隨機(jī)非線性系統(tǒng)的在線修正參數(shù)預(yù)測(cè)濾波PID控制

侯小秋

(黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 哈爾濱 150022)

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隨機(jī)非線性系統(tǒng)的在線修正參數(shù)預(yù)測(cè)濾波PID控制

侯小秋

(黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 哈爾濱 150022)

針對(duì)一類隨機(jī)NARMAX模型，分析了其可采用PID控制的約束條件。提出采用輔助模型的可克服算法病態(tài)的遺忘因子遞推最小二乘算法對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，利用動(dòng)態(tài)切平面逼近的預(yù)測(cè)算法對(duì)系統(tǒng)輸出進(jìn)行預(yù)測(cè)，基于一具有預(yù)測(cè)控制性能的增量型預(yù)測(cè)濾波PID控制算法，根據(jù)可克服算法病態(tài)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)自適應(yīng)控制算法和Robbins-Monro算法，給出了具有在線修正PID控制參數(shù)和加快PID控制參數(shù)收斂速度的隨機(jī)NARMAX模型的自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波PID控制算法。仿真研究表明：因給出的PID控制算法具有預(yù)測(cè)控制性能和在線修正參數(shù)性能，故系統(tǒng)具有較好的控制品質(zhì)。

自適應(yīng)控制；預(yù)測(cè)控制；PID控制；參數(shù)估計(jì)；動(dòng)態(tài)切平面逼近；隨機(jī)NARMAX模型

0 引言

已有許多文獻(xiàn)研究了PID控制的理論和應(yīng)用問(wèn)題，其技術(shù)的關(guān)鍵核心是PID控制參數(shù)的離線整定和在線修正及優(yōu)化，結(jié)合近代控制理論已提出一些PID控制算法。文獻(xiàn)[1]研究了單變量CARMAX模型在線修正參數(shù)的自適應(yīng)PID控制，但所提出的算法不具有預(yù)測(cè)控制性能和濾波性能，指標(biāo)函數(shù)中只含有輸出的當(dāng)前值，不具有加快PID控制參數(shù)的收斂速度的性能，但算法對(duì)隨機(jī)干擾的性質(zhì)要求低。文獻(xiàn)[2]研究了具有預(yù)測(cè)控制性能和濾波性能，并且具有加快PID控制參數(shù)收斂速度的單變量隨機(jī)線性系統(tǒng)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的在線修正參數(shù)的自適應(yīng)PID控制。文獻(xiàn)[3]研究了多變量CARMAX模型的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)PID控制。本文提出一種具有預(yù)測(cè)控制性能和濾波性能，并且具有加快PID控制參數(shù)收斂速度的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的隨機(jī)NARMAX模型的自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波PID控制。

1 隨機(jī)NARMAX模型的參數(shù)估計(jì)和預(yù)測(cè)算法

1.1 隨機(jī)NARMAX模型

文獻(xiàn)[4]分析了隨機(jī)NARMAX模型的難以確定性，提出一個(gè)實(shí)用的隨機(jī)NARMAX模型

(1)

式中

式中：t——離散時(shí)刻；

y(t)——系統(tǒng)輸出；

u(t)——系統(tǒng)輸入；

Y(t-1)——系統(tǒng)輸出集合；

U(t-d)——系統(tǒng)輸入集合；

θ——未知參數(shù)；

d——系統(tǒng)時(shí)滯；

ω(t)——平穩(wěn)隨機(jī)干擾；

f(…)——一般函數(shù)；

n1,n3——階數(shù)。

且

(2)

式中：e(t)——零均值，方差為σ2的白噪聲序列；

A2(q-1),C(q-1)——多項(xiàng)式。

而

A2(q-1)=1+a2,1q-1+…+a2,n2q-n2,

C(q-1)=1+c1q-1+…+cncq-nc。

式中：n2,nc——階數(shù)；

a2,i,ci——系數(shù)。

1.2 可克服病態(tài)的遞推最小二乘算法

采用輔助模型的可克服算法病態(tài)的遺忘因子遞推最小二乘算法。

由式(2)得

(3)

式中

(4)

(5)

由式(3)代入式(1)得

(6)

則式(1)的待估參數(shù)向量θ*為

(7)

(8)

式中：p——θ*的維數(shù)。

則改進(jìn)的準(zhǔn)則函數(shù)為

(9)

