既是“解決問題”，更是“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”

俞軍

【摘 要】“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”既是“解決問題”，更是“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”，即分?jǐn)?shù)比定義的認(rèn)識。基于此，本課教學(xué)應(yīng)側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)是兩個整數(shù)之比，并讓學(xué)生充分認(rèn)識到它是分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的延續(xù)和遞進(jìn)，可以通過遷移、類推達(dá)成理解。

【關(guān)鍵詞】解決問題 再認(rèn)識 遷移 類推

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版教材五年級下冊第50頁例3。

【教材分析】

分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，對于小學(xué)生來說是一個比較抽象的概念，“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”其實(shí)是分?jǐn)?shù)認(rèn)識中的一個重要節(jié)點(diǎn)。在這之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系；在這之后又要學(xué)習(xí)真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)，六年級分?jǐn)?shù)乘、除法解決問題也與本課內(nèi)容息息相關(guān)。從分?jǐn)?shù)的定義來看，“分?jǐn)?shù)的意義”一課，教材著重從“平均分”的角度闡釋分?jǐn)?shù)的意義；“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”一課，教材只是呈現(xiàn)關(guān)系并未引導(dǎo)聯(lián)系“商定義”；本課側(cè)重讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)是兩個整數(shù)之比。通過三節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生完善對分?jǐn)?shù)兩種含義的理解。一種含義是表示一個具體的數(shù)量，如米、千克等；另一種含義表示兩個數(shù)（或數(shù)量）之間的關(guān)系，是一個比率，具有無量綱性。

教材上求“7只鵝是10只鴨的幾分之幾”，是根據(jù)絕大部分學(xué)生能夠自行獲得的“鵝的只數(shù)是鴨的十分之七”這個分?jǐn)?shù)結(jié)果，再依據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，得出求“7只鵝是10只鴨的幾分之幾”可以用除法計(jì)算。對此，筆者認(rèn)為由十分之七這個結(jié)果推出列式為除法還是比較別扭的。

用張奠宙教授文章中的觀點(diǎn)來看，“目前的小學(xué)數(shù)學(xué)教材大多回避這一定義，只是用‘分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系，分?jǐn)?shù)是分子除以分母這樣不著邊際的話蒙混過去”。“人教版教材在用黑體字寫出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系之后，馬上給出分?jǐn)?shù)的比定義，所用例題是：小新家養(yǎng)鵝7只，養(yǎng)鴨10只，養(yǎng)鵝的只數(shù)是鴨的幾分之幾？這個彎子繞得很大，恐怕要多做些鋪墊才好”。

其實(shí)張教授談到的例題是實(shí)驗(yàn)稿時的編排，現(xiàn)在的修訂版例題變?yōu)椋盒⌒录茵B(yǎng)鵝7只，養(yǎng)鴨10只，養(yǎng)雞20只。鵝的只數(shù)是鴨的幾分之幾？雞的只數(shù)是鴨的多少倍？

我們不難發(fā)現(xiàn)，修訂教材已經(jīng)試圖通過對比，溝通求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾或者幾倍在本質(zhì)上是一樣的。但例題所附除法由來還是與實(shí)驗(yàn)稿相同。

【學(xué)情分析】

為了更好地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，我們對200名五年級學(xué)生進(jìn)行了前測。

問題一：媽媽買了4個蘋果，又買了（ ）個梨，梨的個數(shù)是蘋果的（ ）。

問題二：下面這個圖形你看出了什么分?jǐn)?shù)？

1.學(xué)生真的理解嗎？

問題一說明部分學(xué)生在直面兩個數(shù)量間的關(guān)系時，只能從整數(shù)倍來理解，60%的學(xué)生已經(jīng)知道分?jǐn)?shù)也可以表示兩個數(shù)（或數(shù)量）之間的關(guān)系。但是，在隨后的訪談中，我們發(fā)現(xiàn)填寫了分?jǐn)?shù)的學(xué)生，也并不真正理解一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾所表示的意義。一位學(xué)生在課后找到筆者說：“老師，你算錯了?！薄盀槭裁囱?？”“11÷7=?！惫P者愣了一下，恍然大悟。在學(xué)生的腦海中，分?jǐn)?shù)就是要比1小的，比1大了，這是不可能的。

