李玉龍, 白鴻柏, 何忠波
(軍械工程學(xué)院, 河北,石家莊 050003)
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金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)混沌特性研究
李玉龍, 白鴻柏, 何忠波
(軍械工程學(xué)院, 河北,石家莊 050003)
對金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)的混沌特性進行了研究,建立了系統(tǒng)的力學(xué)模型,對減振器進行了靜、動態(tài)試驗,識別了減振器的各參數(shù),通過求解系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵參數(shù)變化的分岔圖,確定了系統(tǒng)產(chǎn)生混沌時激勵力和頻率的取值,采用Runge-Kutta法求解并繪制了系統(tǒng)的位移時間歷程圖、相圖、Poincaré映射圖和頻譜圖,計算了Lyapunov指數(shù)最大值,并在Adams軟件環(huán)境下進行了仿真試驗驗證,證明了金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)具有混沌振動特性.
金屬橡膠;非線性;減振;混沌
金屬橡膠是一種經(jīng)特殊工藝將一定質(zhì)量的金屬絲有序地排放在模具中,通過沖壓或碾壓成型的方法制成的彈性多孔金屬材料. 其內(nèi)部有很多孔洞,既呈現(xiàn)類似橡膠材料的彈性和阻尼性能,同時又保持金屬的優(yōu)異特性. 該材料在工程應(yīng)用中表現(xiàn)出明顯的非線性動力學(xué)特性[1-2]. 由于混沌是非線性動力系統(tǒng)的一種特有的運動形式,金屬橡膠非線性系統(tǒng)必然也產(chǎn)生混沌[3]. 在對金屬橡膠進行減振設(shè)計與分析時,必須充分考慮減振材料的非線性因素,并對減振系統(tǒng)混沌振動的有關(guān)問題進行研究. 查閱文獻可知,目前對金屬橡膠減振系統(tǒng)混沌研究的成果很少,僅有文獻[3]用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)了其產(chǎn)生混沌的解析條件,該文獻的研究是建立在系統(tǒng)的一次諧波解上,而非線性系統(tǒng)的響應(yīng)卻存在多諧波頻率成分[4],因此該方法有待進一步的研究. 但是,混沌狀態(tài)下的系統(tǒng)振動具有單頻輸入寬頻輸出的特性,可以大幅度改變結(jié)構(gòu)噪聲中的線譜成分[5-6],在消除線譜激勵方面具有明顯的優(yōu)勢,這一特點對提高船艦的隱身性能非常有效,所以,研究金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)的混沌響應(yīng)對金屬橡膠材料在船艦裝備中的進一步應(yīng)用,以發(fā)揮提高船艦隱身性能的作用具有重要的指導(dǎo)意義.
盡管國內(nèi)外專家對金屬橡膠減振系統(tǒng)混沌振動特性的研究成果不多,但對其他非線性動力系統(tǒng)的混沌卻開展了大量的研究[7-18]. 從現(xiàn)有的研究成果可知,非線性系統(tǒng)混沌振動的研究和判定方法主要有以下幾種.
① 依據(jù)牛頓第二定律、拉格朗日方程等方法建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程,并對系統(tǒng)方程進行量綱一化,建立系統(tǒng)的參數(shù)模型,然后利用Melnikov等方法進行混沌的解析預(yù)測[8-11].
② 計算一定參數(shù)變化范圍內(nèi)系統(tǒng)的分岔圖,從分岔圖中找出系統(tǒng)的參數(shù)敏感區(qū)域,并針對這些區(qū)域進行數(shù)值分析,判定系統(tǒng)是否處于混沌運動狀態(tài)[12-13].
③ 采用數(shù)值方法計算系統(tǒng)的響應(yīng),然后繪制系統(tǒng)的時間歷程曲線,觀察其隨機性、永不重復(fù)性和對初始條件的敏感性;繪制時域響應(yīng)信號的功率譜圖,觀察功率譜的寬頻特性;繪制系統(tǒng)的相軌跡圖,觀察相軌跡是否充滿相空間中的某一部分,不重復(fù)且不封閉;繪制系統(tǒng)的Poincaré映射圖,觀察映射點既不是有限的點集,也不是封閉曲線. 這些條件均可以判定系統(tǒng)是否為混沌振動[14-15].
