7.2概率

重點難點易混易錯點剖新

復習重點：隨機事件的定義，概率的定義，計算簡單事件概率的方法，主要是列舉法（包括列表法和畫樹狀圖法），利用頻率估計概率，并能體會隨機觀念和概率思想，

復習難點：理解什么是必然發(fā)生的事件、不可能發(fā)生的事件、隨機事件，準確運用列舉法（包括列表法和畫樹狀圖法）計算簡單事件發(fā)生的概率，理解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系，并能解決一些實際問題。

需要注意，概率是針對大量重復試驗而言的，大量重復試驗反映的規(guī)律并非意味著在每一次試驗中一定存在，從這個意義上說，即使某事件發(fā)生的概率非常大，但在一次試驗中也有可能不發(fā)生；即使事件發(fā)生的概率非常小，但在一次試驗中也可能發(fā)生。

根據(jù)概率的定義，我們采用列舉的方法計算一些簡單事件的概率，一步試驗一般適用枚舉法，在兩步的試驗中適用列表法，對于包含三步的試驗適用樹狀圖法，樹狀圖法是一種適用性比較廣泛的方法，能夠用列表法解決的問題當然也能用樹狀圖法來解決。

在同樣條件下，大量重復試驗時，根據(jù)一個隨機事件發(fā)生的頻率所逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)可以估計這個事件發(fā)生的概率，對于不屬于各種結果可能性相同的類型，只能用頻率去估計概率，應用了“用樣本估計總體”的統(tǒng)計思想，

概率的應用主要是通過設計簡單的概率模型，在不確定的情境中作出合理的決策，以及結合實際問題，體會統(tǒng)計與概率的關系，

易混易錯點：

（1）混淆概率與頻率，相同條件下，一個事件發(fā)生的概率是一個常數(shù)，頻率會隨著樣本空間的變化而變化，所以用頻率估計出來的概率通常是不精確的。會有誤差，

（2）分不清“摸球問題”中的“摸出放回”與“摸出不放回”兩種情況，用列舉法計算簡單事件發(fā)生的概率時，把機會均等的結果一一列舉出來，在列舉時必須注意結果不重不漏，

（3）概率的計算方法選擇有誤，解決有關概率的計算問題時要弄清楚是幾步試驗，這樣才能準確選擇概率的計算方法，

重要考點題型方法點撥

一.隨機事件、必然事件、不可能事件與可能性

例1（2015·襄陽）下列說法中正確的是（

），

A.“任意畫出一個等邊三角形。它是軸對稱圖形”是隨機事件

B.“任意畫出一個平行四邊形，它是中心對稱圖形是必然事件

C.“概率為0.000l的事件”是不可能事件

D.任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，正面向上的一定是5次

解析：“任意畫出一個等邊三角形，它是軸對稱圖形”是必然事件，選項A錯誤：“任意畫出一個平行四邊形，它是中心對稱圖形”是必然事件，選項B正確；“概率為0.0001的事件”是隨機事件，選項C錯誤；任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，正面向上的可能是5次，選項D錯誤，故選B，

點撥：本題考查了隨機事件、必然事件以及不可能事件的定義，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，如果相關概念理解不正確，容易造成錯選，必然事件是指在一定條件下一定發(fā)生的事件，不可能事件是指在一定條件下一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，本題在考查概率的同時，也考查了軸對稱、中心對稱等知識，體現(xiàn)了知識之間的相互滲透，如果對軸對稱、中心對稱掌握不好，也會產(chǎn)生新的易錯點，

二.幾何概率

例2（2015·營口）如圖1，正方形的陰影部分是由四個直角邊長都是1和3的直角三角形組成的。假設可以在正方形內(nèi)部隨意取點，那么這個點取在陰影部分的概率為

，

解析：點的取法雖然有無數(shù)種等可能情況，但根據(jù)取點的位置，可以轉(zhuǎn)化為陰影面積與總面積的關系，求出陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例即可，

點撥：解決此題的關鍵是明確幾何概率等于相應的面積與總面積之比，首先根據(jù)題意將代數(shù)關系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件，然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即為事件發(fā)生的概率，解答本題使用了轉(zhuǎn)化思想，這一思想方法的滲透同學們要關注，本題的易錯點是面積的計算，

解析：在方格紙中，隨機選擇標有序號①②③④⑤中的一個小正方形涂黑，共有5種等可能的結果，使與圖中陰影部分構成軸對稱圖形的有②④⑤這3種情況，使與圖中陰影部分

構成軸對稱圖形的概率是故選C，

點撥：本題綜合考查概率公式及軸對稱圖形的相關知識，此題屬于一步隨機事件。用直接列舉法求概率，根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目，二者的比值就是其發(fā)生的概率，本題的易錯點是混淆軸對稱、中心對稱的概念，造成錯選，

例4（2015·寧夏）從2，3，4這三個數(shù)字中，任意抽取兩個不同數(shù)字組成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)能被3整除的概率是

