323 ，即得P=-25[]5[]2[]35[]-1[]3

5[]5[]4[]35[]-2[]3

0[]5[]3[]2[]3

.

則P即是使二次型變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形的正交變換矩陣.因此得正交變換X=PY，使f=y21+y22+10y23.

【參考文獻(xiàn)】

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