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    關(guān)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法

    2021-11-19 02:04:51沈曉群
    高考·上 2021年10期
    關(guān)鍵詞:多元化高中數(shù)學(xué)解題

    沈曉群

    摘 要:探尋數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路的多元化,有助于學(xué)生從多角度去探析數(shù)學(xué)函數(shù)問題,也有利于鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維,這對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)起到積極的作用。因此,文章將結(jié)合高中數(shù)學(xué)函數(shù)有關(guān)問題,從多元思維角度分析解題的方法,以期給予學(xué)生有效的解題意見。

    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);多元化;函數(shù);解題

    對(duì)于數(shù)學(xué)函數(shù)問題的解答,學(xué)生不應(yīng)僅局限于某一解題方法,而應(yīng)學(xué)會(huì)結(jié)合多變的數(shù)學(xué)函數(shù)題目,從多角度去探尋更為高效、有趣的解題路徑,這樣的函數(shù)解題學(xué)習(xí)才更有趣、更有意義。那么為了有效開發(fā)學(xué)生的多元解題思路,文章將做出如下的分析與探究,包括:高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的意義、函數(shù)解題思路多元化遵循的原則、具體的多元化解題方法探討等,使得高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題教學(xué)不再只是簡單的解題方法灌輸,而是轉(zhuǎn)由學(xué)生開動(dòng)腦筋、自主探究新的解題路徑,以實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題教學(xué)的創(chuàng)新與優(yōu)化。

    一、高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化研究的意義

    (一)核心素養(yǎng)教學(xué)背景下的要求

    在當(dāng)下核心素養(yǎng)教學(xué)背景下,對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力提出了更高的要求,高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí),不再是簡單地理解函數(shù)的定義、性質(zhì),而是懂得基于函數(shù)的基礎(chǔ)學(xué)習(xí)理論,去展開函數(shù)問題的具體分析與解答,由此開發(fā)學(xué)生的函數(shù)解題思維,使得學(xué)生將所學(xué)的函數(shù)知識(shí)轉(zhuǎn)為自身的學(xué)習(xí)能力,這樣學(xué)生才會(huì)形成屬于自身的學(xué)習(xí)素養(yǎng)。

    (二)使得學(xué)生客觀、全面看待問題

    多元化的函數(shù)解題思路,就需要學(xué)生懂得從題目問題出發(fā),去尋求多路徑的解題方法,而此過程中,學(xué)生既要懂得靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí),也要懂得結(jié)合與函數(shù)問題相關(guān)的其他數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn),來共同構(gòu)建知識(shí)的解題聯(lián)系,以開辟多元的解題路徑。那么在整個(gè)解題中,學(xué)生可以跳出原本的題目信息,去更為全面地看待數(shù)學(xué)函數(shù)問題、解決函數(shù)問題,從而培養(yǎng)學(xué)生客觀、全面看待數(shù)學(xué)函數(shù)問題的思想觀念[1]。

    二、高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化應(yīng)遵循的原則

    (一)解答問題具有針對(duì)性

    無論探尋怎樣的數(shù)學(xué)函數(shù)解題路徑,都應(yīng)該遵循解題的針對(duì)性原則,即在分析數(shù)學(xué)函數(shù)問題中,得出的數(shù)學(xué)函數(shù)解題方法能夠針對(duì)性地解答問題,為學(xué)生指明一條有用的函數(shù)解題路徑,從而引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)性地解答函數(shù)問題,進(jìn)而促使學(xué)生的解題變得有意義。因此,要做到解題的針對(duì)性,學(xué)生要分析好數(shù)學(xué)函數(shù)題目中的相關(guān)信息與條件,也要將其中的數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)尋找出來,從而為函數(shù)解題方法的探尋指明方向。

    (二)解答問題具有便捷性

    多元化的解題思路是每位學(xué)生通過探究函數(shù)問題之后,結(jié)合自身所學(xué)的數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí),開辟的各種解題路徑,而這些路徑的提出,主要的目的就是讓整個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)解題變得更為便捷,且不用展開長篇幅的問題解析。因此,探尋高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路的多元化,要遵循的原則也包括了解答問題的便捷性原則,只有學(xué)生做到這一點(diǎn),那么他們的解題就會(huì)變得便捷而有價(jià)值。