④ 計算Lyapunov指數(shù)判斷系統(tǒng)的混沌運動. 該方法是公認的定量判定系統(tǒng)混沌運動的指標,若系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為正,且系統(tǒng)的運動是有界的,則系統(tǒng)是混沌的[16-17].
⑤ 計算系統(tǒng)的分維數(shù)和拓撲熵判定系統(tǒng)的混沌運動,若維數(shù)為分數(shù),則認為系統(tǒng)是混沌的;若拓撲熵大于0,則認為系統(tǒng)是混沌的[18-19].
這些方法均可借鑒用以研究金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)的混沌,文中基于前人的研究成果,首先建立了金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)的力學(xué)模型,并保留模型各參數(shù)的量綱,這樣在分析時就可以確定各參數(shù)的實際值,為實際試驗提供指導(dǎo);其次,對金屬橡膠減振器進行了靜、動態(tài)試驗,并識別得到各參數(shù)的實際取值;再次,通過Runge-Kutta法計算一定激勵力和一定頻率范圍內(nèi)系統(tǒng)的分岔圖,從分岔圖中確定使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的激勵參數(shù)值,并繪制確定參數(shù)系統(tǒng)的時間歷程曲線、相圖、Poincaré映射圖和頻譜圖,計算了系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)最大值,判定了系統(tǒng)在給定的參數(shù)下處于混沌運動狀態(tài);最后,用Adams動力學(xué)仿真軟件對系統(tǒng)進行了仿真試驗,通過響應(yīng)曲線和頻譜圖的對比,進一步驗證了系統(tǒng)的混沌振動. 文中的研究內(nèi)容對金屬橡膠在混沌領(lǐng)域的推廣應(yīng)用具有重要的指導(dǎo)價值.
對于某一常見的金屬橡膠減振系統(tǒng),作如下假設(shè):剛性設(shè)備被一個單向金屬橡膠減振器支撐;減振器的質(zhì)量很小,可忽略不計;只考慮垂直方向的振動. 激勵為沿垂直方向的簡諧激勵,作用在剛性設(shè)備質(zhì)心,且F(t)=F0cosωt. 可將系統(tǒng)簡化為一個單自由度模型如圖1所示.
圖1中,m和x(t)分別為被減振設(shè)備的質(zhì)量和位移,金屬橡膠減振器有明顯的遲滯非線性特性,本構(gòu)關(guān)系為[2]
(1)
式中:k1為一次線性剛度系數(shù);k3為三次非線性剛度系數(shù);c為阻尼系數(shù),它們形成與位移有關(guān)的彈性力和與速度有關(guān)的黏性阻尼力,通常被認為是無記憶恢復(fù)力;z(t)是金屬橡膠變形過程中干摩擦引起的記憶恢復(fù)力,由于該記憶恢復(fù)力的存在,金屬橡膠減振系統(tǒng)表現(xiàn)出明顯的滯后非線性性能.
對式(1)的第二式兩邊同除以dt得
(2)
圖1所示的減振系統(tǒng)的微分方程可寫為
進一步簡化式(3),可得
(5)
常用的單自由度金屬橡膠減振器結(jié)構(gòu)及制備的金屬橡膠減振元件如圖2所示,采用上下兩塊金屬橡膠元件并聯(lián)組合使用該結(jié)構(gòu)避免了金屬橡膠元件拉壓性能不對稱的影響,能夠使金屬橡膠減振器具有整體上的拉壓一致性,從而獲得更穩(wěn)定的性能[2].
根據(jù)指標要求,確定金屬絲徑、螺旋卷直徑、用料質(zhì)量、成型壓力等參數(shù),制備減振器,并用WDW-T200微機控制電子萬能試驗對減振器進行靜態(tài)加載,測得減振器力-變形曲線如圖3所示.