解析：本題屬于抽取不放回兩步隨機事件，用列表法或樹狀圖法求概率，如表1，任意抽取兩個不同數(shù)字組成一個兩位數(shù)共有6種情況，其中能被3整除的有24，42兩種，則組成兩

點撥：對于兩步隨機事件，首先要判斷是抽取放回試驗，還是抽取不放回試驗，這也是本題的易錯點，關鍵是通過列表法或樹狀圖法求出組成兩位數(shù)的所有可能情況及符合條件的幾種可能情況，

例5（2015·德州）經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能左轉(zhuǎn)或者右轉(zhuǎn)，如果這三種可能性大小相同，則經(jīng)過這個十字路口的兩輛汽車一輛左轉(zhuǎn)、一輛右轉(zhuǎn)的概率是（

），

解析：本題屬于抽取放回兩步隨機事件，可選用列表法或樹狀圖法求概率，畫樹狀圖列舉這兩輛汽車行駛方向所有可能的結果如圖3所示，共有9種可能的結果，由樹狀圖知。兩輛汽車一輛左轉(zhuǎn)、一輛右轉(zhuǎn)的結果有2種。且所有結果的可能性相同，則經(jīng)過這個十字路口

點撥：由題目條件“兩輛汽車”可知，在解決此問題時試驗分兩步完成，因為兩輛汽車都有三種可能性且大小相同，所以試驗是抽取放回的試驗，解題的關鍵是根據(jù)題意畫出樹狀圖或列出表格，再根據(jù)概率公式求解即可，

六.求三步隨機事件的概率

例6（2015·聊城）在陽光體育活動時間，小亮、小瑩、小芳和大剛到學校乒乓球室打乒乓球，當時只有一副空球桌，他們只能選兩人打第一場，

（1）如果確定小亮打第一場，再從其余三人中隨機選取一人打第一場，求恰好選中大剛的概率，

（2）如果確定小亮為裁判，用“手心、手背”的方法決定其余三人哪兩人打第一場，游戲規(guī)則是：三人同時伸“手心、手背”中的一種手勢，如果恰好有兩人伸出的手勢相同且與另一個人的手勢不同，那么這兩人上場，否則重新開始，這三人伸出“手心”或“手背”都是隨機的，請用畫樹狀圖的方法求小瑩和小芳打第一場的概率。

解析：此題屬于抽取放回三步隨機事件，適用樹狀圖法，（1）因為確定小亮打第一場，所以再從小瑩、小芳和大剛中隨機選取一人打第一場，恰好選中大剛的概率為三分之一；（2）畫樹狀圖如圖4，

所有等可能的情況有8種，其中小瑩和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且與大剛不同的結果有2種，則小瑩與小芳打第一場的概率為八分之二等于四分之一。

點撥：解答本題的關鍵是弄清楚試驗分幾步完成，還要弄清楚是屬于“放回”還是“不放回”的情形，注意不重不漏地列出所有可能情況，本題的易錯點是不能正確判斷出是幾步隨機事件，錯誤選用列表法，

七.用頻率估計概率

例7（2015·南通）在一個不透明的盒子中裝有a個除顏色外完全相同的球，這a個球中只有3個紅球，若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子，通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則a的值約為（

），

A.12

B.15

C.18

D.21

點撥：用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率，關鍵是根據(jù)紅球的頻率得到相應的等量關系，在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近。可以從比例關系入手，列出方程求解，

中考命題預測

1.下列說法屬于不可能事件的是（

），

A.四邊形的內(nèi)角和為360°

B.梯形的對角線不相等

C.內(nèi)錯角相等

D.存在實數(shù)x滿足x²+l=0

2.如圖5是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤分為6個大小相同的扇形，指針的位置固定，轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止后，其中的某個扇形會恰好停在指針所指的位置（指針指向兩個扇形的交線時，當作指向右邊的扇形），指針指向陰影區(qū)域的概率是（

），

4.如圖6，有一個質(zhì)地均勻的正四面體，其四個面上分別畫著圓、等邊三角形、菱形、正五邊形，投擲該正四面體一次，向下的一面的圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率是（

），

5.若十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字、百位上的數(shù)字都大的三位數(shù)叫作中高數(shù)，如796就是一個“中高數(shù)”，若十位上數(shù)字為7，則從3、4、5、6、8、9中任選兩數(shù)，與7組成“中高數(shù)”的概率是（

），

6.用2，3，4三個數(shù)字排成一個三位數(shù)，則排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為

，

7.一個不透明的盒子里裝有除顏色外無其他差別的白珠子6顆和黑珠子若干顆，每次隨機摸出一顆珠子，放回搖勻后再摸，通過多次試驗發(fā)現(xiàn)摸到白珠子的頻率穩(wěn)定在O.3左右，則盒子中黑珠子可能有___顆，

8.A、B、C三人玩籃球傳球游戲，游戲規(guī)則是：第一次傳球由A將球隨機地傳給B，C兩人中的某一人，以后的每一次傳球都是由上次的傳球者隨機地傳給其他兩人中的某一人，

（1）求兩次傳球后，球恰在B手中的概率，

（2）求三次傳球后，球恰在A手中的概率。