OST方程初值問題的低正則性

賈紅艷,王宏偉

(安陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 安陽 455002)

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OST方程初值問題的低正則性

賈紅艷,王宏偉

(安陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 安陽 455002)

OST方程；初值問題；低正則性

筆者將研究如下一類OST方程的初值問題,它是Ostrovsky等[1]在研究非線性長波的輻射不穩(wěn)定性問題時建立的數(shù)學模型

(1)

其中：u=u(x,t)是未知函數(shù)，H表示Hilbert變換

OST方程是一類具有擾動項的KdV方程.許多學者對這種方程進行了研究,得到了大量的研究成果[2-8].各種非線性項的OST方程初值問題的適定性,也受到了廣泛關(guān)注.如Alvarez[9]在Hs()(s>1/2)和(s≥1)中分別證明了具有平方非線性O(shè)ST方程初值問題局部解和整體解的適定性.Zhao[10-11]利用Bougain空間中的雙線性估計在(s>-5/4) 中證明了局部解的適定性.對具有3次非線性項的OST方程,Carvajal[12]在(s≥0)中證明了初值問題局部解的適定性.對非線性是2的OST方程的初值問題,目前還沒有相關(guān)結(jié)果.筆者將利用Carvajal[13]的方法研究具有非線性項2的OST 方程的初值問題.通過構(gòu)造一類新的輔助空間,利用中的先驗估計,在索伯列夫空間(s>-1/2)中證明了局部解的適定性.主要結(jié)論如下:

定理1 如果s>-1/2,那么對任意的φ∈Hs(),存在,使得方程(1)有唯一解u(t)滿足.另外,方程的解映射

是光滑的,且

(2)

1 先驗估計

引理1 如果a>0,b<0,f(t)=taetb,那么對任意的t≥0,有

引理2 如果0

即

引理3 如果0

(3)

證明 首先估計‖V(t)φ‖Hs,有

利用引理2,得到

注意到

即I2≤C.引理3得到證明.

引理4 如果-1/2

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

合并(7),(8)兩式有

(9)

把(6)和(9)式代入(5)式中,得到

作變量替換t′=tτ,有

根據(jù)a的定義和s的范圍,上式右端項的積分是有限數(shù),有

(10)

(11)

類似(9)式,可以估計

(12)

把(6),(11)式代入(10)式,得

(13)

作變量替換t′=tτ,利用上式,有

上式右端的歐拉積分是有限的,于是

(14)

合并(10)和(14)式,引理得到證明.

是從[0,T]到Hs+μ的連續(xù)映射.

應(yīng)用Lebesgue控制收斂定理,當t→t0時,I1(t,t0)→0.類似地,

故當t→t0時,I2(t,t0)→0.引理證畢.

2 主要定理的證明

定理1的證明：如果s>-1/2,φ∈Hs(),0

定義一個映射

定理得到證明.

[1] OSTROVSKY L A,STEPANYAMS Y A,TSIMRING L S.Radiation instability in a stratified shear flow[J].Int J Non-Linear Mech,1984,19:151-161.

[2] MOLINER L,RIBAUD F.The Cauchy problem for dissipative Korteweg-de Vries equations in Sobolev spaces of negative order[J].Indiana Univ Math J,2001,50:1745-1776.

[3] MOLINET L,RIBAUD F.The global Cauchy problem in Bourgain type spaces for a dispersive dissipative semilinear equation[J].SIAM J Math Anal,2002,33:1269-1296.

[4] MOLINET L,RIBAUD F.On the low regularity of the Kortewef-de Vries-Burgers equation[J].Int Math Res Not,2002,37:1979-2005.

[5] DIX D B,Nonuniqueness and uniqueness in the initial-value problem for Burgers equation[J].SIAM J Math Anal,1996,27:708-724.

[6] GUO Z,WANG B.Global well-posedness and inviscid limit for the Korteweg-de Vries-Burgers equation[J].J Diff Equa,2009,246:3864-3901.

[7] CHEN W,LI J.On the low regularity of the modifiedKorteweg-de Vries equation with a dissipative term[J].J Diff Equa,2007,240:125-144.

[8] KENIG C E,PONCE G,VEGA L.Well-posedness and scattering results for the generalized Korteweg-de Vries equation via the contraction principle[J].Comm Pure Appl Math,1993,46:527-620.

[9] ALVAREZ B.The Cauchy problem for a nonlocal perturbation of the KdV equation[J].Differential Integral Equations,2003,16 (10):1249-1280.

[10] ZHAO X.On low regularity of the Ostrovsky,Stepanyams and Tsimring equation[J].J Math Anal Appl,2011,378:687-699.

[11] ZHAO X,CUI S.Local well-posedness of the Ostrovsky Stepanyams and Tsinmring eqution in Sobolev spaces of negative indices[J].Nonliner Anal,2009,70:3843-3510

[12] CARVAJAL X,SCIALOM M.On the well-posedness for the generalized Ostrovsky,Stepanyams and Tsimring equation[J].Nonlinear Anal，2005,62:1277-1287.

[13] CARVAJAL X,PANTHEE M.On the well-posedness of higher order viscous Burgers equations[J].J Math Anal Appl,2014,417:1-22.

(責任編輯 朱夜明)

On low regularity for initial value problem of OST equation

JIA Hongyan,WANG Hongwei

(School of Mathematics and Statistics,Anyang Normal University,Anyang 455002，China)

OST equation;initial value problem;low regularity

10.3969/j.issn.1000-2162.2016.06.003

2015-02-05

國家自然科學基金資助項目(10771166);河南省教育廳科學技術(shù)研究重點項目(14B110028,16A110007);安陽師范學院科研培育基金資助項目(AYNU-KP-B04)

賈紅艷(1981-)，女，河南安陽人，安陽師范學院講師.

O175

A

1000-2162(2016)06-0010-05