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    簡單平面桁架的穩(wěn)定性及極限承載基于有限元的幾何非線性分析

    2016-11-16 08:54:30王國權(quán)張寶勤
    中國建筑科學(xué) 2016年6期
    關(guān)鍵詞:有限元

    王國權(quán) 張寶勤

    摘 要:本文首先介紹了分析壓桿穩(wěn)定的線性有限單元,然后引入對幾何非線性問題的一般討論,提出了結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣。最后介紹了求解幾何非線性方程的牛頓——拉斐遜法,應(yīng)用此方法通過編程分析得出簡單桁架荷載—位移曲線。

    關(guān)鍵詞:穩(wěn)定性;有限元;幾何非線性;切線剛度矩陣;簡單桁架

    【文章編號】1627-6868(2016)06-0011-03

    Abstract: The article firstly introduces the geometry linear method of finite element. Then it gets into the geometry non-linear discussion, put forward the tangent rigidity matrix of the structure. At last it presents the Newton-Lapheisun method using in the solve of geometry non-linear equation, then get the curve of the relationship of load and displacement through programming.

    Keywords:stability; finite element; geometry non-linear; the tangent rigidity matrix; simple truss

    桁架是由一些細(xì)長桿在其兩端連接(利用焊接或鉚接等方法)而成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。它在橋梁、起重機與屋架等工程對象中得到廣泛的應(yīng)用。如果桁架所有桿件的軸線與其受到的載荷均在一個平面內(nèi),稱此類桁架為平面桁架,否則稱為空間桁架。

    結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性是結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性,任何結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)可能有三種形式:穩(wěn)定的平衡狀態(tài),不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)和隨遇平衡狀態(tài)。

    假設(shè)結(jié)構(gòu)在平衡狀態(tài)附近作無限小偏離后,如果結(jié)構(gòu)仍能恢復(fù)到平衡狀態(tài),則這種平衡狀態(tài)為穩(wěn)定的平衡狀態(tài);如果結(jié)構(gòu)在微小擾動作用下偏離其平衡狀態(tài)后,不能再恢復(fù)到原平衡狀態(tài),反而繼續(xù)偏離下去,則這種平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的平衡狀態(tài);如果結(jié)構(gòu)在微小偏離其平衡狀態(tài)后,既不能再恢復(fù)到原平衡狀態(tài),也不繼續(xù)偏離下去,而是在新的位置形成新的平衡,則這種平衡狀態(tài)為隨遇平衡狀態(tài),隨遇平衡狀態(tài)往往是從穩(wěn)定平衡狀態(tài)向不穩(wěn)定平衡狀態(tài)過渡的一種中間狀態(tài)。

    1.壓桿穩(wěn)定的線性有限單元法——瑞利-里茲法

    變形體的虛位移原理表明:變形體處于平衡狀態(tài)的充分和必要條件是,對與支承約束條件相協(xié)調(diào)的任意微小虛位移,外力虛功與內(nèi)力虛功的總和等于零。

    如以δWe代表外力因虛位移而作的虛功,以δWi代表內(nèi)力因虛位移所做的虛功,則當(dāng)該變形體處于平衡狀態(tài)時,應(yīng)滿足δWe+δWi=0 (1)

    在保守系統(tǒng)中,外力虛功等于虛位移引起的外力勢能改變的負(fù)值,則δWe可改寫為-δV。內(nèi)力虛功等于虛位移引起的變形體內(nèi)應(yīng)變能的變化的負(fù)值,則δWi可改寫為:-δU,則式(a)可寫為δV+δu=0 (2)

    虛位移是滿足體系支承約束條件下的一個微小位移變化,是實際位移的一階變分,因此虛應(yīng)變能δu就是實際應(yīng)變能的一階變分,-δWe就是實際外力勢能(-We)的一階變分,簡寫為-δWe。故式(b)可以寫成:δ(U+V)=δ(U-W)=0 (3)

    即 δⅡ=0,式中Ⅱ=U+V=U-W為體系具有的總勢能。當(dāng)體系處于在平衡狀態(tài)時,總勢能的一階變分為零,或此體系的總勢能為駐值。這就是勢能駐值原理。

    瑞利-里茲法是建立在勢能駐值原理基礎(chǔ)上的近似方法。今假定體系在中性平衡時的位移用沿坐標(biāo)軸x,y,z方向的三個位移u,v,w來表示,并分別取下列位移函數(shù)

    4.算例及分析

    如圖所示為一懸臂桁架梁,假定不考慮材料屈服和桿件屈服,應(yīng)用本文推導(dǎo)的桿單元切線剛度矩陣對其分析可得如圖所示位移曲線。

    在簡單桁架達到極限荷載后,由于切線剛度矩陣行列式的值趨近于零,從而產(chǎn)生奇點,根據(jù)牛頓——拉斐遜法編制的程序計算發(fā)生溢出。

    通過上述算例可知,可以將基于有限元的非線性(幾何非線性、材料非線性)分析方法應(yīng)用于分析網(wǎng)殼、網(wǎng)架,從而為進一步研究復(fù)雜結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性提供了啟示,克服現(xiàn)行的有限元分析軟件收斂性要求過高、單元劃分過于嚴(yán)格的缺點。

    參考文獻

    [1] 丁皓江、何福保等.彈性和塑性力學(xué)中的有限單元法.機械工業(yè)出版社,1989

    [2] 劉光棟、羅漢泉.桿系結(jié)構(gòu)穩(wěn)定.北京:人民交通出版社,1988

    [3] 尹越.單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性研究.天津大學(xué)博士生論文,1998

    [4] 夏志斌、潘有昌.結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論.高等教育出版社,1989

    [5] 王國權(quán).長懸臂桁架基于有限元的穩(wěn)定性和極限承載研究.天津大學(xué)碩士畢業(yè)論文,2005

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