2.要出現(xiàn)假分?jǐn)?shù)嗎？

學(xué)生之所以出現(xiàn)上面的疑問，是因?yàn)槿私贪娼滩脑诰帉懕菊n時，回避了假分?jǐn)?shù)，把假分?jǐn)?shù)和真分?jǐn)?shù)的認(rèn)識放到了下一課時。而另外版本的教材，都是把假分?jǐn)?shù)與求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾放在一起的，兩個數(shù)（或數(shù)量）之間相比，自然而然就出現(xiàn)了假分?jǐn)?shù)。因此，本節(jié)課有必要出現(xiàn)假分?jǐn)?shù)。

【教學(xué)目標(biāo)】

（1）理解“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”用除法計(jì)算，進(jìn)一步拓展和加深對分?jǐn)?shù)意義的理解。

（2）經(jīng)歷探究“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的解答過程，滲透類比推理的數(shù)學(xué)方法。

（3）初步感知事物間在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點(diǎn)。

【教學(xué)過程】

（一）激活經(jīng)驗(yàn)，喚醒對分?jǐn)?shù)的原認(rèn)知

教師邊說邊畫出下圖：媽媽買了4個蘋果，已經(jīng)吃了3個，已經(jīng)吃的個數(shù)是總個數(shù)的（ ）。

生（齊答）：四分之三。

師：這里的四分之三你是怎么理解的？（根據(jù)學(xué)生回答，師逐步完善上圖，最終得到下圖）

生：把4個蘋果看作單位“1”，平均分成4份，已經(jīng)吃的個數(shù)表示這樣的3份，所以用四分之三表示。

（反思：通過這樣的學(xué)習(xí)材料能有效激活學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的已有認(rèn)知，即分?jǐn)?shù)就是把單位“1”平均分成若干份后表示這樣的一份或幾份的數(shù)，進(jìn)一步加深了學(xué)生對四種分?jǐn)?shù)定義中“份數(shù)定義”的理解，為后面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識分?jǐn)?shù)奠定了基礎(chǔ)。）

（二）類比推理，實(shí)現(xiàn)對分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識

教師邊說邊畫在大黑板上：現(xiàn)在媽媽買了4個蘋果，又買了12個梨，梨的個數(shù)是蘋果的（ ）。

梨：

蘋果：

師：怎樣列算式？（板書：12÷4=3）這里把誰看作了標(biāo)準(zhǔn)？

生：把4個蘋果看作了標(biāo)準(zhǔn)。

師：從圖中你看到3倍了嗎？誰上來圈一圈？

師（擦去4個梨）：如果媽媽買8個梨，算式又是怎樣列的呢？（板書：8÷4=2）

師（再擦去4個梨）：梨繼續(xù)減少，如果買4個呢？（板書：4÷4=1）

師（再擦去1個梨）：假如媽媽買3個梨，算式又該怎樣列呢？一起說吧?。ò鍟?÷4=）

師：誰能說一說，這里的你是怎么理解的呢？

師啟發(fā)：通過前面的學(xué)習(xí)，我們都知道3個蘋果是4個蘋果的四分之三，現(xiàn)在可是3個梨呀，不一樣的哦，3個梨怎么也是4個蘋果的四分之三呢？這是什么道理？

師：下面請四人小組討論一下其中的緣由。誰來說說其中的原因？

生：這里比的是個數(shù)，即在個數(shù)上，3個梨相當(dāng)于3個蘋果。

師：什么意思？誰聽懂了？

生：在這里大家都是在比個數(shù)，都是3個對3個，不是比什么重量、形狀等等。

師：現(xiàn)在你對這里的有什么新的認(rèn)識？（指名提問）

生：把4個蘋果看作單位“1”，平均分成4份，1個蘋果是它的，1個梨的個數(shù)相當(dāng)于1個蘋果，因此1個梨也就相當(dāng)于這個整體的，3個梨也就相當(dāng)于這個整體的。

師：誰聽懂了？（指名復(fù)述）

師（再擦去1個梨）：如果媽媽買2個梨，算式怎樣列呢？（板書：2÷4=）

師（再擦去1個梨）：假如買1個梨呢？（板書：1÷4=）

師小結(jié)：同學(xué)們，現(xiàn)在黑板上有6個算式，上面三個算式的商都是整數(shù)，都是在求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍；后面三個算式的商都是幾分之幾，這就是這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾。（板書課題）

