基于多普勒頻率的脫靶量參數(shù)估計性能分析

馮定偉， 吳嗣亮， 魏國華

(北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院， 北京 100081)

?

基于多普勒頻率的脫靶量參數(shù)估計性能分析

馮定偉， 吳嗣亮， 魏國華

(北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院， 北京 100081)

對基于多普勒頻率的脫靶量參數(shù)估計方法的可觀測性及估計性能進(jìn)行了分析. 基于導(dǎo)彈在接近靶標(biāo)軌跡段做勻速運動的假設(shè)，證明了利用時序多普勒頻率進(jìn)行脫靶量參數(shù)估計方法的全局可觀測性，推導(dǎo)了頻率估計存在滿足零均值高斯分布的誤差時估計參數(shù)的克拉美羅界(CRLB)，并通過數(shù)值計算方法對影響估計參數(shù)CRLB的因素進(jìn)行了仿真分析，仿真結(jié)果證明了該推導(dǎo)結(jié)果的正確性，給出了該方法在給定系統(tǒng)參數(shù)條件下不同脫靶量參數(shù)的估計性能，為利用此方法的脫靶量測量技術(shù)提供了參考.

時序多普勒頻率；脫靶量；可觀測性；估計性能；克勞美羅界

脫靶量測量是指對導(dǎo)彈末段軌跡的測量，對鑒定和評估導(dǎo)彈的性能起著關(guān)鍵的作用. 脫靶量測量方法主要分為多普勒測量方法和窄脈沖測量方法，其中依據(jù)導(dǎo)彈與靶標(biāo)交會過程中相對徑向速度隨時間變化規(guī)律的多普勒頻率脫靶量測量方法在國內(nèi)外靶場中得到較多應(yīng)用[1-4]，因此，對基于此方法的脫靶量測量的參數(shù)測量性能作分析具有重要意義.

在運動末段，導(dǎo)彈與靶標(biāo)之間的相對運動通常可認(rèn)為是勻速運動，回波信號多普勒頻率隨時間變化的規(guī)律由二者的相對速度、脫靶距離、脫靶時刻等脫靶量參數(shù)決定. 文獻(xiàn)[5-6]中給出了利用3個連續(xù)等間隔多普勒頻率值進(jìn)行勻速運動目標(biāo)運動參數(shù)求解的閉式解及解唯一性證明，但是沒有對非等間隔情況以及多普勒頻率存在誤差時的參數(shù)解性能進(jìn)行分析. 文獻(xiàn)[7-8]中充分利用了勻速運動目標(biāo)的連續(xù)運動特性，應(yīng)用積分多普勒及非線性最小二乘方法對時序多普勒頻率提取值進(jìn)行聯(lián)合求解得到較高精度的脫靶量參數(shù)估計值，但是沒有深入分析頻率提取間隔、提取點數(shù)等因素對脫靶量參數(shù)估計精度的影響. 同時，不同運動參數(shù)下參數(shù)所能達(dá)到的估計精度亦不相同. 因此，有必要對多普勒頻率脫靶量測量方法的參數(shù)估計性能做進(jìn)一步分析.

本文在導(dǎo)彈與靶標(biāo)作相對勻速運動假設(shè)下，建立了關(guān)于導(dǎo)彈脫靶量參數(shù)的多普勒頻率時間函數(shù). 在此基礎(chǔ)上，從理論上證明了多普勒脫靶量測量方法參數(shù)估計的全局可觀測性，導(dǎo)出當(dāng)多普勒頻率測量誤差存在并滿足零均值高斯分布時估計參數(shù)的克勞美羅界(Cramér-Rao lower bound，CRLB)，并通過估計參數(shù)CRLB的推導(dǎo)及數(shù)值計算對脫靶量參數(shù)的估計性能進(jìn)行分析.