減振器的力-位移曲線明顯彎曲,隨著變形的增大曲線斜率逐漸變大,說明制備的金屬橡膠減振器具有漸硬的非線性性能.
再對減振器進行動態(tài)的正弦加載試驗,動態(tài)加載試驗設(shè)備用由PLS-20電液伺服疲勞試驗機和DH5936振動測試系統(tǒng)組成,動態(tài)加載頻率為1 Hz,幅值為2 mm,試驗結(jié)果如圖4所示.
用遺傳算法編程對動態(tài)試驗數(shù)據(jù)進行參數(shù)識別[20],可得減振器參數(shù)分別為k1=133.546 4,k3=14.900 5,zs=88.185 1 N,c=1.871 3 N/(mm/s),ys=0.819 0 mm,ks=107.674 1 N/mm.
利用辨識參數(shù)繪制曲線與試驗曲線進行對比,如圖5所示.
從辨識結(jié)果與試驗結(jié)果的對比可以看出,兩條遲滯回線基本吻合,說明辨識結(jié)果的正確性.
為確定激勵參數(shù),設(shè)計系統(tǒng)被減振質(zhì)量為m=5 kg,將以上識別的參數(shù)代入式(5),根據(jù)經(jīng)驗,先設(shè)ω=1.5 Hz、激勵力F=3~10 kN,步長ΔF=10,初始條件為[0 0 0],用4階Runge-Kutta法求系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵力變化的分岔圖,如圖6所示.
從圖6可以看出,系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵力變化出現(xiàn)多次分岔,且在5.5,5.8,8.5 kN等附近進入混沌狀態(tài). 令激勵力F=5.5 kN,激勵頻率ω=0~5 Hz,步長Δω=0.02,繪制系統(tǒng)響應(yīng)隨頻率變化的分岔圖,如圖7所示.
從圖7可以看出,系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵頻率變化出現(xiàn)多次分岔,且在如1.9,2.5,3.5 Hz等多個頻率附近達到混沌狀態(tài).
因此,可選取F=5.5 kN,ω=3.5 Hz,初始值取y1=0,y2=0,y3=0,時間區(qū)間選t=0~100 s,步長Δt=0.01 s,編程計算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)最大值為0.31,大于0,可以判定系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài).
求系統(tǒng)的時間歷程曲線(與初始值為y1=0、y2=0.01、y3=0的曲線比較)、相圖、Poincaré映射圖和頻譜圖,如圖8所示.
從圖8的位移時間歷程曲線可知,系統(tǒng)響應(yīng)沒有穩(wěn)定的狀態(tài),微小初始條件的改變會使系統(tǒng)響應(yīng)有較明顯的變化,說明在給定的激勵參數(shù)下系統(tǒng)響應(yīng)對初始條件具有敏感性,且長期不可預(yù)測;從系統(tǒng)相圖可以看出,相軌跡充滿相空間的一個區(qū)域,不重復(fù)且不封閉;從系統(tǒng)的Poincaré映射圖可見,映射點既不是有限點集,也不是封閉曲線;從系統(tǒng)的頻譜圖可以看出,3.5 Hz的定頻激勵條件下,系統(tǒng)響應(yīng)具有很多頻率成分,如0.60,1.70,2.75,2.50,3.50及3.80 Hz都占有相當?shù)谋戎?,這說明金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)可以明顯改變系統(tǒng)響應(yīng)的線譜成分,而且在0~0.4,1.0~1.5,2.0~2.6和3.2~3.7 Hz區(qū)間內(nèi),頻譜圖幾乎是連續(xù)的,具有明顯的寬頻特性. 因此,可以判定金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)具有混沌振動特性.
為驗證金屬橡膠減振系統(tǒng)的混沌特性,用Adams軟件對系統(tǒng)進行仿真研究,在Adams/View下建立單自由度的質(zhì)量-非線性彈簧系統(tǒng)試驗?zāi)P?,如圖9所示.
