數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究中的幾何直觀探微

江蘇省蘇州市相城區(qū)春申中學(xué)　許　宏

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究中的幾何直觀探微

江蘇省蘇州市相城區(qū)春申中學(xué)許宏

幾何直觀是新課程標(biāo)準(zhǔn)的核心概念之一，更是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本策略，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)則是培養(yǎng)幾何直觀能力的有效載體與途徑。借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軒椭鷮W(xué)生養(yǎng)成操作圖形的良好習(xí)慣，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。

初中數(shù)學(xué)；實(shí)驗(yàn)探究；幾何直觀

目前，廣大數(shù)學(xué)教師愈來(lái)愈多地接觸幾何直觀這個(gè)詞匯，按筆者的理解，它是新課程的核心概念，更是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本策略，幾何直觀是指利用圖像來(lái)分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，使之形象化，便于交流與理解。而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)則指的是借助實(shí)際操作來(lái)真正讓學(xué)生操作幾何直觀，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是實(shí)現(xiàn)幾何直觀的有效渠道。沒有實(shí)驗(yàn)的幾何直觀難以真切化也難以理解，而沒有幾何直觀的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)則往往是紙上談兵，不切實(shí)際。如何通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，筆者結(jié)合平時(shí)工作略陳一二：

一、在折、剪中實(shí)現(xiàn)幾何直觀，理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基本元素，但是長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)概念教學(xué)不外乎教師展示一些實(shí)例，讓學(xué)生觀察討論它的基本內(nèi)涵，做多了學(xué)生自然形成了相關(guān)概念，但是在現(xiàn)實(shí)中學(xué)生往往對(duì)其理解不深，易發(fā)生概念之間的理解混淆。

比如，對(duì)于三角形的中線、角平分線、高線是三角形中的基本線段，在建立這三個(gè)三角形中的概念時(shí)，我們可以讓學(xué)生把其中一條邊對(duì)折，這樣就找到了這條邊中點(diǎn)，然后沿這個(gè)中點(diǎn)與這條邊所對(duì)角的頂點(diǎn)折出一條線段就是三角形的中線了。至于高，其實(shí)需要把三角形的一邊對(duì)折，如果此時(shí)折縫沒有過(guò)這條邊所對(duì)角的頂點(diǎn)，那要再折，直接折縫過(guò)了頂點(diǎn)，展開三角形紙片，此時(shí)的折縫就是三角形的高了。為什么？學(xué)生可以通過(guò)平角被分成兩個(gè)相同的角來(lái)理解，此時(shí)折縫正好與它相交的邊垂直。同樣角分線則要通過(guò)折疊三角形的角來(lái)得到，它有核實(shí)屬性是必須使三角形的一個(gè)角分成兩個(gè)相同的角，而且這個(gè)角平線是指一條線段而不是射線。另外，還有一邊上的中垂線也是一個(gè)重要概念。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，不但現(xiàn)在需要掌握這些概念，今后還要衍生出它們的種種性質(zhì)，在作圖與圓的學(xué)習(xí)中都會(huì)用到，但現(xiàn)實(shí)中學(xué)生往往會(huì)混淆起來(lái)。那是因?yàn)樗麄儗?duì)概念的理解比較膚淺。為什么計(jì)算面積是一定要是用高，而不是中線？這需要學(xué)生理解高的概念與三角形面積的實(shí)驗(yàn)過(guò)程。為什么是中線可以把三角形分成面積相等的兩塊，而不是角平分線？這更需要把握其同一直線上兩條相同的線段所造成的等底的特征。有了上邊的操作過(guò)程，學(xué)生不但看到了相關(guān)線段，還做出了相關(guān)線段，這種在直接實(shí)驗(yàn)操作中得到的概念既是幾何直觀的表現(xiàn)，更有助于概念的真正形成。

二、借助數(shù)形結(jié)合實(shí)現(xiàn)幾何直觀，使數(shù)學(xué)直觀化

數(shù)學(xué)中有大量?jī)?nèi)容，從表面上看是屬于代數(shù)的領(lǐng)域，但如果我們能借助實(shí)驗(yàn)用形來(lái)表征數(shù)學(xué)中的許多內(nèi)容，就會(huì)使這些內(nèi)容更形象與直觀，這就是我們經(jīng)常說(shuō)的數(shù)形結(jié)合。在小學(xué)里，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)用線段圖來(lái)表示應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，到了初中，數(shù)形結(jié)合的要求更高了，用線段可以表示無(wú)理數(shù)。

