在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中幫助學(xué)生建立模型初探

汪必前

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)或關(guān)系的體現(xiàn)，即用數(shù)學(xué)語言、符號或圖形來表示特定的問題或具體事物之間的關(guān)系。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中幫助學(xué)生建立模型，更多的是要幫助學(xué)生通過模型更好地掌握概念、法則、公式、數(shù)量關(guān)系等知識，為應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，要注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析與綜合、分類比較、抽象概括，從而建立模型。

一、分析“點(diǎn)”，綜合成“面”

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，分析和綜合是重要的思維方式，也是學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的重要途徑。分析實(shí)質(zhì)上是對構(gòu)成事物關(guān)系的要素進(jìn)行研究，從而把握這些要素在整個(gè)體系中的作用，由“點(diǎn)”，即要素而逐漸拓展到“面”，即整體，形成綜合，在分析和綜合中建立起模型。因?qū)W生平時(shí)所學(xué)習(xí)的知識大多是以“點(diǎn)”的形式存在，如速度、時(shí)間、路程等，要綜合則是要引導(dǎo)學(xué)生在分析點(diǎn)的基礎(chǔ)上探究“點(diǎn)”和“面”的關(guān)系，由“面”而拓展應(yīng)用。

在教學(xué)實(shí)踐中，教師一方面要以直觀形象的情境或活動引導(dǎo)學(xué)生對模型中的要素特點(diǎn)進(jìn)行分析。如要求某一商品的總價(jià)，那么就需知道單價(jià)和數(shù)量，而對于單價(jià)和數(shù)量，可在教學(xué)中以購物的生活經(jīng)驗(yàn)或情境來引導(dǎo)學(xué)生展開表達(dá)，如學(xué)生購買本子或生活中和父母去買菜的過程中本子或菜的價(jià)格是單價(jià)，所買的數(shù)就是數(shù)量。另一方面，要注重引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)量關(guān)系中的要素關(guān)系展開討論。如單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)，那么，要是知道單價(jià)和總價(jià)，如何求數(shù)量，或要是知道總價(jià)和數(shù)量，如何求單價(jià)，這樣才能做到舉一反三，從而建立起模型。

二、比較“異”，分類“同”

在數(shù)學(xué)關(guān)系中客觀存在“相同”和“不同”，教師在引導(dǎo)學(xué)生建立模型的過程中，更多的就是要幫助學(xué)生能找到關(guān)系中的“相同點(diǎn)”和“不同點(diǎn)”，而在這個(gè)過程中最常采用的方法是比較和分類。在比較中找出不同和相同，然后分類。如對角的分類，首先要以直角為標(biāo)準(zhǔn)，然后將角和直角比較，從而得到鈍角、平角和銳角的分類。在分類過程中則是對具有同一特征的物體再次細(xì)分。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，比較和分類并不是完全孤立的，相反是相互融合在一起的，教學(xué)中一般是先引導(dǎo)學(xué)生比較，然后再分類。

以“乘法的初步認(rèn)識”教學(xué)為例，乘法的實(shí)質(zhì)是加數(shù)相同的連加算式，但學(xué)生尚未建立這一模型，在教學(xué)中，通過情境活動而引導(dǎo)學(xué)生列出如3+3+3+3，5+5+5，7+7+7+7等算式后，第一步是引導(dǎo)學(xué)生觀察這些算式，看看有什么共同特點(diǎn)，然后進(jìn)行比較并分類，接著引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)算式的特征討論是否可用簡便的方法計(jì)算，最后在教師的指導(dǎo)下建立起模型，根據(jù)加數(shù)相同的連加算式可用相同加數(shù)×相同加數(shù)的個(gè)數(shù)的方法計(jì)算。同樣，在平均分的學(xué)習(xí)中也可用此類方法進(jìn)行。

三、抽出“非”，概括“是”

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無論是概念、公式，還是法則、數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)，更多的是要根據(jù)本質(zhì)屬性去應(yīng)用，而小學(xué)生很容易把事物的非本質(zhì)屬性和屬性混淆，從而導(dǎo)致錯誤發(fā)生。如解決應(yīng)用題中，題干中只給出了總量和速度，要求時(shí)間，但有的學(xué)生卻認(rèn)為根據(jù)總量÷效率=時(shí)間的公式，因不知道效率，所以就無法解決問題，而沒有弄清速度也是效率的一種表現(xiàn)。為此，在教學(xué)中就需要引導(dǎo)學(xué)生利用抽象和概括的方法，從而建立起模型并正確應(yīng)用。

以“分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系”為例，對于“分?jǐn)?shù)”和“除法”，先引導(dǎo)學(xué)生用分析的方法對其特點(diǎn)進(jìn)行分析。教學(xué)中先借助情境而引導(dǎo)學(xué)生列出算式，如把3元錢分給4個(gè)人，得到3÷4的算式，列出算式后討論其結(jié)果可以怎樣表示，從而得到可用分?jǐn)?shù)也可用小數(shù)表示的結(jié)果。接著以“相同”算式來引導(dǎo)學(xué)生歸納抽象，如3÷5、7÷8等，得到3/5、7/8的結(jié)果，再進(jìn)一步概括，用字母來表示數(shù)，得到a÷b=a/b，讓學(xué)生從具體情境向數(shù)學(xué)問題過渡，最終建立起符號模型。

四、猜想“假”，驗(yàn)證“真”

猜想實(shí)質(zhì)是一種假設(shè)，而假設(shè)是否為真，就需要驗(yàn)證。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過假設(shè)驗(yàn)證也是引導(dǎo)學(xué)生建立模型的重要方法。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中并不是被動接受知識的過程，相反學(xué)生有主觀能動性，會根據(jù)自己的判斷做出假設(shè)，然后驗(yàn)證。在建模的過程中，通過引導(dǎo)學(xué)生假設(shè)然后驗(yàn)證，可更好地促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建知識，建立模型。但需要注意，在引導(dǎo)學(xué)生假設(shè)過程中，教師要注重幫助學(xué)生做出合理的假設(shè)，然后再去驗(yàn)證，否則，因?qū)W生知識基礎(chǔ)弱、理解能力尚不強(qiáng)，做出的假設(shè)可能有時(shí)無法驗(yàn)證，從而無法得到結(jié)論。

以“分?jǐn)?shù)和小數(shù)的關(guān)系”探究為例，分?jǐn)?shù)是否能化成有限小數(shù)是一個(gè)假設(shè)，在這個(gè)假設(shè)中，先引導(dǎo)學(xué)生用1、2、3、4、5、7、9組成真分?jǐn)?shù)并化為小數(shù)，然后合作探究其中的規(guī)律，學(xué)生計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，所組成的分?jǐn)?shù)可以分為兩類，一類是分母是2或5的分?jǐn)?shù)，此類數(shù)可以化成有限小數(shù)，而其他不能，此時(shí)再追問“真分?jǐn)?shù)一定能化成有限小數(shù)嗎？”學(xué)生就能得到肯定的回答。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生猜想并驗(yàn)證，實(shí)質(zhì)是一種發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，在探究中逐漸讓學(xué)生建立起模型，經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，不僅可促進(jìn)學(xué)生問題能力的培養(yǎng)，也可推進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革。在教學(xué)實(shí)踐中，教師要注重結(jié)合學(xué)生的實(shí)際和教學(xué)需要，綜合采用多種方法幫助學(xué)生建立模型并引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用，這樣才能有效提升數(shù)學(xué)教學(xué)效率。

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣開發(fā)區(qū)國際學(xué)校）