（反思：教師在這個環(huán)節(jié)的教學(xué)中舍得花時、重點(diǎn)潑墨，通過類比推理，引導(dǎo)學(xué)生理解：即在個數(shù)上，3個梨相當(dāng)于3個蘋果，自然3個梨也是4個蘋果這個整體的，讓學(xué)生深深地感悟到分?jǐn)?shù)不僅僅是把一個整體平均分成若干份表示這樣的一份或幾份的數(shù)，還可以表示兩個數(shù)（或數(shù)量）之間的一種關(guān)系，有效地突破了學(xué)生對分?jǐn)?shù)的原認(rèn)知，并順利地實(shí)現(xiàn)了對分?jǐn)?shù)的新認(rèn)識。）

（三）夯實(shí)模型，鞏固對分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識

師：根據(jù)屏幕上提供的信息，你能用今天學(xué)到的知識提一個數(shù)學(xué)問題并解決嗎？（學(xué)生獨(dú)立提問解答，教師巡視）

集體交流：說說你提的是哪個數(shù)學(xué)問題？

生答師板書：籃球的個數(shù)是排球的幾分之幾？

師：這個數(shù)學(xué)問題你會解決嗎？（生答師板書：7÷20=）說說這里的你是怎么理解的？

師：請說說你寫的算式，讓其他同學(xué)猜猜你解決的是哪一個數(shù)學(xué)問題。（生答師板書算式）

生答師板書每個算式相對應(yīng)的問題。

師：黑板上哪個分?jǐn)?shù)你有點(diǎn)看不太明白？

生：。

師：沒關(guān)系，那我們先來看10÷7解決的是哪個問題。這里是把誰看作單位“1”？

生：把7個籃球看作單位“1”

師：想一想，這里的又是什么意思？

比較：我們一起看這兩個問題“籃球的個數(shù)是足球的幾分之幾？（）”和“足球的個數(shù)是籃球的幾分之幾？（）”，它們都在研究籃球和足球之間的關(guān)系，為什么得到的結(jié)果卻不一樣呢？（生：因?yàn)樗鼈兊膯挝弧?”不同）

總結(jié)：同學(xué)們，一開始的回顧，讓我們回憶起了3個蘋果是4個蘋果這個整體的四分之三，接著通過新課的學(xué)習(xí)，讓我們明白了3個梨在個數(shù)上就相當(dāng)于3個蘋果，所以3個梨也是4個蘋果的四分之三，因?yàn)橛辛诉@種新變化，所以也就出現(xiàn)了像這樣與眾不同的分?jǐn)?shù)。

（反思：這個環(huán)節(jié)主要采用開放式的教學(xué)，先讓學(xué)生自主提問、自主解決，然后再集體交流所提的問題和相應(yīng)的算式，通過豐富的、相類似的問題與算式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步強(qiáng)化對分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識，即分?jǐn)?shù)還可以表示部分和部分之間的關(guān)系，而不僅僅是部分和整體之間的關(guān)系。因此，假分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)變得不那么突然，不那么難以接受。）

（四）拓展延伸，深化對分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識

1.從形到數(shù)，完善意義。

師：請一起看屏幕（見下圖），從圖中你看到分?jǐn)?shù)了嗎？

生答教師板書： ……

師：你能看懂哪個分?jǐn)?shù)？能說說誰是誰的幾分之幾嗎？

生：陰影部分三角形的個數(shù)是整體的。

生：空白三角形的個數(shù)是整體的。

生：紅色三角形的個數(shù)是空白三角形的……

2.從數(shù)到形，延伸意義。

師：課件出示：五（2）班女生人數(shù)相當(dāng)于男生人數(shù)的。（齊讀）

師：你能用一幅圖來表示這句話的意思嗎？

學(xué)生動手畫圖，教師巡視，收集材料。

反饋交流：有位同學(xué)這樣畫，你看得懂嗎？

教師投影出示學(xué)生的作品：

男生

女生

師：這位同學(xué)用線段圖表示的，誰看懂了？

投影出示學(xué)生的作品：

男生

女生

師：根據(jù)這個線段圖，你還想到了哪些分?jǐn)?shù)？

生： ……

反饋： 你是怎么想的？， 又是什么意思？

師：誰能看懂？（生：相差的一份是男生的）相差的一份在哪里？誰上來指一指？呢？（生：相差的一份是女生的）如果老師寫一個又表示什么意思呢？

啟發(fā)：都是相差的1份，為什么得到的結(jié)果卻不一樣呢？

生：因?yàn)閱挝弧?”不同。

（反思：這個環(huán)節(jié)旨在幫助學(xué)生進(jìn)一步拓展和延伸對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，即幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的第三種定義，即比定義：它是“一部分和另一部分之比”，另一部分可以是整體，也可以是部分，把一部分當(dāng)作新的整體。同時，還力圖讓學(xué)生體會到這里的比是一個有序概念，顛倒兩個數(shù)（或數(shù)量）之間的比較順序，就得到另一個比。）