    (三)解答問題具有效率性

    如果學(xué)生提出的問題解答思路比較煩瑣,即使他們能夠順利解答出數(shù)學(xué)函數(shù)問題,但是將會(huì)耗費(fèi)他們大量的解題時(shí)間,這在時(shí)間緊湊的考試環(huán)境里,將會(huì)失去很多時(shí)間去解答其他的問題,從而影響到學(xué)生的整體解題效率。因此,在解題思路探尋中,學(xué)生應(yīng)該懂得提出的解題思路應(yīng)該具有一定的解題效率性,能夠讓自己的解題速度有所上升,這樣的解題思路才有效、才有意義[2]。

    三、高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的解題方法

    (一)數(shù)形結(jié)合

    在眾多高中數(shù)學(xué)解題思路中,數(shù)形結(jié)合是一種有效的數(shù)學(xué)函數(shù)解題方法,且其重要的特點(diǎn)就是能夠?qū)崿F(xiàn)“數(shù)與形”的相互轉(zhuǎn)化,使得抽象的函數(shù)題目變得直觀,易于學(xué)生探尋其中的函數(shù)知識(shí)原理,并尋求出有效的函數(shù)解題路徑。那么在高中函數(shù)問題解答之中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思維角度,去分析函數(shù)圖像與數(shù)量的關(guān)系,從而構(gòu)建起數(shù)與形的關(guān)系,進(jìn)而從中探尋出數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化的思路,最終高效、便捷地解答數(shù)學(xué)函數(shù)問題。

    那么由下面這道高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題解答為對(duì)象,說一說是如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維展開問題的解答。

    題目:已知f(x)是定義在(-3,3)上的奇函數(shù),當(dāng)0<x<3時(shí),f(x)的圖像如圖所示,則不等式f(x)cosx<0的解集是什么?

    解題分析:雖然這道函數(shù)問題解答的內(nèi)容與不等式有關(guān),但是如何構(gòu)建起題目中數(shù)量與函數(shù)圖像之間的聯(lián)系,則是解答這道數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。從數(shù)形結(jié)合的思維角度,學(xué)生可以將不等式f(x)cosx<0解集分析轉(zhuǎn)化為圖像內(nèi)容的分析,以借助直觀的圖像內(nèi)容來尋求出題目的答案。比如:從題目中的已知條件f(x)cosx<0,則可以懂得f(x)和cosx是異號(hào)的關(guān)系,進(jìn)而獲知y=f(x)與y=cosx的圖像應(yīng)該分在x軸的兩側(cè)。

    解題過程:∵f(x)cosx<0

    ∴y=f(x)與y=cosx異號(hào)

    得到二則函數(shù)圖像:

    那么依據(jù)分析中的圖像內(nèi)容,可以看出f(x)cosx<0的解集為:

    解題總結(jié):從題目的理解和解答過程來看,只有尋找到函數(shù)之間的數(shù)量與圖像之間的關(guān)系,才能有效地解答出函數(shù)問題的解集,因而在此過程中,學(xué)生需要做到的就是分析其中的數(shù)形結(jié)合關(guān)系,即由題目中的f(x)cosx<0條件,來尋求出數(shù)學(xué)問題的函數(shù)關(guān)系,進(jìn)而解出函數(shù)答案。

    (二)轉(zhuǎn)化思維

    對(duì)于一道難度較大的高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題,教師可以引導(dǎo)學(xué)生從轉(zhuǎn)化思維角度,去分析題目中可以轉(zhuǎn)化的點(diǎn),并由轉(zhuǎn)化思維去分析與探尋問題的另一解題路徑。因此,在解答數(shù)學(xué)函數(shù)問題時(shí),學(xué)生應(yīng)該先理清題目問的函數(shù)問題,并尋找題目中可用的函數(shù)信息條件,以構(gòu)建起轉(zhuǎn)化的思路,進(jìn)而將函數(shù)朝著一個(gè)可以轉(zhuǎn)化的方向來簡化問題,最終總結(jié)出一條較為便捷、高效的數(shù)學(xué)函數(shù)解題路徑[3]。

    題目:對(duì)函數(shù)y=f(x)定義域中任一個(gè)x的值均有f(x+a)=f(a-x),請(qǐng)思考與求證y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱。