1 全局可觀測性分析

本文從參數(shù)解的唯一性角度對脫靶量參數(shù)估計的可觀測性進(jìn)行分析，即利用給定的多普勒頻率可以唯一得到對應(yīng)的脫靶量參數(shù). 脫靶量測量中，導(dǎo)彈運動狀態(tài)在過靶后的狀態(tài)多樣，因此對多普勒頻率的正頻率曲線區(qū)域進(jìn)行分析具有現(xiàn)實意義. 設(shè)測量天線安裝于靶標(biāo)上，導(dǎo)彈相對靶標(biāo)作速度為v的勻速運動. 記導(dǎo)彈運動軌跡上與靶標(biāo)相距最近點為脫靶點，該點與靶標(biāo)的距離為脫靶距離r，導(dǎo)彈初始測量位置與脫靶點的距離為初始切向距離L，脫靶點對應(yīng)時刻為脫靶時刻tpca并滿足L=vtpca. 雷達(dá)發(fā)射載波波長為λ的信號，則導(dǎo)彈反射回波所產(chǎn)生的多普勒頻率可以表示為

(1)

從式(1)看出，當(dāng)r=0時，fd(t)值恒為v，無法得到脫靶時刻值. 但是，此時可以利用多普勒從正到負(fù)的變化時刻進(jìn)行判斷求解. 實際測量中，r一般滿足大于0的條件，下面主要對r>0的情況進(jìn)行分析，以初始切向距離L對應(yīng)時刻為參考零時刻t=0，設(shè)多普勒頻率為正的時間區(qū)域內(nèi)任意3個時刻ti，tj，tk，ti0時為遞減的性質(zhì)可得

(2)

聯(lián)解3個頻率值對應(yīng)的式(1)得到如下結(jié)果

AiAj(TjTk-TiTk)+AjAk(TiTk-TiTj)+

(3)

式中:T*=(tpca-t*)2;A*=(λfd，*)2/4，*=i，j，k.

式(3)實際上是一個關(guān)于變量tpca的一元三次方程，其4次項系數(shù)相互抵消，利用相應(yīng)的數(shù)值計算工具可以很容易得到此方程的解. 根據(jù)一元三次方程解的結(jié)論可知，式(3)存在3個解，其中只有一個為對應(yīng)的真值，另外兩個解為增根. 令方程等號左邊為關(guān)于脫靶時刻tpca的函數(shù)F(tpca)，得到

(4)

分別將ti，tj，tk帶入函數(shù)式，并注意到約束條件ti

(5)

由函數(shù)F(tpca)的連續(xù)性性質(zhì)可以得到，函數(shù)F(tpca)在區(qū)間(ti，tj)與(tj，tk)內(nèi)必然分別存在一個零點，這兩個零點對應(yīng)時刻值都比tk小，由此可以從方程的3個解中篩選出真值tpca. 將tpca的解帶入fd，i，fd，j，對應(yīng)的式(1)(2)及L=vtpca中并化解，得到脫靶量參數(shù)解

(6)

綜上分析得到，r>0時，多普勒頻率為正區(qū)間內(nèi)無誤差的任意3個不同時刻多普勒頻率值可以得到參數(shù)(r，v，L)的唯一解，此即勻速運動目標(biāo)時序多普勒頻率脫靶量參數(shù)估計方法全局可觀測的充要條件. 可以看出，文獻(xiàn)[6]對應(yīng)證明結(jié)果只是本文證明中的等間隔取值的特例.

2 參數(shù)估計誤差的CRLB及仿真

2.1 參數(shù)估計CRLB

多普勒脫靶量測量技術(shù)中，多普勒頻率的測量是其中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，基于FFT、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換等數(shù)字譜分析方法及現(xiàn)代高分辨率的譜分析方法已廣泛地應(yīng)用于多普勒頻率提取[3，9-10]. 本文分析了參數(shù)解的唯一性條件，但是當(dāng)多普勒頻率提取值存在誤差時，僅利用3個提取值求解得到的脫靶量參數(shù)可能存在較大誤差，而利用多個提取值進(jìn)行優(yōu)化估計則可以提高參數(shù)的估計精度. 當(dāng)多普勒頻率提取誤差服從零均值高斯分布時，非線性最小二乘估計得到的脫靶量參數(shù)為無偏估計量，本文給出無偏估計下的參數(shù)估計CRLB并作為該方法的參數(shù)估計精度理論依據(jù).

