兩類高階系統(tǒng)的完全同步問題

毛北行,王東曉

(鄭州航空工業(yè)管理學院 理學院,河南 鄭州 450015)

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兩類高階系統(tǒng)的完全同步問題

毛北行,王東曉

(鄭州航空工業(yè)管理學院 理學院,河南 鄭州 450015)

研究兩類高階系統(tǒng)的混沌同步問題，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論和混沌同步相關理論設計了控制器，能夠使驅動網(wǎng)絡與響應網(wǎng)絡達到混沌同步，得到誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分性條件，給出了系統(tǒng)取得同步的嚴格證明.研究表明：在適當?shù)臈l件下,各類高階系統(tǒng)是完全混沌同步的.仿真算例表明了方法的有效性.

混沌；高階系統(tǒng)；同步

驅動-響應同步方法自提出以來，混沌同步及其應用已取得了豐碩的研究成果.方潔等[1]研究了 耦合混沌系統(tǒng)自適應修正函數(shù)投影同步問題；呂翎等[2]研究了全局耦合網(wǎng)絡的參數(shù)辨識與時空混沌同步問題；李德奎等[3]研究了時滯和非時滯耦合的驅動響應動態(tài)網(wǎng)絡的函數(shù)投影同步問題；卞秋香等[4]研究了復雜網(wǎng)絡的線性廣義同步問題;Lü等[5]研究了加權復雜網(wǎng)絡混沌系統(tǒng)的廣義同步問題；毛北行等[6]研究了一類Lurie混沌系統(tǒng)的有限時間同步問題；Jun等[7]研究了 一類不確定參數(shù)系統(tǒng)的有限時間混沌同步問題；李文林等[8]基于滑模變結構控制理論研究了一類不確定非線性系統(tǒng)混沌反同步問題，使受控系統(tǒng)和混沌參考系統(tǒng)數(shù)學模型完全一致；徐瑞平等[9]研究了基于線性反饋控制的一類混沌系統(tǒng)同步問題；孫宇鋒等[10]基于反饋控制方法研究了一個四翼混沌系統(tǒng)的廣義控制與同步問題，根據(jù)Routh-Huritwz準則得到了系統(tǒng)達到控制目標時反饋系數(shù)所滿足的條件，通過設計控制律研究系統(tǒng)的廣義同步與同步；王東曉等[11]利用非線性反饋的方法構造了超混沌系統(tǒng)的同步方案及實現(xiàn)同步的反同步方案，研究了新5維混沌系統(tǒng)的同步問題；邱國英等[12]針對終端滑模和自適應反饋方法設計了一個優(yōu)化組合的方案，實現(xiàn)一類混沌系統(tǒng)的半有限時間穩(wěn)定.筆者對上述文獻中的系統(tǒng)進行了改進，研究了兩類高階系統(tǒng)的混沌同步問題，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論和混沌同步相關理論設計了控制器，能夠使驅動網(wǎng)絡與響應網(wǎng)絡達到混沌同步，得到了誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分性條件.

1 主要結果

考慮以下系統(tǒng)構成的混沌系統(tǒng)

(1)

以上述系統(tǒng)(1)為驅動系統(tǒng)，對應的響應系統(tǒng)如下

(2)

定義

則有

(3)

定義1 系統(tǒng)(1)與(2)是完全混沌同步的，若滿足

(4)

以下考慮如下高階混沌系統(tǒng)

(5)

其中:x1=(z1,z2,…,zl)T,x2=(zl+1,z2,…,z2l)T,x3=(z2l+1,z2,…,z3l)T表示系統(tǒng)的狀態(tài)分量,以上述系統(tǒng)(5)為驅動系統(tǒng)，其對應的響應系統(tǒng)如下

(6)

定義ei(t)=yi(t)-xi(t)，i=1,2,3，則有

(7)

定義2 系統(tǒng)(5)與(6)是完全混沌同步的，若滿足

定理2 選取控制器ui=-εiei，λi=λmax{Ai},i=1,2,3，表示Ai的最大特征值，如果滿足下述矩陣不等式成立

(8)

則驅動系統(tǒng)(5)與其響應系統(tǒng)(6)是混沌同步的.

