基于小波域最小平方濾波的多尺度自適應(yīng)全波形反演

白 璐， 韓立國， 張 盼， 胡 勇

(吉林大學(xué) 地球探測科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長春 130011)

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基于小波域最小平方濾波的多尺度自適應(yīng)全波形反演

白 璐， 韓立國， 張 盼， 胡 勇

(吉林大學(xué) 地球探測科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長春 130011)

常規(guī)的全波形反演對初始模型和低頻數(shù)據(jù)的依賴性較強，反演精確度經(jīng)常會受到“跳周”現(xiàn)象的嚴重影響。將小波域最小平方濾波引入到全波形反演中，并利用小波變換的多尺度特性，有效地提高了反演過程的穩(wěn)定性，減小反演受到“跳周”現(xiàn)象影響的可能性。小波域最小平方濾波具有更高的精度和更好的性能，利用該算法調(diào)整模擬波場的相位，從而改善模擬波場和觀測波場之間的相位差異，并由此構(gòu)造一個新的目標(biāo)函數(shù)。同時利用小波變換的多尺度特性將地震數(shù)據(jù)分解為不同頻帶數(shù)據(jù)，實現(xiàn)多尺度反演。數(shù)值模擬實驗結(jié)果表明，基于小波域最小平方濾波的多尺度自適應(yīng)全波形反演，對初始模型和低頻數(shù)據(jù)的依賴程度降低，較常規(guī)全波形反演具有更好的穩(wěn)定性，受到“跳周”現(xiàn)象影響的可能性大大降低。

FWI； 最小平方濾波； 小波變換； 多尺度； 目標(biāo)函數(shù)

0 前言

全波形反演是一種利用疊前地震記錄的波形信息來重建地下介質(zhì)的物性參數(shù)的高精度建模方法。Gauthier等[1]和Mora[2]于上世界80年代實現(xiàn)了二維地震資料的全波形反演。實踐證明了全波形反演具有精細地刻畫地下地質(zhì)構(gòu)造的能力，但同時也存在著一些重要問題(采集方式等對偏移距的限制；實際數(shù)據(jù)的頻率成分不能提供全波形反演所需的低頻信息；該方法對初始模型的依賴性較強等)。近年來，全波形反演作為勘探地球物理領(lǐng)域的研究熱點，發(fā)展迅速，針對傳統(tǒng)全波形反演存在的問題提出了很多改進方式和新的方法，方法理論和實際應(yīng)用方面都取得了很大的進展，Shin等[3]提出了拉普拉斯傅立葉全波形反演，是解決反演所需低頻信息缺失問題的重要突破；Warner[4]提出了自適應(yīng)全波形反演(AWI)，使反演更為穩(wěn)定,有效地克服了“跳周”現(xiàn)象的影響；應(yīng)用上，Christian等[5]對西非地區(qū)海相碳酸鹽數(shù)據(jù)進行了拉普拉斯傅立葉全波形反演，得到了較好的結(jié)果。

小波變換是一種有效的多尺度時頻分析方法。它對確定的信號有一種“集中”的能力[6-7]，并且信號和噪聲在小波域具有不同的表現(xiàn)特征。由于這些時頻域局部特性和多分辨分析特點，以及小波變換的低熵性、去相關(guān)性等，小波變換被廣泛地用于圖像處理和信號去噪方面[8-12]。考慮到單一方法的不足，一些學(xué)者提出將小波變換與各種濾波算法相結(jié)合的新算法[13-17]；趙艷明等[13]提出了一種小波-維納濾波算法，證明了該組合算法比單一的小波閾值去噪或維納濾波去噪的效果更好；汪魯才等[14]提出了一種有效的基于小波變換與中值濾波相結(jié)合的干涉圖濾波算法；蔡國林等[16]提出了一種小波-維納濾波器，證明了利用小波變換的優(yōu)勢和維納濾波的統(tǒng)計特性進行干涉圖濾波可以取得很好的效果。

為了解決全波形反演存在的問題，將小波域最小平方濾波引入到全波形反演過程中，提出了時間域多尺度自適應(yīng)全波形反演。利用小波變換的多尺度特性對波場數(shù)據(jù)進行分頻，從低頻帶數(shù)據(jù)開始進行反演。同時在每個頻帶中利用小波域最小平方濾波對模擬波場數(shù)據(jù)進行濾波處理，達到調(diào)整模擬波場相位的目的。最終使得基于小波域最小平方濾波的多尺度自適應(yīng)全波形反演對初始模型和低頻數(shù)據(jù)的依賴性降低，反演過程更為穩(wěn)定。