設(shè)置質(zhì)量塊質(zhì)量設(shè)為5 kg,將其與底座用直線副約束,僅保留豎直方向上的自由度;激勵力用Adams Force設(shè)置,作用在質(zhì)量塊的中心,并編輯力函數(shù)為5 500cos(3.5t);非線性彈簧兩端分別作用在質(zhì)量塊和底座的質(zhì)心,利用圖4試驗得到的力-位移數(shù)據(jù)設(shè)置彈簧的力-變形關(guān)系,設(shè)彈簧的初始偏移為零;對系統(tǒng)進行運動學(xué)仿真,測量質(zhì)量塊位移隨時間變化的曲線,并與Runge-Kutta法求解進行曲線對比,如圖10所示.
從圖10可以看出,Adams仿真試驗得到的質(zhì)量塊的位移時間歷程曲線沒有穩(wěn)定狀態(tài),振動比較混亂且長期不可預(yù)測. 從Adams仿真得到的曲線提取數(shù)據(jù)并對其進行Fourier變換轉(zhuǎn)換到頻域得到其頻譜如圖11所示.
從圖11可以看出,在0.5,1.5,2.5,3.5 Hz處頻率較集中,為主要頻率成分,這是由系統(tǒng)固有頻率和次諧波響應(yīng)共同作用的結(jié)果. 且在0~0.5,1.0~1.5,2.0~2.5 Hz等范圍內(nèi)的頻譜曲線幾乎是連續(xù)的,具有明顯的寬頻特性,這說明仿真的響應(yīng)中還有其他多種頻率成分出現(xiàn).
對比圖8的頻譜圖和圖11可見,Adams仿真沒有Runge-Kutta數(shù)值解的頻率成分復(fù)雜,且圖10中兩種結(jié)果的位移-時間歷程曲線也不完全吻合. 這是因為數(shù)值解是在減振器識別出的參數(shù)下的精確解,而辨識結(jié)果并不是沒有誤差,且Adams對非線性的仿真是將非線性部分在其平衡位置附近線性等效,剛度并不是隨時連續(xù)變化的. 盡管如此,Adams仿真的結(jié)果仍能進一步說明金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)的單頻輸入多頻輸出的寬頻響應(yīng)特性.
文中對金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)的混沌特性進行了研究,主要通過數(shù)值仿真和Adams軟件環(huán)境下的仿真試驗說明了對確定的金屬橡膠減振系統(tǒng),施加適當?shù)募罹涂梢允蛊洚a(chǎn)生混沌響應(yīng)的特性.
結(jié)合辨識得到的系統(tǒng)實際參數(shù),對推導(dǎo)的狀態(tài)方程組進行了數(shù)值計算,并通過求解系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵力和激勵幅值的分岔圖,確定了系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的激勵參數(shù). 計算了Lyapunov指數(shù)最大值,繪制了確定參數(shù)下系統(tǒng)響應(yīng)的時間歷程圖、相圖、Poincaré映射圖和頻譜圖,證明了金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)具有混沌特性.
用Adams軟件對系統(tǒng)進行了仿真試驗,驗證了金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)具有混沌特性. 這里需要指出,由于系統(tǒng)理論模型忽略了減振器的質(zhì)量,且減振器本構(gòu)關(guān)系是基于試驗研究總結(jié)的近似模型,實際無法完全一致,因此,在進一步的試驗研究中,需要參考理論分析的參數(shù),進行大量的試驗才能找到使系統(tǒng)進入混沌運動狀態(tài)的準確參數(shù).
文中提出了研究金屬橡膠非線性減振系統(tǒng)混沌的一般方法,建立了金屬橡膠混沌特性研究的理論基礎(chǔ),既有利于金屬橡膠材料的進一步的推廣應(yīng)用,又有利于指導(dǎo)避開金屬橡膠使用中的有害混沌振動,或利用其改變線譜成的有利特點進行工程設(shè)計,具有重要的理論價值和工程指導(dǎo)意義.
