論數(shù)學(xué)的相似性教學(xué)

廖鏡海

數(shù)學(xué)的相似性，表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，如方程與不等式的相似、分?jǐn)?shù)與分式的相似、平面幾何與立體幾何的相似，等等。將這些相似的內(nèi)容，集中在一起統(tǒng)一教學(xué)方式，分析共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，稱之為相似性的教學(xué)活動(dòng)，通常會(huì)取得更加顯著的教學(xué)成果。怎樣才能夠更好地進(jìn)行相似性教學(xué)活動(dòng)？教師應(yīng)主要從三個(gè)方面的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。

一、相似的教學(xué)內(nèi)容一定要分內(nèi)容的先后順序，由簡單到復(fù)雜

張光鑒在他的《教育科學(xué)與相似論》中提出，人們大腦的思維依賴于其在學(xué)習(xí)與實(shí)踐活動(dòng)中積累起來而貯存在大腦中的知識(shí)單元——相似塊，人們總是先從事物的形式相似入手，然后才去認(rèn)識(shí)事物運(yùn)動(dòng)的相似、結(jié)構(gòu)的相似、聯(lián)系的相似，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到事物千變?nèi)f化中那些相對(duì)不變的本質(zhì)，最終達(dá)到對(duì)事物客觀規(guī)律的認(rèn)知。如學(xué)生學(xué)習(xí)一元一次不等式的時(shí)候，就會(huì)想到其和一元一次方程的相似點(diǎn)，從而學(xué)會(huì)解一元一次不等式。一元一次方程和一元一次不等式，從解答的角度來看，方程的解是單一的“x=a”形式，而不等式則是一個(gè)解集“xa）”的形式。所以在教學(xué)這兩個(gè)內(nèi)容的時(shí)候，教師應(yīng)首先講解一元一次方程，再進(jìn)行一元一次不等式的分析，這樣就遵循了學(xué)生思維認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律，循序漸進(jìn)。

相似性具有將學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)、正在學(xué)習(xí)和將要學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行融會(huì)貫通的作用，因此就知識(shí)層次方面的關(guān)系而言，知識(shí)的學(xué)習(xí)應(yīng)該遵循由簡單到復(fù)雜的過程。學(xué)生只有掌握簡單的基本方法，才能更好地學(xué)習(xí)后繼的內(nèi)容，從而激活、遷移大腦中已有的相似塊與新的、具有大量相似性學(xué)習(xí)內(nèi)容（經(jīng)選擇、重組后的學(xué)習(xí)內(nèi)容）進(jìn)行相似激活、相似匹配、相似重組、相似創(chuàng)造，最終對(duì)自己參與學(xué)習(xí)的方法、效果、過程進(jìn)行相似反饋、相似調(diào)節(jié)、相似評(píng)價(jià)。

二、相似性的教學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)化兩者之間的共同點(diǎn)

以一元一次方程和一元一次不等式為例。

可以看到，兩者的共同點(diǎn)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)合并，這三個(gè)步驟是一樣的，一定要強(qiáng)化這三個(gè)步驟，認(rèn)識(shí)到一元一次方程和一元一次不等式的共同點(diǎn)。

共同點(diǎn)并不屬于學(xué)習(xí)上的遷移，具體來說是知識(shí)學(xué)習(xí)的重復(fù)化過程，在這一過程中起著重要作用的是學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)（知識(shí)結(jié)構(gòu)）的概括性問題。將一元一次方程的三個(gè)步驟學(xué)好，當(dāng)學(xué)習(xí)一元一次不等式的時(shí)候，也能運(yùn)用自如。

相似內(nèi)容的相似知識(shí)點(diǎn)，可以運(yùn)用一樣的理念去解決問題的一部分，也突出了相似的概念。其知識(shí)結(jié)構(gòu)，實(shí)質(zhì)上就是學(xué)生大腦中已有的相似板塊。所以，在教學(xué)中不斷認(rèn)識(shí)、遷移、組合、更新和豐富學(xué)生大腦中賴以思維的相似板塊，可以幫助、指導(dǎo)學(xué)生在最短時(shí)間內(nèi)認(rèn)清事物的本質(zhì)，即在其大腦內(nèi)部形成快速反應(yīng)通道。在解決問題過程中，強(qiáng)化兩者之間的共同知識(shí)結(jié)構(gòu)，能大幅度地提高學(xué)習(xí)效果。

