Wald等式的鞅方法證明

徐 懷

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 安徽 合肥 230039)

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Wald等式的鞅方法證明

徐 懷

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 安徽 合肥 230039)

通過構(gòu)造鞅,利用鞅的停時(shí)理論,給出wald等式一個(gè)新的證明方法,最后應(yīng)用于一個(gè)數(shù)值例子.

Wald等式; 鞅; 停時(shí); 停時(shí)定理

Wald等式在隨機(jī)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中,如更新定理的證明、復(fù)合隨機(jī)變量的均值和非規(guī)范U統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)方面有廣泛的應(yīng)用[1-4].常見的證明方法是應(yīng)用示性函數(shù),隨機(jī)變量獨(dú)立性以及收斂定理來給予證明.

本文通過構(gòu)造鞅的方式,應(yīng)用鞅停時(shí)定理,給出Wald等式的一個(gè)新的證明方法.鞅論是隨機(jī)數(shù)學(xué)中占有重要位置,在風(fēng)險(xiǎn)數(shù)學(xué)和金融數(shù)學(xué)等領(lǐng)域有基礎(chǔ)性的應(yīng)用[5-7].

首先給出鞅定義:

定義1 設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過程{Xn,n≥1}和{Yn,n≥1},如果

② E(Xn+1|Y1,Y2,…,Yn)=Xn.

則稱{Xn,n≥1}關(guān)于{Yn,n≥1}是鞅.

鞅的背景來源于公平賭博,上式表明,如果第n次賭博后的資金為Xn,則第n+1次賭博后的平均資金恰好等于Xn,即每次賭博勝負(fù)機(jī)會(huì)相等.在鞅的理論中,停時(shí)定理是研究的重點(diǎn),常見的有幾個(gè),例如:

1 主要結(jié)論

Wald等式的內(nèi)容及鞅方法證明如下:

定義2 設(shè){Xn,n≥1}為隨機(jī)序列,T為取非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量,fn=σ(Xk,1≤k≤n),即為由{Xk,1≤k≤n}生成的σ代數(shù).若對(duì)任一n≥0,都有{T=n}∈fn,則稱T關(guān)于{Xn,n≥1}是停時(shí)(StoppingTime).

可以這樣來理解這個(gè)定義,設(shè){Xn,n≥1}為隨機(jī)序列,T為取非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量,若對(duì)任一n∈{0,1,2,…}的,事件{T=n}僅依賴于X1,X2,…,Xn而與Xn+1,Xn+2,…獨(dú)立.

停時(shí)也被稱為馬爾科夫時(shí)間(MarkovTime).下面敘述Wald等式并采用鞅停時(shí)定理完成證明.

定理2(Wald等式) 設(shè){Xn,n≥1}獨(dú)立同分布,μ=E(Xn)<∞,T關(guān)于{Xn,n≥1}是停時(shí),且ET<∞,則

證明 首先構(gòu)造一個(gè)鞅,令

明顯地,有

(1)

由于{Xn,n≥1}相互獨(dú)立及μ=E(Xn)<∞,則式(1)可寫為

所以

即

下面驗(yàn)證{Zn,n≥1}滿足定理1的條件,

由定理1,得E(ZT)=E(Z1)=0.有

即

證畢.

2 數(shù)值例子

例1 設(shè){N(t),t≥0}是由獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列{Xi,i≥1}構(gòu)成的更新過程,即

且E(Xn)<∞,記SN(t)+1=X1+X2+…+XN(t)+1,計(jì)算E(SN(t)+1).

解 明顯地{N(t)+1=n}={N(t)=n-1}={Sn-1≤t

利用Wald等式可得:

其中,m(t)=E(N(t)),在更新理論中,稱之為更新函數(shù).

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【責(zé)任編輯: 胡天慧】

ANewProofforWald’sEquation

Xu Huai

(SchoolofMathematics,AnhuiUniversity,Hefei230039,China)

Usingtheoptionalsamplingtheorem,anewprooffortheWald’sequationispresentedbyformingamartingale.Forillustrationpurposes,anumericalexampleisgiven.

Wald’sequation;martingale;stoppingtime;optionalsamplingtheorem

2016-05-31

安徽高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2016A033).

徐 懷(1976-),男,安徽長豐人,安徽大學(xué)副教授.

2095-5456(2016)05-0429-02

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