[1] 李玉龍,何忠波,白鴻柏,等.金屬橡膠的研究及應(yīng)用研究[J].兵器材料科學(xué)與工程,2011,34 (1):103-108.
Li Yulong, He Zhongbo, Bai Hongbai, et al. Advance in research and application of metal rubber[J]. Ordnance Material Science and Engineering, 2011,34 (1):103-108. (in Chinese)
[2] 白鴻柏,路純紅,曹鳳利,等.金屬橡膠材料及工程應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2014.
Bai Hongbai, Lu Chunhong, Cao Fengli, et al. Metal rubber material and its engineering application[M]. Beijing: Science Press, 2014. (in Chinese)
[3] 唐果,陳安華,郭源君.金屬橡膠隔振器產(chǎn)生混沌的解析預(yù)測[J].航空動力學(xué)報,2012,27(8):1752-1757.
Tang Guo, Chen Anhua, Guo Yuanjun. Chaotic prediction of metal rubber damper for occurred chaos[J]. Journal of Aerospace Power, 2012,27(8):1752-1757. (in Chinese)
[4] 徐道臨,呂永建,周加喜,等.非線性隔振系統(tǒng)動力學(xué)特性分析的FFT多諧波平衡法[J].振動與沖擊,2012,31(22): 39-44.
Xu Daolin, Lü Yongjian, Zhou Jiaxi, et al. FFT multi-harmonic balance method for dynamic analysis of a nonlinear vibration isolation system[J]. Journal Vibration and Shock, 2012,31(22):39-44. (in Chinese)
[5] 張振海,朱石堅,何其偉.基于反饋混沌化方法的多線譜控制技術(shù)研究[J].振動工程學(xué)報,2012,25(1):30-37.
Zhang Zhenhai, Zhu Shijian, He Qiwei. Multi-line spectra reduction of vibration isolation system based on chaotification method[J]. Journal of Vibration Engineering, 2012,25(1):30-37. (in Chinese)
[6] 浣石,陶為俊,朱石堅,等.硬特性隔振裝置混動動力學(xué)特性研究[J].振動與沖擊,2011,30(1):245-248.
Huan Shi, Tao Weijun, Zhu Shijian, et al. Chaotic dynamic of harding nonlinear isolation device[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011,30(1):245-248. (in Chinese)
[7] 洛侖茲.混沌的本質(zhì)[M].北京:氣象出版社,1997.
Lorenz E N. The essence of chaos[M]. Beijing: Meteorological Press,1997. (in Chinese)
[8] 吳光強,盛云.混沌理論在汽車非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用進展[J].機械工程學(xué)報,2010,46(10):81-87.
Wu Guangqiang, Sheng Yun. Review on the application of chaos theory in automobile nonlinear system[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2010,46(10):81-87. (in Chinese)
[9] Yu W W, Guan K Y, Guo X. Safety and complexity study on vehicle suspension system with hysteretic nonlinearity characteristic under quasi-period multi frequency excitation[J]. Progress in Safety Science and Technology, 2005(5):315-320.
[10] Zhuang D, Yu F, Lin Y. Chaotic threshold analysis of nonlinear vehicle suspension by using a numerical integral method[J]. International Journal of Automotive Technology,2007,8(1):33-38.
[11] 樓京俊,何其偉,朱石堅.多頻激勵軟彈簧型Duffing系統(tǒng)中的混沌[J].應(yīng)用力學(xué)和數(shù)學(xué),2004,25(12):300-400.
Lou Jingjun, He Qiwei, Zhu Shijian.Chaos in the softening duffing system under multi-frequency periodic forces[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2004,25(12):300-400. (in Chinese)
[12] 牛玉俊,徐偉,戎海武.非光滑周期擾動與有界噪聲聯(lián)合作用下受迫Duffing系統(tǒng)的混沌預(yù)測[J].物理學(xué)報,2008,57(12):7535-7540.