三、相似性的教學(xué)內(nèi)容，差異點(diǎn)的分析是解決問題的關(guān)鍵

差異點(diǎn)，就是指相似性內(nèi)容的不同之處的知識(shí)結(jié)構(gòu)。當(dāng)解決了共同點(diǎn)之外，差異點(diǎn)就成為了問題的關(guān)鍵。

以一元一次方程和一元一次不等式的最后一步為例。

這就是一元一次方程和一元一次不等式的差異點(diǎn)，其核心知識(shí)區(qū)別為：方程的兩邊乘以或除以不為0的數(shù)，方程仍然成立；而不等式的兩邊乘以或除以不為0的正數(shù)，不等式的符號(hào)方向不改變，不等式的兩邊乘以或除以不為0的負(fù)數(shù)，不等式的符號(hào)方向改變。

差異點(diǎn)在整個(gè)解題的過程中，所表達(dá)的就是新的知識(shí)點(diǎn)，是相似性內(nèi)容之外的東西，是一個(gè)獨(dú)立的知識(shí)結(jié)構(gòu)，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，以對(duì)比的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行，更加體現(xiàn)出相似性內(nèi)容的相似性，不相似性內(nèi)容之間的聯(lián)系、區(qū)別。正是差異點(diǎn)的存在，和共同點(diǎn)組成了新的知識(shí)，共同點(diǎn)能夠幫助復(fù)習(xí)舊知識(shí)，而能否掌握差異點(diǎn)的核心知識(shí)，是新知識(shí)能否掌握的關(guān)鍵所在。

相似塊的教學(xué)策略的實(shí)質(zhì)，就是要在教學(xué)實(shí)踐中，以知識(shí)和技能為中介，不斷培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用相似原理，掌握識(shí)別、發(fā)現(xiàn)、利用事物間在形式、過程、結(jié)果、結(jié)構(gòu)、功能等方面存在的相似性的方法與策略。這就使學(xué)生個(gè)體在遇到學(xué)習(xí)、生活問題時(shí)，能夠在大腦中迅速檢索到原先儲(chǔ)存著的一種相似板塊（長時(shí)記憶即舊知識(shí)體系），準(zhǔn)確地識(shí)別新舊知識(shí)間在本質(zhì)上存在著的相似性。

四、案例分析

從分?jǐn)?shù)到分式：①猜迷語7/8（打一成語）。（七上八下）。說明分?jǐn)?shù)是由分子、分母、分?jǐn)?shù)線構(gòu)成的，它表示的是兩個(gè)整數(shù)的比的形式。②請(qǐng)賦予7/8一個(gè)實(shí)際的意義（一個(gè)圓餅平均分成八份，取其中的七份）。問如果分成了x份、x+1份，取其中的七份應(yīng)該如何表示？（學(xué)生回答：7/x、7/x+1）

用猜迷語的方法先引入分?jǐn)?shù)，將分?jǐn)?shù)的分母轉(zhuǎn)化為含有字母的代數(shù)式，讓學(xué)生能領(lǐng)會(huì)到兩者的相似點(diǎn)和差異點(diǎn)。分?jǐn)?shù)與分式的區(qū)別在于一個(gè)是兩個(gè)整數(shù)的比而另一個(gè)是兩個(gè)整式的比，而整式與分式的區(qū)別在于一個(gè)的分母是數(shù)而另一個(gè)分母中含有字母。分?jǐn)?shù)拓展了學(xué)生進(jìn)一步理解分式的條件，拓寬運(yùn)用數(shù)學(xué)相似方法解決問題的思維方式。

責(zé)任編輯 羅 峰