1 時間域全波形反演

二維全波形反演的目標(biāo)函數(shù)可以寫為式(1)。

E=‖d-dobs‖2

(1)

其中：dobs為觀測到的地震數(shù)據(jù)；d為正演模擬得到的地震數(shù)據(jù)。d可以表示參數(shù)m的函數(shù)即：

d=F(m)

(2)

其中：m為描述各種地球物理參數(shù)的矢量，如速度、密度、彈性參數(shù)等；F(·)表示依賴于m的地震波傳播過程。則目標(biāo)函數(shù)對m的一階導(dǎo)數(shù)為：

(3)

考慮時間域離散，式(1)目標(biāo)函數(shù)可改寫為：

(4)

式中：Ns、Nr、Nt分別代表震源數(shù)目、檢波點數(shù)目、時間采樣點數(shù)。

伴隨狀態(tài)法求取的梯度可表示為：

(5)

其中：v表示速度；d為正傳波場；R為拾取檢波點處波場的算子。

得到梯度后，我們可以選取適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法，確定合適的步長a，利用式(6)迭代更新初始模型(Rn為模型更新量)，即可得到全波形反演的結(jié)果。

mn+1=mn+a Rn

(6)

2 小波變換及小波域最小平方濾波

假設(shè)存在不同尺度的細節(jié)空間Wj和逼近空間Vj，

(7)

(8)

其中，任意子空間都是正交的，即Wj⊥Vj，由多分辨率分析可知:

V0= V1⊕W1=V2⊕W2⊕W1=

V3⊕W3⊕W2⊕W1=Λ

(9)

則對于一個信號f(t)，可以把它分解為細節(jié)部分W1和逼近部分V1，然后再將逼近部分V1進一步分解到下一個尺度空間，如此循環(huán)，就可以得到任意尺度上的細節(jié)部分和逼近部分。將信號f(t)向不同的尺度空間Wj、Vj投影，可得到該信號在不同尺度上的細節(jié)信號和逼近信號，即：

(10)

(11)

dj,k=[f(t),ψj,k(t)]

(12)

cj,k=[f(t),φj,k(t)]

(13)

其中：ψj,k(t)為小波函數(shù)；φj,k(t)為尺度函數(shù)；dj,k、cj,k分為細節(jié)系數(shù)和近似系數(shù)。若分解尺度為J，則有

(14)

式(14)即為離散小波變換的重構(gòu)公式，式(12)、式(13)就是小波變換的分解公式。

小波域中的最小平方濾波就是先對信號進行小波變換，分解為近似系數(shù)和各個尺度上的細節(jié)系數(shù)，然后對各尺度系數(shù)分別進行濾波的過程。若將小波變換后的近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)cJ,k、dj,k作為濾波器的輸入信號，對應(yīng)的濾波算子分別為u、fj，則實際輸出分別為：

AJ,k=cJ,k*u, Dj,k=dj,k*fj

(15)

若對應(yīng)的期望輸出信號分別為yJ,k、sj,k，則相應(yīng)的誤差能量為：

(16)

根據(jù)最小平方原理，當(dāng)誤差能量取最小值時，即可得到最佳濾波算子u、fj。

圖1 濾波前后記錄對比圖Fig.1 Comparison of the record before and after filtering(a)濾波前；(b)濾波后

3 多尺度自適應(yīng)全波形反演

考慮對不同尺度地震信號地反演，對模擬波場和觀測波場分別進行小波變換，抽取近似系數(shù)和不同尺度的細節(jié)系數(shù)，即抽取不同頻帶的地震數(shù)據(jù)。對不同尺度的模擬波場數(shù)據(jù)進行最小平方濾波來調(diào)整它的相位，對于J級多尺度小波變換，共需要進行J+1次最小平方濾波：

AJ,k=cJ,ku,Dj,k=dj,kfj,j=1,2,…,J

(17)

其中:AJ,k為最小平方濾波后的近似系數(shù)；Dj,k為濾波后的細節(jié)系數(shù)；J代表分解尺度。

圖1為濾波前后記錄的對比圖，可以看到濾波后記錄間的相位差明顯減小。

則式(1)目標(biāo)函數(shù)可改寫為如式(18)、式(19)所示。

(18)

(19)

(20)

其中：v表示速度；d為正傳波場；R為拾取檢波點處波場的算子。得到梯度后，使用拋物線法確定最佳步長(公式(21))，目標(biāo)函數(shù)φ在α0、α0+h、α0+2h三點處滿足φ0>φ1<φ2，確定步長后依然按照公式(6)迭代更新初始模型。