    解題分析:對(duì)于此道函數(shù)問題的解答,學(xué)生可以從轉(zhuǎn)化思維角度,去探尋其中的函數(shù)轉(zhuǎn)化關(guān)系。比如:題目中可以將圖像證明問題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱點(diǎn)問題的轉(zhuǎn)化,從而基于點(diǎn)的對(duì)稱來思考解題的路徑。

    解題過程:設(shè)(x0,y0)是函數(shù)y=f(x)圖像上任一點(diǎn),則y0=f(x0),又f(a+x)=f(a-x),∴f(2a-x0)=f[a+(a-x0)]=f[a-(a-x0)]=f(x0)=y0,∴(2a-x0,y0)也在函數(shù)的圖像上,∴點(diǎn)(x0,y0)與(2a-x0,y0)關(guān)于直線x=a對(duì)稱。

    解題總結(jié):對(duì)于函數(shù)問題的解答,除了數(shù)形結(jié)合之外,最為有用和常見的就是轉(zhuǎn)化思維,即將一個(gè)看似難的問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的問題,這樣學(xué)生才會(huì)快速地尋求出函數(shù)問題的解答路徑,就如上述的求證問題,如若學(xué)生只會(huì)一味地專注函數(shù)圖像,而忘了其中點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系的分析,將很難求解出函數(shù)問題的答案。

    (三)構(gòu)造思維

    當(dāng)學(xué)生遇到一道數(shù)學(xué)函數(shù)問題缺乏解題思路時(shí),可以嘗試將題目中的函數(shù)展開構(gòu)造分析,即將題目中的原本函數(shù)構(gòu)造成一個(gè)新的函數(shù),一個(gè)新的函數(shù)解析式,以從新的路徑來求解出函數(shù)問題。此時(shí),學(xué)生要懂得分析原題目中的函數(shù)信息及條件,并以相關(guān)的條件信息,來重新構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù),以圍繞這個(gè)新的函數(shù)展開探究,由此另辟蹊徑、探尋出函數(shù)問題的答案。

    題目:函數(shù)f(x)=x,g(x)=x2-x+2,若存在x1x2...xn∈[0,],使得f(x1)+f(x2)+...+f(xn-1)+g(xn)=g(x1)+g(x2)+...+g(xn-1)+f(xn),則n的最大值是多少呢?

    解題分析:對(duì)于此道函數(shù)問題的解答,可以從構(gòu)造思維的角度,去探尋出函數(shù)之間的聯(lián)系,以將原本復(fù)雜的函數(shù)問題簡單化,從而快速求出函數(shù)答案。比如:根據(jù)題目中的f(x)=x,g(x)=x2-x+2信息條件,可以構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù),即g(xn)-f(xn),從而構(gòu)建起一個(gè)新的解題新聯(lián)系。

    解題過程:g(xn)-f(xn)=[g(x1)-f(x1)]+[g(x2)-f(x2)]+...+[g(xn-1)-f(xn-1)],那么假設(shè)h(x)=g(x)-f(x)=x2-2x+2,即h(xn)=h(x1)+h(x2)+...+h(xn-1)就會(huì)恒成立,則可以繼續(xù)求出h(x)的最大值和最小值,從而陸續(xù)得到n-1的最大值為13,進(jìn)而求得n的最大值為14.

    解題總結(jié):從整個(gè)解題過程中來看,解題思路比較復(fù)雜,而且也涉及很多計(jì)算與求證問題。此時(shí),學(xué)生要具備一定的構(gòu)造思維,學(xué)會(huì)基于現(xiàn)有的函數(shù)條件信息,去構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù),并對(duì)這個(gè)新函數(shù)展開證明與解答,才能尋求出新的解題路徑,從而順利解答出數(shù)學(xué)函數(shù)的答案。

    結(jié)束語

    綜上所述,對(duì)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題的多元解答路徑探索,教師可以引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思維、構(gòu)造法等角度,去探尋一條條有用的數(shù)學(xué)函數(shù)解題路徑,由此鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)函數(shù)解題思維,并促使其看到一道數(shù)學(xué)函數(shù)有多種不同的數(shù)學(xué)解題方法,從而促使學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)函數(shù)解題的樂趣與信心。

    參考文獻(xiàn)

    [1]馬振海.解讀高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法[J].新課程,2020,3(33):57.

    [2]李思睿.高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題的多元化思路研究[J].速讀,2019,5(2):132.

    [3]陳磊.高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題的多元化解題方法分析[J].文理導(dǎo)航,2020,8(5):13.

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