選取ui=-εiei，λi=λmax{Ai},i=1,2,3，表示Ai的最大特征值，則很容易得到

注 當定理中的系統(tǒng)之間有通訊連接時，定理1,2的結果不難推廣到多智能體系統(tǒng).

2 數(shù)值仿真

定理1以3階Chua系統(tǒng)為例

(9)

其中：f(x3)=cx33-dx3,當a=100/7,b=10,c=2/7,d=1/7時，出現(xiàn)混沌吸引子.

其對應的響應系統(tǒng)為

(10)

圖1 定理1中系統(tǒng)的誤差曲線Fig.1 The systems errors of theorem 1

定理2也以3階系統(tǒng)為例

(11)

對應的響應系統(tǒng)如下

(12)

則得到

圖2 定理2中系統(tǒng)的誤差曲線Fig.2 The systems errors of theorem 2

3 結 論

基于Lyapunov函數(shù)方法研究了兩類高階系統(tǒng)的混沌同步問題，根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論設計了控制器，能夠使驅動網(wǎng)絡與響應網(wǎng)絡達到快速同步，得到了誤差系統(tǒng)混沌同步的充分性條件，數(shù)值算例表明了方法的有效性.

[1] 方潔，胡智宏，江泳.耦合混沌系統(tǒng)自適應修正函數(shù)投影同步[J].信息與控制，2013,42(1)：39-45.

[2] 呂翎，李綱，張檬,等.全局耦合網(wǎng)絡的參數(shù)辨識與時空混沌同步[J].物理學報，2011,60(9)：5051-5056.

[3] 李德奎，張建剛.時滯和非時滯耦合的驅動響應動態(tài)網(wǎng)絡的函數(shù)投影同步[J].太原理工大學學報，2013,44(2)：162-168.

[4] 卞秋香，姚洪興.復雜網(wǎng)絡的線性廣義同步[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2011,31(7)：1334-1340.

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[6] 毛北行，李巧利.復雜網(wǎng)絡同步時間可控的投影同步[J].安徽大學學報(自然科學版)，2015,39(2)：13-16.

[7] JUN M,MINGHUI J,JUN W.Finite-time structure identification and synchronization of drive-response systems with uncertain parameter[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2013 (18):999-1015.

[8] 李文林，宋運忠.不確定非線性系統(tǒng)混沌反同步[J].物理學報，2008,57(1)：51-55.

[9] 徐瑞平，高存臣.基于線性反饋控制的一類混沌系統(tǒng)同步[J].中國海洋大學學報,2014,44(5)：114-120.

[10] 孫宇鋒，李銀.一個四翼混沌系統(tǒng)的廣義控制與同步[J].數(shù)學的實踐與認識，2014,44(2)：223-228.

[11] 王東曉，武大勇.新五維混沌系統(tǒng)的同步研究[J].重慶師范大學學報(自然科學版)，2014,31(6)：87-91.

[12] 邱國英，楊德剛.基于終端滑模和自適應反饋方法的一類混沌系統(tǒng)穩(wěn)定性分析[J].重慶師范大學學報(自然科學版)，2014,31(6)：92-96.

(責任編輯 朱夜明)

Complete chaos synchronization of two class of high order systems

MAO Beixing,WANG Dongxiao

(Department of Mathematics and Physics,Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management ,Zhengzhou 450015,China)

The problem of chaos synchronization of two class of high order systems was studied.A controller was proposed based on Lyapunov stability theory and chaos synchronization theory.We got the sufficient conditions for errors systems asymptotically syncronization.And we gave the strict proof for the errors systems that achieved chaos synchronization.The study proved errors systems is chaos sycnronization under certain conditions.Numerical simulations example of chaotic system verified the effectiveness of the proposed method.

chaos;high order systems;synchronization

10.3969/j.issn.1000-2162.2016.06.002

2015-03-16

國家自然科學基金青年基金資助項目(NSFC11501525)；河南省科技廳軟科學基金資助項目(142400411192)

毛北行 (1976-)，男，河南洛陽人，鄭州航空工業(yè)管理學院副教授.

O482.4

A

1000-2162(2016)06-0005-05