Niu Yujun, Xu Wei, Rong Haiwu. Chaos perdiction in the Duffing-type system with non-smooth eriodic perturbation and bounded parametric excitation[J]. Acta Physica Sinica, 2008,57(12):7535-7540. (in Chinese)
[13] Yu Xiang, Zhu Shijian, Liu Shuyong. Bifurcation and chaos in multi-degree-of-freedom nonlinear vibration isolation system[J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2008,385(5):1498-1504.
[14] 劉樹勇,朱石堅,俞翔.準周期激勵非線性隔振系統(tǒng)的混沌研究[J].船舶力學(xué),2010,14(2):141-147.
Liu Shuyong, Zhu Shijian, Yu Xiang. Study on the chaos of the nonlinear vibration isolation system under quasi-periodic excitation[J]. Journal of Ship Mechanics, 2010,14(2):141-147. (in Chinese)
[15] 黃志偉,何雪松,陳志剛,等.非線性隔振系統(tǒng)振動特性分析[J].動力學(xué)與控制學(xué)報,2013,11(3):252-256.
Huang Zhiwei, He Xuesong, Chen Zhigang, et al. Research on the vibration characteristics of nonlinear isolation system[J]. Journal of Dynamics and Control, 2013,11(3):252-256. (in Chinese)
[16] De Souza SLT, Caldas IL. Calculation of Lyapunov exponents in systems with impacts[J]. Chaos Solitons& Fractals,2004,19:567-579.
[17] 金俐,陸啟韶.非光滑動力系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜的計算方法[J].力學(xué)學(xué)報,2005,37(1):40-47.
Jin Li, Lu Qishao. A method for calculating the spectrum of Lyapunov exponents of non-smooth dynamical systems[J]. Acta Mechanica Sinica, 2005,37(1):40-47.(in Chinese)
[18] 甘春標,郭文洲.有界噪聲激勵下非線性系統(tǒng)吸引子的關(guān)聯(lián)維數(shù)估計[J].工程力學(xué),2007,24(6):43-48.
Gan Chunbiao, Guo Wenzhou. Estimation of correlation dimensions of nonlinear systems under bounded-noise excitation[J]. Engineering Mechanics, 2007,24(6):43-48. (in Chinese)
[19] 李翠梅,范欽杰.正拓撲熵與幾種混度概念之間的關(guān)系[J].長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報,2008,29(6):617-619.
Li Cuimei, Fan Qinjie. Relationship between positive topological entropy and chaos[J]. Jourrnal of Changchun Unviersity of Techonology: Natural Science ed, 2008,29(6):617-619. (in Chinese)
[20] Li Yulong, Bai Hongbai, He Zhongbo. Parameter identification of a new metal rubber damper system[J]. Applied Mechanics and Material, 2014,528:54-60.
(責(zé)任編輯:孫竹鳳)
Chaotic Characteristic of Nonlinear Metal Rubber Vibration Isolation System
LI Yu-long, BAI Hong-bai, HE Zhong-bo
(Ordnance Engineering College, Shijiazhuang, Hebei 050003, China)
The chaotic characteristic of nonlinear metal rubber vibration isolation system was studied in this paper. The mechanical model of the system was derived. The static and dynamic tests of the metal rubber isolator were done, and the parameters of the isolator were identified. According to the bifurcation diagrams which changed with the parameters of the excitation, the force and frequency which could make the system be in the chaotic state were got. The displacement time history curve, phase diagram, Poincaré map and frequency spectrogram were structured with the numerical result of Runge-Kutta method, and the maximal Lyapunov exponent was calculated. The chaotic characteristic of the system was simulated and validated by the ADAMS software. Results show that the nonlinear metal rubber vibration isolation system possesses the chaotic characteristics.
metal rubber; nonlinear; vibration isolation; chaos
2014-09-04
國家部委預(yù)研項目(51312060404)
李玉龍(1986—),男,博士生,E-mail:556long@163.com.
V 214.9; TH 17; TH 113
A
1001-0645(2016)05-0491-07
10.15918/j.tbit1001-0645.2016.05.010