式中：N——離散時(shí)刻；

μ——遺忘因子；

JN(θ*)——參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)則函數(shù)。

而

(10)

[5]可得

(11)

(12)

由式(3)得

(13)

式(11)中的P(N),φ*(N)為

(14)

(15)

(16)

綜上分析，由式(3)～(16)構(gòu)成辨識(shí)θ,A(q-1),C(q-1)的非線性可克服算法病態(tài)的遺忘因子遞推最小二乘算法。

1.3 預(yù)報(bào)算法

在工作點(diǎn)U0(t-d),Y0(t-1)處，對(duì)式(1)的非線性系統(tǒng)用動(dòng)態(tài)切平面逼近[4]

(17)

式中

式中

式中

(18)

Gj(q-1),Fj(q-1)——多項(xiàng)式。

(19)

式中Gj(q-1)和Fj(q-1)由遞推Diophantine方程確定

C(q-1)=A(q-1)Fj(q-1)+q-jGj(q-1),

式中

Fj(q-1)=1+fj,1q-1+…+fj,(j-1)q-(j-1),

Gj(q-1)=gj,0+gj,1q-1+…+gj,ngjq-ngj。

式中：ngj——階數(shù)。

1.4 采用PID控制的約束條件

由式(1)可知當(dāng)如下條件成立時(shí)，可采用PID控制。

?Y(t+d-1),U(t),θ。

(20)

2 增量型預(yù)測(cè)濾波的PID控制

(21)

式中：

式中：h1,s0,s1,s2——可調(diào)參數(shù)。

則控制器可調(diào)參數(shù)向量η為

3.1 梯度表達(dá)式

式(1)兩邊對(duì)ηi(i=1,2,3,4)求偏導(dǎo)

(22)

式(18)兩邊對(duì)ηi(i=1,2,3,4)求偏導(dǎo)

(23)

式(21)兩邊對(duì)h1求偏導(dǎo)

(24)

式(21)兩邊對(duì)si(i=0,1,2)求偏導(dǎo)

(25)

3.2 二階導(dǎo)數(shù)矩陣表達(dá)式

式(22)兩邊對(duì)ηp(p=1,2,3,4)求偏導(dǎo)

(26)

式(23)兩邊對(duì)ηp(p=1,2,3,4)求偏導(dǎo)

(27)

式(24)兩邊對(duì)h1求偏導(dǎo)

(28)

式(24)兩邊對(duì)si(i=0,1,2)求偏導(dǎo)

(29)

式(25)兩邊對(duì)h1求偏導(dǎo)

(30)

式(25)兩邊對(duì)sp(p=0,1,2)求偏導(dǎo)

(31)

4 在線修正參數(shù)的預(yù)測(cè)濾波PID控制

參考文獻(xiàn)[2]的可克服算法病態(tài)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)自適應(yīng)控制算法可得如下自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波PID控制，

(32)

ρ(t)——收斂因子；

Q(t)——Hessian矩陣；

λ——加權(quán)因子。

(33)

式中：λ(t)——控制器可調(diào)參數(shù)向量增量約束項(xiàng)的權(quán)重對(duì)角矩陣。

(34)

5 仿真研究

被控對(duì)象為

式中參數(shù)θ1,θ2,c1,a2,1的形式為

(0≤t≤400)

隨機(jī)干擾e(t)～Ν(0,1/10)

系統(tǒng)的參考輸入

r(t)=(-1)·^round(t/100),

輸入的飽和限幅為Umax=0.4

PID控制的初始參數(shù)為

直接極小化算法中的Q(0)=100I,λ=50

收斂因子

參數(shù)估計(jì)的遺忘因子

待估參數(shù)的初始參數(shù)為

采用MATLAB7.01語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)仿真研究，圖1給出PID控制時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，圖2給出PID控制參數(shù)的在線修正曲線。由圖1a看出，采用無(wú)修正參數(shù)控制的響應(yīng)曲線的控制品質(zhì)差，其超調(diào)較大，調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)，而且有振蕩。由圖1b)看出，在 0≤t<200 時(shí)，由于PID控制參數(shù)偏離其有效值，造成系統(tǒng)的控制品質(zhì)不良，表現(xiàn)在系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)較大，調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)，在200≤t≤400時(shí)，因PID控制參數(shù)已收斂到有效值，故系統(tǒng)具有良好的控制品質(zhì)，表現(xiàn)在系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)較小，調(diào)節(jié)時(shí)間較短。由圖2看出，PID控制參數(shù)在系統(tǒng)動(dòng)態(tài)時(shí)有修正，在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)無(wú)修正，符合算法的物理意義。