將tpca=L/v帶入式(1)中并離散化處理，得到關(guān)于參數(shù)θ=[r v L]T的方程為

(7)

(8)

(9)

參數(shù)θ的CRLB可以通過矩陣I(θ)求逆得出，即

(10)

其中I(θ)是3×3的Fisher信息矩陣，

(11)

矩陣I(θ)經(jīng)化簡為

(12)

(13)

將矩陣I(θ)帶入式化簡，并令為

(14)

得到脫靶量參數(shù)的CRLB

(15)

2.2 參數(shù)CRLB仿真驗證

3 參數(shù)估計性能分析

3.1 數(shù)據(jù)提取參數(shù)的影響

頻率間隔Ts、提取點數(shù)N、提取段長度dL為數(shù)據(jù)提取參數(shù)，三者具有一定的相互依存關(guān)系. 假定λ為0.1 m，σd為100 Hz. 針對靶場環(huán)境對脫靶量參數(shù)作典型設(shè)定：r為20 m，v為600 m/s. 圖2給出了不同數(shù)據(jù)提取參數(shù)下的脫靶量參數(shù)CRLB結(jié)果. 其中，圖2(a)中Ts為3 ms，數(shù)據(jù)提取截止到脫靶點處，N不斷增大；2(b)，2(c)中，dL為100 m，L依次為200，102 m，N不斷增大；2(d)中Ts為3 ms，dL為100 m. 圖2結(jié)果表明：固定導(dǎo)彈速度、脫靶距離時，頻率提取間隔越小，提取點數(shù)越多，提取段長度越長且包含脫靶點附近段越多，則參數(shù)估計誤差下限越小，估計可達(dá)精度越高. 當(dāng)頻率提取段盡可能地包含了脫靶點附近區(qū)域且足夠長后，參數(shù)估計誤差下限隨數(shù)據(jù)段長度的繼續(xù)增大降低速度變緩.

3.2 待估參數(shù)的影響

考慮勻速運動模型以及系統(tǒng)最大測量距離等因素，設(shè)頻率提取初始點與系統(tǒng)中心位置距離R為300 m；考慮脫靶點附近，信號雜波、噪聲等影響，數(shù)據(jù)提取點截止到多普勒頻率小于1 kHz對應(yīng)位置. 設(shè)λ為0.1 m，Ts為2 ms，σd為100 Hz. 圖3給出參數(shù)r、v變化時的對應(yīng)的估計誤差. 對圖3計算結(jié)果的顯示及分析如下.

①σr下限隨r的增大先減小后增大，當(dāng)r增大到100后，迅速增大. 這主要因為：r較小時，多普勒頻率具有明顯變化的數(shù)據(jù)段較短且變化較快，由于頻率提取作了截斷處理，加之頻率間隔固定，導(dǎo)致提取數(shù)據(jù)不能有效反映該段的曲線特性，從而使σr下限增大；隨著r增大，以上兩個因素影響快速削弱，σr下限快速減?。籸繼續(xù)增大，其估計誤差隨自身增大而較明顯增大；當(dāng)r增大到一定程度后，由于對R作了約束，此時多普勒頻率函數(shù)在超出R距離段具有較多的有效信息卻沒有被采樣，導(dǎo)致參數(shù)估計誤差下限迅速增大.

②σr下限隨v的增大變化較緩慢.

③σv下限隨r的增大先緩慢增大，當(dāng)r增大到一定程度后，迅速增大. 這主要因為r增大到一定程度后，對R的固定約束導(dǎo)致L迅速變小，頻率點數(shù)迅速減少，參數(shù)估計性能下降.

④σv下限隨v的增大而增大.

3.3 數(shù)據(jù)截斷的影響

CRLB數(shù)值計算結(jié)果顯示，數(shù)據(jù)提取始末位置的截斷對參數(shù)r的估計誤差可能造成較大影響，而系統(tǒng)實現(xiàn)時對數(shù)據(jù)的截斷不可避免. 設(shè)λ為0.1 m，σd為100 Hz，Ts為2 ms，v為600 m/s，給定脫靶距離r的幾種典型值. 圖4給出參數(shù)r隨比值L/r變化時的CRLB，數(shù)據(jù)點截止到脫靶點處. 計算結(jié)果表明：參數(shù)r的誤差下限隨此比值的增大而減小，當(dāng)L為3倍r左右時，參數(shù)r的誤差下限達(dá)到自身的0.03倍左右，此后誤差下限下降趨勢變緩并趨于穩(wěn)定.

根據(jù)圖4分析結(jié)果，取初始切向距離為4倍脫靶距離大小，圖5給出r隨末端截斷距離與脫靶距離比值Le/r變化的CRLB，Le為數(shù)據(jù)截止點到脫靶點的距離. 計算結(jié)果表明：參數(shù)r誤差下限隨該比值增大而增大，當(dāng)Le與r相當(dāng)時，誤差下限在r為10,150 m條件下分別達(dá)到了1,4 m左右. 此后誤差下限增大趨勢隨此比值的增大迅速變快，參數(shù)估計精度嚴(yán)重變差.