(21)

4 數(shù)值模擬實驗

4.1 Marmousi模型實驗

從Marmousi模型中抽取大小為127×384個網(wǎng)格的模型，在模型表面增加11個網(wǎng)格的水層作為真實模型(圖2(a))，網(wǎng)格距為25 m，真實大小為3 450 m×9 600 m。為了使常規(guī)全波形反演方法易“跳周”，反演結(jié)果對比明顯，給出一個較差的初始模型(圖2 (b))。實驗中使用混合震源方式，每個震源均為主頻相同的雷克子波，具有隨機設(shè)定的不同的激發(fā)時間，震源位置隨機分布于模型表面。

首先，用一個比較低的反演主頻，提供足夠的低頻信息進行全波形反演。將震源主頻設(shè)置為6 Hz,采樣間隔為2 ms，接收時間為8 s。檢波器排列位于模型表面，各檢波點間距為25 m，共接收384道。采用有限差分算法正演，并應(yīng)用矩陣快速運算，反演采用Fletcher-Reeves形式的共軛梯度法迭代更新，每次迭代至少需要兩次正演，反演過程中應(yīng)用2級小波變換。

反演結(jié)果如圖3、圖4所示?？梢钥吹剑诘皖l信息充足的情況下，兩種算法都可以很好地重建速度模型，反演精確度較高，反演結(jié)果相差無幾。圖5所示為模型橫向6.5 km處，反演結(jié)果與真實模型及初始模型的縱向速度對比。從圖4(a)中可以看到，模型淺中部的反演速度與真實速度基本一致(<2 km)，但對于深部，只能重建其構(gòu)造，而不能準(zhǔn)確地恢復(fù)速度信息。這是因為模型中地震波的能量分布不均勻，淺部的能量比深部要強，且全波形反演對振幅變化很敏感，加之實驗中所用的初始模型較差，初始模型速度與真實速度值相差較大，尤其是深部高阻帶部分，這對恢復(fù)真實速度值也有很大的影響。

圖2 模擬實驗所用速度模型Fig.2 Model used in numerical simulation experiment(a)真實模型；(b)初始模型

圖3 常規(guī)FWI反演結(jié)果Fig.3 Model recovered using conventional FWI

圖4 縱向速度對比Fig.4 Longitudinal velocity comparison of the result of multi-scales adaptive FWI based on wavelet transform(a)最終結(jié)果；(b)多尺度反演不同階段

圖5(a)～圖5(c)中，展示了多尺度自適應(yīng)反演的不同頻帶的結(jié)果。由圖5(a)可見，低頻帶反演結(jié)果已經(jīng)大致得出模型的基本輪廓，而經(jīng)過中低頻反演和全頻帶反演之后，細節(jié)信息得到改善，界面和構(gòu)造越來越清晰。三個階段的反演中，低頻帶信息主要能夠恢復(fù)模型輪廓，而中低頻帶反演和全頻帶反演則對速度的正確更新有更重要的貢獻(圖4(b))。

4.2 缺少低頻情況下的對比實驗

為了得到初始模型差且缺失低頻信息下的對比結(jié)果，將反演主頻提高到10 Hz,其他參數(shù)設(shè)置均保持不變。這樣提供反演的數(shù)據(jù)最低頻率大約為5 Hz左右，不能滿足常規(guī)全波形反演對低頻信息的需求。

常規(guī)全波形反演的結(jié)果如圖6所示，由于初始模型較差，造成模擬波場與觀測波場間的差異較大，加之此時低頻信息不足，導(dǎo)致常規(guī)l2范數(shù)陷入局部極小值，反演結(jié)果精確度較低，“跳周”現(xiàn)象嚴重。相比之下，可以看到圖7(c)所示的基于小波變換的多尺度自適應(yīng)全波形反演結(jié)果較好，并沒有出現(xiàn)嚴重的“跳周”現(xiàn)象，雖然相比6 Hz主頻時反演結(jié)果精確度有所降低，但依然能成功地反演出模型的主要構(gòu)造。實驗過程中的反演結(jié)果同真實模型的誤差函數(shù)隨迭代次數(shù)的變換如圖8所示，常規(guī)FWI算法在大概200次迭代后，受“跳周”影響誤差函數(shù)很難再下降，而基于小波域最小平方濾波的全波形反演算法的誤差函數(shù)下降更多，反演結(jié)果模型精確度更高。

