正定Hermite矩陣流形上代數(shù)Lyapunov方程的信息幾何算法

邵水布， 張二川， 孫華飛

(北京理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 北京 100081)

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正定Hermite矩陣流形上代數(shù)Lyapunov方程的信息幾何算法

邵水布， 張二川， 孫華飛

(北京理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 北京 100081)

對(duì)于正定Hermite矩陣流形上的代數(shù)Lyapunov方程AHX+XA+P=0， 基于流形的黎曼幾何結(jié)構(gòu)， 作者以矩陣-AHX-XA和P之間的測(cè)地距離為目標(biāo)函數(shù)， 提出了代數(shù)Lyapunov方程數(shù)值解的信息幾何算法. 最后，給出了正定Hermite矩陣流形上的代數(shù)Lyapunov方程的數(shù)值模擬結(jié)果．

代數(shù)Lyapunov方程; 信息幾何算法; 正定Hermite矩陣; 測(cè)地距離

許多工程和數(shù)學(xué)問(wèn)題， 如信號(hào)處理、機(jī)器人控制、計(jì)算機(jī)圖像處理[1]等， 最終都可以簡(jiǎn)化為求解如下代數(shù)Lyapunov方程的數(shù)值解，

(1)

式中：P為正定Hermite矩陣；AH為矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置.

(2)

本文中，考慮正定Hermite矩陣流形上的代數(shù)Lyapunov方程的數(shù)值解. 方程(1)的解被描述為矩陣-AHX-XA盡可能接近正定Hermite矩陣P，并且它們之間的距離函數(shù)采用正定Hermite矩陣流形上的測(cè)地距離， 以此為目標(biāo)函數(shù)提出信息幾何算法. 最后， 數(shù)值模擬結(jié)果說(shuō)明了提出的幾何算法的有效性．

1 正定Hermite矩陣流形的幾何結(jié)構(gòu)

若n×n的復(fù)矩陣A滿足AH=A且對(duì)任意的非0復(fù)矩陣X滿足XHAX>0，則稱A為正定Hermite矩陣. 所有n×n的正定Hermite矩陣全體構(gòu)成一個(gè)正定Hermite矩陣流形H(n)，用Ekl表示第k行第l列為1，其余元素為0的基本矩陣，則流形H(n)的基底矩陣可以表示為

(3)

式中：i2=-1；p為由數(shù)對(duì)(k，l)按照某種賦值規(guī)則得到的，則任意的正定Hermite矩陣Q∈H(n)可以表示為

(4)

定義1[5]若g表示正定Hermite矩陣流形H(n)上的黎曼度量，對(duì)于Q∈H(n)，切空間TQH(n)上的內(nèi)積定義為

(5)

式中M，N∈TQH(n).

易證， 上述定義的度量滿足黎曼度量的基本性質(zhì)并且在切空間的基底變換下保持不變．

定義2[6-7]令γ:[0，1]→M表示流形M上逐段光滑的曲線，則定義γ的長(zhǎng)度為

(6)

任意兩點(diǎn)x，y∈M之間的距離定義為連接這兩點(diǎn)曲線(如果存在這樣的曲線)長(zhǎng)度的下確界， 即

(7)

命題1[5-7]正定Hermite矩陣流形H(n)上，對(duì)于定義的黎曼度量(5)，則得到經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q且沿X方向的測(cè)地線

(8)

于是， 根據(jù)式(7)得到連接兩點(diǎn)Q1，Q2的測(cè)地距離

(9)

根據(jù)Hopf-Rinow定理，可以知道正定Hermite矩陣流形是測(cè)地完備的，即對(duì)于任意兩點(diǎn)Q1，Q2∈H(n)，都存在連接它們的測(cè)地線．

2 正定Hermite矩陣流形上的代數(shù)Lyapunov方程

考慮正定Hermite矩陣流形上的代數(shù)Lyapunov方程(1)的解，將方程(1)的解描述為在流形H(n)上尋找正定Hermite矩陣X，使得矩陣-AHX-XA盡可能接近P(參見(jiàn)圖1)．

為了刻畫(huà)矩陣-AHX-XA和P之間的距離，選取它們之間的測(cè)地距離為兩矩陣之間的度量，即目標(biāo)函數(shù)為

(10)

則方程(1)的最優(yōu)解滿足

(11)

為了提出基于下降梯度的信息幾何算法，介紹下面的引理.

引理1[8]設(shè)f(X)是n階矩陣X的數(shù)量函數(shù)，若df(X)=tr(WdX)成立，則函數(shù)f(X)關(guān)于矩陣X的梯度?Xf(X)為

(12)

定理1 設(shè)J(X)是按式(10) 定義的函數(shù)，則J(X)關(guān)于正定Hermite矩陣X的梯度為

(13)

于是，

dJ(X)=d(tr(YHY))=tr(dYHY+YHdY).

根據(jù)引理1，目標(biāo)函數(shù)J(X)關(guān)于X的梯度為

證畢.