6 結(jié)束語(yǔ)

1) 提出采用輔助模型的可克服算法病態(tài)的非線性遺忘因子遞推最小二乘算法。

2) 給出隨機(jī)NARMAX模型采用PID控制的約束條件。

3) 基于系統(tǒng)模型和增量型預(yù)測(cè)濾波PID控制算法，給出了系統(tǒng)輸出﹑系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)輸出預(yù)測(cè)值的關(guān)于PID控制參數(shù)的梯度表達(dá)式和二階導(dǎo)數(shù)矩陣表達(dá)式。

4) 給出了隨機(jī)NARMAX模型的在線修正參數(shù)的自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波PID控制算法，算法的指標(biāo)函數(shù)中含有系統(tǒng)的輸出預(yù)測(cè)值，使算法具有加快PID控制參數(shù)收斂到有效值速度的性能。

5) 因所提出的算法的指標(biāo)函數(shù)中含有控制輸入的增量約束項(xiàng)，則提出的PID控制算法具有柔化控制量變化減少對(duì)系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)沖擊的性能。

6) 缺點(diǎn)是較文獻(xiàn)[1]的算法對(duì)隨機(jī)干擾的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)要求高，要求隨機(jī)干擾為零均平穩(wěn)具有有理譜密度的隨機(jī)干擾，適用范圍較文獻(xiàn)[1]的算法窄。

7) 算法的BIBO穩(wěn)定性和算法的收斂性有待研究，并將提出的PID控制算法推廣到多變量隨機(jī)NARMAX模型上。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 侯曉秋.直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)PID控制[J].黑龍江科技學(xué)院學(xué)報(bào), 2008,18(1): 47-50.

[2] 侯小秋.CARMAX模型的在線修正參數(shù)預(yù)測(cè)濾波PID控制[J]. 黑龍江科技大學(xué)學(xué)報(bào),2015,25(6):686-691.

[3] 侯小秋.多變量CARMAX模型的在線修正參數(shù)預(yù)測(cè)濾波PID控制[J]. 黑龍江科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2016,26(1):68-74.

[4] 侯曉秋.一類非線性隨機(jī)系統(tǒng)的自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制[J]. 電氣傳動(dòng)自動(dòng)化, 2012,34(1): 14-18.

[5] 侯曉秋.非線性隨機(jī)系統(tǒng)具有遺忘因子的遞推最小二乘法[J].黑龍江科技學(xué)院學(xué)報(bào), 2008,18(4):306-309.

[6] 席裕庚.預(yù)測(cè)控制[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2013:17-23.

(責(zé)任編輯 李亞青)

Prognosis-filtering PID Control with On-line Modifying Parameter for a Stochastic Nonlinear System

HOU Xiao-qiu

(School of Electronics and Controlling Engineering, Heilongjiang University of Science and Technology,Haerbin 150022, China)

The constraint conditions being applicable to the stochastic multivariable NARMAX model were analyzed. The parameter estimation of the controlled system was conducted by using the nonlinear multivariable forgetting factor recursive least squares algorithm with solving ill-controlled of the auxiliary model, and the output prognosis of the controlled system was conducted by using the dynamic cutting horizontal approximating algorithm. Based on the incremental prediction filter decoupling PID control algorithm with the characterization of prediction-control, the self-tuning control algorithm of direct minimization index function with solving ill-controlled and the Robbins-Monro algorithm, a prognosis-filtering PID control algorithm with the characterizations of the on-line modifying parameter and the speeding the convergence of PID control parameter due to the index function containing the predicting values of the outputs was developed for the stochastic NARMAX model. The simulative results indicate that the system exhibits very good controlling characterization due to the developed PID control algorithm with the properties of predicting-controlling and on-line modifying parameter

Adaptive control; Predictive-control; PID control；Parameter estimation；Dynamic cutting horizontal approximating; Stochastic NARMAX model

10.16255/j.cnki.ldxbz.2016.04.007

2016-06-22

侯小秋(1965—)，男，黑龍江雙城人，黑龍江科技大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院副教授，主要研究方向?yàn)榉蔷€性控制、預(yù)測(cè)控制、自適應(yīng)控制。E-mail：hxq71265@163.com

TP 273

A

1005- 0310(2016)04- 0041- 07