（五）課堂小結(jié)，梳理對分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對分?jǐn)?shù)有了哪些新的認(rèn)識？

生：分?jǐn)?shù)不一定表示部分和整體之間的關(guān)系，也可以是不同物體之間的關(guān)系。

生：分?jǐn)?shù)不一定都是分子比分母小，也有可能分子比分母大。

生：同一個圖，從不同的角度觀察可以看到不同的分?jǐn)?shù)。

（反思：通過課堂小結(jié)、梳理，使學(xué)生對分?jǐn)?shù)有了更加系統(tǒng)、深刻的認(rèn)識，即分?jǐn)?shù)不僅僅表示同一類數(shù)量之間的比，也可以表示不同類數(shù)量之間的比；分?jǐn)?shù)不一定都是分子比分母小，也有可能分子和分母一樣大，甚至分子比分母大；分?jǐn)?shù)的分子和分母隨著兩個數(shù)（或數(shù)量）之間的比較順序的顛倒而交換位置；等等。這對將來靈活地運(yùn)用分?jǐn)?shù)大有裨益。）

【總體思考】

整節(jié)課，在厘清份數(shù)定義顯示過程，商定義表示結(jié)果的基礎(chǔ)上，旨在著力解決如何妥善實(shí)現(xiàn)由算式到結(jié)果這一教學(xué)難題，同時深入思考與之有相同本質(zhì)的已有數(shù)學(xué)知識，并最終確認(rèn)應(yīng)該是“如修訂版教材中所要體現(xiàn)的求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”。綜觀兩個數(shù)（或數(shù)量）相比，既可比較相差多少即差比，又可比較兩者的倍數(shù)關(guān)系即倍比。求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾，其實(shí)質(zhì)就是倍比，所以整節(jié)課的新授部分先由求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍引入，后運(yùn)用類比推理的方法展開教學(xué)，最終由商定義得出商是整數(shù)時我們說一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍，當(dāng)商不是整數(shù)時我們就說一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾，自然地獲得求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾也用除法計(jì)算的思考方法。

另外，在細(xì)細(xì)解讀張奠宙教授的觀點(diǎn)“已經(jīng)學(xué)過比和比例之后的小學(xué)六年級學(xué)生仍然有缺乏用比和比例的眼光去審視分?jǐn)?shù)的缺陷”“在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，在講比和比例的時候，應(yīng)該補(bǔ)充‘分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識，這對將來靈活地運(yùn)用分?jǐn)?shù)很有好處”等之后，更加堅(jiān)定了筆者對此例題的定位，那就是此例題既是“解決問題”，更是“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”，即分?jǐn)?shù)比定義的認(rèn)識。因此，教師在練習(xí)中進(jìn)一步豐富學(xué)生對比定義的認(rèn)知，力圖讓學(xué)生在自主嘗試中體會到部分與部分之比、部分與和之比、差與部分之比、差與和之比等等，有的問題即使不能當(dāng)堂解決，但對學(xué)生六年級學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)（或百分?jǐn)?shù)）解決問題時應(yīng)該會有不少的幫助。

總之，作為數(shù)學(xué)教師既要讀懂知識發(fā)展的思維軌跡，又要讀懂學(xué)生學(xué)習(xí)的思維軌跡，兩者同樣重要，缺一不可，只有讓知識發(fā)展的思維軌跡和學(xué)生學(xué)習(xí)的思維軌跡和諧共振，課堂才會更有張力、更有魅力、更能煥發(fā)出生命活力。

參考文獻(xiàn)：

[1]張奠宙.“分?jǐn)?shù)”教學(xué)中需要澄清的幾個數(shù)學(xué)問題[J]. 小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版）， 2010（1）.

[2]王永.從分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)背景認(rèn)識分?jǐn)?shù)的本質(zhì) [J]. 小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版）， 2008（4）.

（浙江省平湖市叔同實(shí)驗(yàn)小學(xué) 314200）