定理2 對(duì)于在正定Hermite矩陣流形上， 基于下降梯度的信息幾何迭代算法的迭代公式為

(14)

按照正定Hermite矩陣流形上的黎曼指數(shù)映射易得上述結(jié)論．

根據(jù)以上的討論，給出求解正定Hermite矩陣流形上Lyapunov方程數(shù)值解的信息幾何算法．

對(duì)于正定Hermite矩陣流形H(n)，代數(shù)Lyapunov方程(1)的信息幾何迭代算法如下:

① 輸入初始矩陣X0，步長(zhǎng)μ和計(jì)算的允許誤差界ε>0;

② 按照式(13)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)J(X)的梯度?XJ(X);

③ 如果J(X)<ε，則停止迭代輸出結(jié)果;

④ 按照式(14)更新X并返回步驟②．

3 數(shù)值模擬

現(xiàn)考慮正定Hermite矩陣流形上的代數(shù)Lyapunov方程

AHX+XA+P=0，

式中：

數(shù)值模擬中取初始矩陣X0為

步長(zhǎng)μ=0.1， 則在計(jì)算誤差限ε=10-4的情況下經(jīng)過(guò)71步迭代得到最優(yōu)解為

實(shí)際這個(gè)例子中，正定Hermite矩陣流形上Lyapunov方程的精確解為

于是得到誤差矩陣的譜半徑隨迭代步數(shù)增加的趨勢(shì)圖(如圖2所示).

進(jìn)一步對(duì)比不同步長(zhǎng)下的算法計(jì)算效率，圖3中的曲線分別對(duì)應(yīng)步長(zhǎng)μ=0.1，0.2，0.3時(shí)，目標(biāo)函數(shù)J(X)和迭代次數(shù)的下降關(guān)系，其迭代次數(shù)分別為39，23，15．

從圖3中可以看出步長(zhǎng)μ較小， 算法迭代步數(shù)多， 收斂相對(duì)較慢. 但步長(zhǎng)不宜過(guò)長(zhǎng)， 模擬結(jié)果表明， 步長(zhǎng)過(guò)長(zhǎng)容易造成算法發(fā)散. 因此， 在實(shí)際計(jì)算當(dāng)中可適當(dāng)調(diào)整步長(zhǎng)參數(shù)以獲得合適的收斂速度．

4 結(jié) 論

文中作者考慮了正定Hermite矩陣流形上的代數(shù)Lyapunov方程的數(shù)值解， 以矩陣-AHX-XA和P之間的測(cè)地距離為目標(biāo)函數(shù)， 基于下降的黎曼梯度提出求解該問(wèn)題的信息幾何算法. 最后，用數(shù)值模擬的結(jié)果說(shuō)明了提出算法的有效性. 類似于文獻(xiàn)[5-6]的討論可以驗(yàn)證， 信息幾何算法明顯優(yōu)于其它算法．

[1]CohnSE，ParrishDF.ThebehaviorofforecastcovariancesforaKalmanfilterintwodimensions[J].MonWeaRev， 1991，119(8):1757-1785.

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[3]LiJR，WhiteJ.Low-ranksolutionofLyapunovequations[J].SIAMJMatrixAppl， 2002，24(1):260-280.

[4]JbilouK.ADIpreconditionedKrylovmethodsforlargeLyapunovmatrixequations[J].LinearAlgAppl， 2010，432(10):2473-2485.

[5]DuanX，SunH，PengL，etal.AnaturalgradientdescentalgorithmforthesolutionofdiscretealgebraicLyapunovequationsbasedonthegeodesicdistance[J].AppliedMathematicsandComputation， 2013，219(19):9899-9905.

[6]DuanX，SunH，ZhangZ.AnaturalgradientalgorithmforthesolutionofLyapunovequationsbasedonthegeodesicdistance[J].JournalofComputationalMathematics， 2014，32(1):93-106．

[7]LuoZ，SunH.ExtendedHamiltonianalgorithmforthesolutionofdiscretealgebraicLyapunovequations[J].AppliedMathematicsandComputation， 2014，234:245-252．

[8]ZhangX.Matrixanalysisandapplication[M].Beijing:TsinghuaandSpringerPublishingHouse， 2004．

(責(zé)任編輯：李兵)

An Information Geometric Algorithm for Algebraic Lyapunov Equation on Positive-Definite Hermitian Matrix Manifold

MUHAMMADShoaibArif，ZHANGEr-chuan，SUNHua-fei

(School of Mathematics and Statistics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China )

For the algebraic Lyapunov equation AHX+XA+P=0 on the positive-definite Hermitian matrix manifold， the information geometric algorithm for the numerical solution of the algebraic Lyapunov equation was given via the Riemannian geometric structure of the manifold. In this algorithm， the geodesic distance between the matrix -AHX-XAandPwasadoptedasthecostfunction.Finally，theinformationgeometricalgorithmwasillustratedforthealgebraicLyapunovequationonthepositive-definiteHermitianmatrixmanifoldbysomenumericalsimulationexamples．

algebraicLyapunovequation;informationgeometricalgorithm;positive-definiteHermitianmatrix;geodesicdistance

2014-10-07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61779031，10932002)

邵水布(1982—)， 男， 博士生，E-mail：shoaib@bit.edu.cn.

孫華飛(1958—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail：huafeisun@bit.edu.cn .

O

A

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.02.019