為了說明不同反演頻帶的范圍，對小波變換后得到的不同頻帶的記錄進行頻譜分析。抽取不同頻帶記錄的第181道(4.5 km處)數(shù)據(jù)分別進行頻譜分析，結(jié)果如圖9所示。低頻帶范圍在5 Hz～7 Hz,中低頻帶范圍在5 Hz～9 Hz,而全頻帶范圍大致為5 Hz～13 Hz。

此外，全部測試都是在PC上完成的，其配置為Intel(R)Core(TM)i7-4790 CUP @3.60GHz和32 GB RAM。常規(guī)FWI算法迭代一次至少需要30 s，多尺度自使用全波形迭代一次至少需要50 s。雖然小波變換以及濾波過程增加了計算負擔(dān)，效率有所降低，但考慮到算法的實用性，在反演穩(wěn)定性大幅增加的情況下,這些計算量是可以接受的。

圖6 多尺度自適應(yīng)全波形反演結(jié)果Fig.6 Model recovered by multi-scales adaptive FWI(a)低頻段；(b)低頻+中頻段；(c)全頻帶

圖7 常規(guī)FWI反演結(jié)果Fig.7 Model recovered using conventional FWI

圖8 目標(biāo)函數(shù)曲線Fig.8 The error function curve(a)多尺度自適應(yīng)全波形反演；(b)常規(guī)FWI

圖9 不同頻帶數(shù)據(jù)頻譜分析Fig.9 The spectrum of the trace extracted from data in different frequency bands(a)低頻；(b)中低頻；(c)全頻帶

5 結(jié)束語

對時間域FWI和小波變換以及小波域最小平方濾波的基礎(chǔ)理論進行了研究，將小波域最小平方濾波應(yīng)用于時間域全波形反演中，充分利用小波變換的多尺度特性進行數(shù)據(jù)分頻處理，實現(xiàn)了基于小波域最小平方濾波的多尺度自適應(yīng)全波形反演，并得到了較好的實驗結(jié)果。通過上述Marmousi模型數(shù)值模擬實驗結(jié)果的對比，可以得出以下結(jié)論：

1)相比于常規(guī)全波形反演，基于小波變換的多尺度自適應(yīng)全波形反演對初始模型和低頻信息的依賴程度更低。當(dāng)初始模型較差時，常規(guī)FWI受“跳周”現(xiàn)象影響嚴重，反演結(jié)果精確度較低，而多尺度自適應(yīng)全波形反演依然能夠很好地重建真實模型。

2)雖然增加的小波變換和濾波過程增加了計算量，對計算效率有所影響，但與常規(guī)FWI算法相比，基于小波變換的多尺度自適應(yīng)全波形反演的穩(wěn)定性更強，考慮到處理實際數(shù)據(jù)存在的初始模型差、低頻缺失等問題，這里算法具有更好的實用性，效率上也是可以接受的。

綜上所述，小波域最小平方濾波對調(diào)整模擬波場的相位信息具有很好的效果，基于小波域最小平方濾波的多尺度自適應(yīng)全波形反演從數(shù)據(jù)處理和多尺度策略兩方面提高了反演穩(wěn)定性，有效地克服了“跳周”現(xiàn)象的影響，具有更好的實用性。

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Multi-scales adaptive full waveform inversion based on the wavelet domain least square filter

BAI Lu, HAN Li-guo, ZHANG Pan, HU Yong

(Jilin University, Changchun 130011, China)

Conventional full waveform inversion (FWI) has a strong dependence on the initial model and low frequency data, it is often suffers from cycle skipping when this two conditions are not met. In order to solve the problem, we introduced the wavelet domain least square filter to FWI, and took advantage of the multiscale characteristic of the wavelet transform. It can effectively avoid the influence of cycle skipping in the inversion procedure, and improves the stability of FWI. Wavelet domain least square filter has the higher accuracy than the time domain, with this can narrow the phase difference between the predicted data and observed data, and construct a new objective function, to make the inversion procedure steadily converge to the global minimum. Meanwhile, with the multi-scales characteristic of wavelet transform, the data can be divided into different frequency bands, and implement the multi-scales inversion. The result of numerical simulation experiment demonstrates that multi-scales adaptive FWI based on the wavelet transform is much less dependent on initial model and low-frequency data. The method can be immune to cycle skipping, and more robust than conventional FWI.

FWI; least square filter; wavelet transform; multi-scales; objective function

2016-03-23 改回日期：2016-04-19

國家“863”計劃重大項目課題(2014AA06A605)

白璐(1991-)，女，碩士，研究方向為地震波場模擬與波形反演，E-mail：1124739332@qq.com。

1001-1749(2016)05-0618-08

P 631.4

A

10.3969/j.issn.1001-1749.2016.05.07