4 結(jié)束語

本文從理論上證明了利用多普勒頻率進(jìn)行脫靶量測量的全局可觀測性，得出多普勒頻率為正的時間區(qū)間內(nèi)無誤差的任意3個不同時刻取值與脫靶量參數(shù)為唯一對應(yīng)關(guān)系，推導(dǎo)了多普勒頻率存在測量誤差時脫靶量參數(shù)的CRLB并利用數(shù)值計算方法分析了頻率提取間隔、提取點數(shù)、導(dǎo)彈持續(xù)軌跡長度等因素對參數(shù)估計CRLB的影響. 為利用此方法的脫靶量測量技術(shù)提供了理論參考.

[1] Duven D， Devereux W. Multisensor miss distance measurement system for test & evaluation of high speed intercepts[C]∥Proc. of the 49th Annual Meeting on Future Global Navigation and Guidance. Alexandria: Institute of Navigation， 1993:767-776.

[2] Chan Y T， Towers J J. Sequential localization of a radiating source by Doppler-shifted frequency measurements[J]. IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems， 1992，28(4):1084-1090.

[3] 吳嗣亮.矢量脫靶量測量系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理方法的研究與實踐[R].北京:北京理工大學(xué)，1998.

Wu Siliang. Study on data processing technique for vector miss distance measurement system and its practice[R]. Beijing: Beijing Institute of Technology， 1998. (in Chinese)

[4] 魏國華，吳嗣亮，王菊，等.脫靶量測量技術(shù)綜述[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2004，26(6):768-772.

Wei Guohua， Wu Siliang， Wang Ju， et al. Overview of miss distance measurement technology[J]. Systems Engineering and Electronics， 2004，26(6):768-772. (in Chinese)

[5] Nadav L. Some results from utilizing Doppler derivatives[J]. IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems， 1980，16(5):727-729.

[6] Webster R J. An exact trajectory solution from Doppler shift measurements[J]. IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems， 1982，18(2):249-252.

[7] 鄧兵，陶然，董云龍.基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的標(biāo)量脫靶量測量新方法[J].兵工學(xué)報，2010，31(12):1627-1631.

Deng Bing， Tao Ran， Dong Yunlong. New method for scalar miss distance measurement based on the fractional Fourier transform[J]. Acta Armamentarii， 2010，31(12):1627-1631. (in Chinese)

[8] 吳嗣亮，毛二可.勻加速直線運動目標(biāo)脫靶量測量方法[J].電子學(xué)報，2000，28(3):99-100，80.

Wu Siliang, Mao Erke. Miss distance measurement for targets with rectilinear trajectories and constant accelerations[J]. Acta Electronica Sinica， 2000，28(3):99-100， 80. (in Chinese)

[9] 齊國清，賈欣樂.插值FFT估計正弦信號頻率的精度分析[J].電子學(xué)報，2004，32(4):625-629.

Qi Guoqing， Jia Xinle. Accuracy analysis of frequency estimation of sinusoid based on interpolated FFT[J]. Acta Electronica Sinica， 2004，32(4):625-629. (in Chinese)

[10] Tao Ran， Li Yanlei， Wang Yue. Short-time fractional Fourier transform and its applications[J]. IEEE Trans. on Signal Processing， 2010，58(5):2568-2580.

(責(zé)任編輯：劉芳)

Performance Analyses of the Approach for Estimating the Miss Distance Parameters

FENG Ding-wei， WU Si-liang， WEI Guo-hua

(School of Information and Electronics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China)

In this paper, the observability and performance of the approach for estimating the miss distance parameters of a target by sequential Doppler frequency were studied. Under the assumption that the missile’s trajectory near its target was relatively in uniform rectilinear motion, the global observability of the approach was proved. Then when estimation errors of Doppler frequency exist to meet zero-mean independent Gaussian distribution, the performance analysis was carried out using both the symbolic and numeric Cramér-Rao lower bound (CRLB), the correctness of which then was proved to be correct. Finally, the estimation performance of different missile miss distance in certain system parameters conditions was given through numeric CRLB. This provides theory

for the miss distance measurement of this method.

sequential Doppler frequency; miss-distance; observability; estimation performance; Cramer-Rao lower bound

2013-07-04

馮定偉(1982—)，男，博士生，E-mail：fengdingwei@bit.edu.cn.

TN 957.524

A

1001-0645(2016)01-0094-06

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.01.017