第9課“猜想驗(yàn)證性問題”復(fù)習(xí)精講

劉振超

專題精講

猜想驗(yàn)證是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，猜想驗(yàn)證問題給出的背景或條件是特定的，這些特定的背景或條件包括以下幾個方面：有規(guī)律的數(shù)與式、等式，具有某種特征的圖形、圖表或流程圖，特定的生活情景、數(shù)學(xué)問題等，一種情況是要求同學(xué)們從已知的個例中，通過觀察、分析和比較，歸納出探究對象所具有一般規(guī)律或不變的結(jié)論，它能夠揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這些規(guī)律或結(jié)論可進(jìn)一步指導(dǎo)我們解決相關(guān)的實(shí)際問題，它體現(xiàn)了“特殊→一般→特殊”的數(shù)學(xué)思想：另一種情況是要求同學(xué)們從一個問題的解題策略或結(jié)論，類比猜想出另一個相似問題的解題策略或結(jié)論，它體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，旨在讓同學(xué)們學(xué)會知識的遷移，猜想驗(yàn)證問題在中考的選擇、填空或解答題中均有考查，在選擇題、填空題中以代數(shù)方面為主，在解答題中以幾何方面為主，分值占到5%左右，

重點(diǎn)題型例新

一.數(shù)、式規(guī)律猜想型

數(shù)、式規(guī)律猜想型問題，通常給出一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，要求猜想其中蘊(yùn)涵的規(guī)律，解決此類問題的方法是：先寫出數(shù)或式的基本結(jié)構(gòu)，然后橫比，即比較同一數(shù)或式中不同部分之間的數(shù)量關(guān)系，再縱比，即比較相鄰數(shù)或式在相同位置的數(shù)量關(guān)系，找出各部分的共同特征，即各部分與對應(yīng)序號的關(guān)系，對于有規(guī)律循環(huán)的要找出“循環(huán)節(jié)”，最后用字母代替數(shù)，即找到了規(guī)律。

點(diǎn)撥：當(dāng)按某個規(guī)則算出一列數(shù)時，這列數(shù)常按某一循環(huán)節(jié)循環(huán)，解答時我們應(yīng)多算各項(xiàng)，直到“循環(huán)節(jié)”出現(xiàn)為止，計(jì)算應(yīng)仔細(xì)，如果計(jì)算錯誤就會找不出“循環(huán)節(jié)”，或找錯“循環(huán)節(jié)”。

點(diǎn)撥：觀察等式規(guī)律，著重分析以下三個方面：一是同一等式結(jié)果的各部分之間的數(shù)量關(guān)系；二是從上一個結(jié)果到下一個結(jié)果是如何變化的：三是每一個等式的結(jié)果與對應(yīng)序號之間的數(shù)量關(guān)系，

二.圖形、坐標(biāo)規(guī)律猜想型

解決圖形規(guī)律猜想問題，需要從簡單的圖形人手，抓住隨著“編號”或“序號”的增加，后一個圖形與前一個圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，把圖形變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)字變化規(guī)律，對于點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律猜想問題，主要觀察點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)隨“序號”的增加，它們與序號之間的數(shù)量關(guān)系，如果點(diǎn)的坐標(biāo)循環(huán)出現(xiàn)，要把“循環(huán)節(jié)”找出來。

例3（2015·山西）如圖1是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的正方形和正三角形鑲嵌而成，第（1）個圖案有4個三角形，第（2）個圖案有7個三角形，第（3）個圖案有10個三角形，…，依此規(guī)律，第n個圖案有___個三角形，（用含n的代數(shù)式表示）

解析：找出1與4，2與7，3與10，…之間的數(shù)量關(guān)系，然后用n代替序數(shù)可得到第n個圖案的三角形個數(shù)。

第（1）個圖案有4個三角形，4=3xl+1；第（2）個圖案有7個三角形，7=3x2+1；第（3）個圖案有10個三角形，10=3x3+1；…，故第n個圖案有（3n+1）個三角形，

點(diǎn)撥：對于圖形規(guī)律型問題既可以從結(jié)果的數(shù)字上進(jìn)行分析，也可直觀地觀察圖形，看圖形是如何變化的，如本題，若把第1個圖案看作在1個正三角形的基礎(chǔ)上增加了3個正三角形和1個正方形，我們發(fā)現(xiàn)，以后每次構(gòu)圖都是這樣的，由此也可以得到答案，

例4（2015·濟(jì)南）在平面直角坐標(biāo)系中有三個點(diǎn)A（1，-1）、B（-1，-1）、C（0，1），點(diǎn)P（0，2）關(guān)于A的對稱點(diǎn)為Pl，P1關(guān)于B的對稱點(diǎn)為P2，P2關(guān)于C的對稱點(diǎn)為P3，按此規(guī)律繼續(xù)以A、B、C為對稱中心重復(fù)前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，則點(diǎn)P2015的坐標(biāo)是（

），

A.（O，O）

B.（0，2）

C.（2，-4）

D.（-4，2）

解析：按照操作的規(guī)則找出前面幾個點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察橫、縱坐標(biāo)變化規(guī)律，若出現(xiàn)循環(huán)，則把“循環(huán)節(jié)”找出來，

因點(diǎn)P（0，2）關(guān)于A的對稱點(diǎn)為Pl，點(diǎn)A（1，-1），故根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得P1（2，-4），同理可得P2（-4，2），P3（4，0），P4（-2，-2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，-4），…，我們發(fā)現(xiàn)，每6個點(diǎn)循環(huán)一次，“循環(huán)節(jié)”為P1（2，-4），P2（-4，2），P3（4，0），P4（-2，2），B（0，O），R（0，2），因2015÷6=335余5，故點(diǎn)P2015的坐標(biāo)是（0，0），故詵A，

三.方法類比猜想型

此類試題的特點(diǎn)是給出一個問題的解題過程，讓我們嘗試解決另一個相似的問題，解題策略是：首先要領(lǐng)會已給出的解答過程的思想內(nèi)涵，然后找出前后兩個問題的相似之處，一方面借鑒，另一方面適當(dāng)變通，

點(diǎn)撥：當(dāng)待求關(guān)系式與示例的關(guān)系式形式不一樣時，我們要嘗試進(jìn)行變形，至于如何變形才算形式一致呢？這需要我們在類比猜想中思考已知形式的本質(zhì)所在，如本題，就是要變形為自變量與自變量倒數(shù)的和的形式，

中考命題預(yù)測

1.公務(wù)員行政能力測試中有一類圖形規(guī)律題，可以運(yùn)用我們初中數(shù)學(xué)中的圖形變換再結(jié)合變化規(guī)律來解決，圖2中問號格內(nèi)的圖形應(yīng)該是（

），

2.如圖3都是由同樣大小的棋子按一定的規(guī)律組成，其中第①個圖形有1顆棋子，第②個圖形一共有6顆棋子，…，則第⑦個圖形棋子的個數(shù)為（

），

（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時，如圖5②，試探究線段BE、BM、CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上時，如圖5③，線段BE、BM、CF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需要證明。