求解磁場(chǎng)問(wèn)題圓的定理神奇

華興恒

在求解有關(guān)磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，如果能夠深入分析題意，靈活地運(yùn)用有關(guān)圓的定理，則可以達(dá)到快速簡(jiǎn)捷求解的目的.下面舉例說(shuō)明，相信會(huì)對(duì)學(xué)生學(xué)好這部分知識(shí)有一定的幫助作用.

一、利用“垂徑定理”和“相交弦定理”解題

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的乘積相等.

例1如圖1所示，質(zhì)量為m、電阻為r、半徑為R的金屬環(huán)，豎直落入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，在離開(kāi)磁場(chǎng)還有h=12R時(shí)，加速度為零.求此環(huán)下落的速度.

解析設(shè)在磁場(chǎng)中圓弧AB的有效切割長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則根據(jù)垂徑定理有：AE=BE=L2；再根據(jù)相交弦定理有：L2·L2=R2·3R2，則L=3R，若下落速度為v時(shí)，加速度為

零，根據(jù)平衡條件有：mg=BIL=BL·BLvr，解得v=mgr3B2R2.

二、利用“弦切角定理”解題

弦切角定理：弦切角等于它所夾弧所對(duì)的圓周角.

推論：弦切角等于同弧所對(duì)的圓心角的一半.

例2質(zhì)量為m、電量為

-q的粒子，以某一速度垂直于屏S經(jīng)過(guò)小孔O又垂直磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)進(jìn)入真空室，如圖2所示.如果粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后經(jīng)過(guò)時(shí)間t到達(dá)位置P，若運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R，求粒子經(jīng)過(guò)的位移OP的大小.

解析設(shè)負(fù)粒子以速度v垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖3.由弦切角定理的推論，得θ=α2.根據(jù)角速度關(guān)系有：αt=2πT；

再根據(jù)qBv=mv2R和v=2πRT，可解得θ=qBt2m.

再由弦切角定理，有θ=∠OAP，又根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，有∠AOP=90°，解直角三角形可得：OP=2RsinqBt2m.

例3在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖4所示.一個(gè)不計(jì)重力的帶電粒子從磁場(chǎng)邊界與x軸的交點(diǎn)A處以速度v沿-x軸方向射入磁場(chǎng)，它恰好從磁場(chǎng)邊界與y軸的交點(diǎn)C處沿+ y方向飛出.

（1） 請(qǐng)判斷該粒子帶何種電荷，并求出其荷質(zhì)比；

（2） 若磁場(chǎng)的方向與所在空間范圍不變，而磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)锽′，該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場(chǎng)，但飛出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相對(duì)于入射方向改變了60°角，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B ′多大？此次粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間t是多少？

解析（1） 由粒子的飛行軌跡，利用左手定則可知該粒子帶負(fù)電荷.粒子由A點(diǎn)射入，由C點(diǎn)飛出，其速度方向改變了90°，則粒子軌跡半徑R=r.

又qvB=mv2R.

則粒子的荷質(zhì)比為qm=vBr.

（2） 粒子從D點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，速度方向改變了60°角，故AD弧所對(duì)圓心角為60°，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R′=rtan30°=3r.

又R′=mvqB′，所以B′=33B.

粒子在磁場(chǎng)中飛行的時(shí)間為t=16T=16×2πmqB′=3πr3v.

三、利用“圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理”和“切線長(zhǎng)定理”解題

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角.

切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它的切線長(zhǎng)相等，圓心與這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.

例4如圖6所示，在以O(shè)為圓心、半徑為R的圓形空間內(nèi)存在著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)帶電粒子從A點(diǎn)以速度v正對(duì)著O點(diǎn)垂直射入磁場(chǎng)中，做勻速圓周運(yùn)動(dòng).從點(diǎn)C射出時(shí)速度的方向改變了60°，則帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間？

解析如圖7所示，做A、C兩點(diǎn)速度v的垂線交于O1點(diǎn)，O1為帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，延長(zhǎng)AO交⊙O于B點(diǎn).要確定速度的方向改變∠BOC = 60°，連接O1O交⊙O 于O2點(diǎn)，通過(guò)分析做圖可知，AO1CO為⊙O2的內(nèi)接四邊形.根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理可知：∠AO1C=∠BOC=60°，故帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=T6，而T=2πRv.再根據(jù)切線長(zhǎng)定理有AO1=CO1=r，∠AO1O=∠CO1O=30°，解直角三角形△OCO1可得r=3R，所以t=T6=3R3v.

四、用“相交圓定理”解題

相交圓定理：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.

例5如圖8所示，虛線MN是一垂直于紙面的平面與紙面的交線，在平面右側(cè)的半空中存在著一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于紙面向外.O是MN上一點(diǎn)，從O點(diǎn)可以向磁場(chǎng)區(qū)域發(fā)射電量為+q、質(zhì)量為m、速率為v的粒子，粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度可在紙面內(nèi)各個(gè)方向.已知先后射入的兩個(gè)粒子恰好在磁場(chǎng)中給定的P點(diǎn)相遇，P到O的距離為L(zhǎng).不計(jì)重力及粒子間的相互作用.求這兩個(gè)粒子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔.

解析帶正電q、速率為v的粒子，從O點(diǎn)垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，在洛倫茲力的作用下，做勻速圓周運(yùn)動(dòng).因帶電粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向可在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向，已知先后射入的兩個(gè)粒子恰好在磁場(chǎng)中給定的P點(diǎn)相遇，這說(shuō)明兩粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)P為公共弦的兩個(gè)相交圓，如圖9所示.連接O1O2交弦OP于E.根據(jù)相交弦定理，O1O2垂直平分OP，則OE=L2.

解直角三角形△OEO1，得Rcosθ2=L2，θ2=arccosL2R，據(jù)此知R=mvqB，Δt=2Rθv，即Δt=4mqBarccos（qLB2mv）.

（收稿日期：2015-12-19）