這里我們可以插入兩段數(shù)學(xué)史，一是：公元前4世紀(jì)，畢帕索斯發(fā)現(xiàn)正方形的邊長(zhǎng)與其對(duì)角線之間就是不可公度（公度指的是它們之比是自然數(shù)之比）。而由于畢帕索斯的這一離奇發(fā)現(xiàn)，觸犯了部分人的利益，因此這位聰明的數(shù)學(xué)研究者被可憐地扔進(jìn)了大海。另一則是在中國(guó)，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的無(wú)理數(shù)產(chǎn)生于開方不盡的圓周率。中國(guó)人始終對(duì)關(guān)于無(wú)限的問(wèn)題能夠正視，所以很快發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)。有了這兩則史話，我們可以出示如上圖形，讓學(xué)生探究圖中在邊長(zhǎng)為一的小正方形塊拼成的大正方形中有如陰影部分所示的長(zhǎng)方形，你知道長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是多少，寬又是多少嗎？數(shù)形結(jié)合下的數(shù)學(xué)探究由此開始，這種學(xué)術(shù)探究氛圍一點(diǎn)不亞于中國(guó)古代數(shù)學(xué)家與國(guó)家的數(shù)學(xué)名人。

三、借助圖形變動(dòng)實(shí)現(xiàn)幾何直觀，理解變化中的規(guī)律

讓圖形中部分元素是運(yùn)動(dòng)的，讓學(xué)生產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的觀念，這是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的常用渠道，也是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的重要方面。對(duì)于運(yùn)動(dòng)的圖形，傳統(tǒng)教學(xué)中學(xué)生只能夠通過(guò)不同圖形的操作達(dá)到目的，這正好像過(guò)去的畫圖生成的動(dòng)畫片一樣，它只是一種感覺上的動(dòng)，并未真正地動(dòng)起來(lái)?，F(xiàn)在好了，有了電腦軟件，一切都?jí)粝氤烧媪耍瑤缀萎嫲寰褪沁@樣一款實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)軟件。

比如我們要研究y=ax2（a≠0）與y=a（x-h）2（a≠0）的兩圖像間的關(guān)系，借助幾何畫板，我們生成相關(guān)圖像會(huì)非常自然，而且兩個(gè)圖形可以重疊在一起比較。一旦圖像呈現(xiàn)，我們可以改變h的大小，所產(chǎn)生的變化一目了然，然后可以讓學(xué)生找找這樣變化的原因，使探究進(jìn)一步深入。

再如，為了探究圓的相交弦定理，我們可以如下操作：

（1）打開幾何畫板，做出⊙O，在⊙O上取四個(gè)點(diǎn)，連接出兩條弦AB與CD，交點(diǎn)為E。

（2）運(yùn)用“度量”菜單下的“線段”，度量AE、BE、CE、DE的長(zhǎng)度，觀察后猜想：這四條線段存在什么樣的關(guān)系？然后用函數(shù)功能計(jì)算兩兩相乘的結(jié)果，在界面的一側(cè)顯示結(jié)果。

（3）拖動(dòng)四個(gè)圓上四個(gè)點(diǎn)中的其中一個(gè)，看猜想的結(jié)論有何變化。（4）拖動(dòng)四個(gè)頂點(diǎn)中的幾個(gè)，看猜想的結(jié)論有何變化？

通過(guò)這些操作，學(xué)生的猜想得到了驗(yàn)證，就為下一步的證明提供了方向，怎么證明，其實(shí)學(xué)生會(huì)很快通過(guò)把相關(guān)等式轉(zhuǎn)化為線段的比例關(guān)系，然后用相似三角形、圓周角的知識(shí)來(lái)解決了問(wèn)題。

綜上所述，在新課程時(shí)代，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將原始的數(shù)學(xué)探究過(guò)程重新搬上了舞臺(tái)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家的思維過(guò)程，增強(qiáng)自信心與自豪感。而通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生的動(dòng)手能力增強(qiáng)了，數(shù)學(xué)直觀能力也得到了培養(yǎng)。由于計(jì)算機(jī)的介入，使數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更為高效與省時(shí)，使數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與幾何直觀更加緊密地聯(lián)系在了一起。

［1］董林偉.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)（八年級(jí)上冊(cè)）［M］.南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2015.