一種基于約束最小二乘估計(jì)的被動(dòng)目標(biāo)定位算法

趙錦園王磊

（1.海軍駐杭州地區(qū)軍事代表室，杭州，310023；2.第七一五研究所，杭州，310023）

一種基于約束最小二乘估計(jì)的被動(dòng)目標(biāo)定位算法

趙錦園1王磊2

（1.海軍駐杭州地區(qū)軍事代表室，杭州，310023；2.第七一五研究所，杭州，310023）

提出一種基于約束最小二乘法的被動(dòng)跟蹤定位算法，同時(shí)為降低算法復(fù)雜度，快速有效地得到實(shí)時(shí)估計(jì)的結(jié)果，引入序貫估計(jì)方法。仿真結(jié)果表明，該方法保留了最小二乘法易于工程實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，又有效解決了估計(jì)偏置的問(wèn)題，同時(shí)不需要進(jìn)行初始值的估計(jì)，也避免了濾波發(fā)散的問(wèn)題。

被動(dòng)定位；純方位目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析；約束最小二乘法；序貫估計(jì)

純方位目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析（BOTMA）方法長(zhǎng)期以來(lái)一直受到研究人員的關(guān)注，但在被動(dòng)觀測(cè)下，目標(biāo)量測(cè)方程存在非線性。Aidata和Nardone［1］提出的偽線性最小二乘法（PLE）將量測(cè)方程進(jìn)行偽線性化處理，再利用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)。該方法將非線性轉(zhuǎn)換到了噪聲項(xiàng)中，使得量測(cè)噪聲存在相關(guān)性，其估計(jì)結(jié)果是有偏的［2］。為消除這種估計(jì)偏置，Holtsberg［3］給出了一個(gè)近似無(wú)偏的結(jié)果，但其更適合于批處理而非實(shí)時(shí)估計(jì)；Passeriewx等［4］和Chen［5］利用輔助變量（IV）去除估計(jì)偏置；Lindgren、Gong［6］和Aidata［7］提出了利用擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）的方法；Chernoguz［8］和Kirubraja［9］等提出了最大似然估計(jì)方法（MLE）。以上方法均存在算法本身對(duì)初始選擇比較敏感問(wèn)題。

實(shí)際工程應(yīng)用中，一般利用PLE方法估計(jì)初始值，再代入到EKFMLEIV等方法中進(jìn)行后續(xù)處理。然而，水聲環(huán)境復(fù)雜，PLE估計(jì)的初值存在較高的偏差，難以滿足實(shí)際需要。同時(shí)后續(xù)算法本身含有迭代過(guò)程或者遞歸過(guò)程，比較復(fù)雜，收斂速度較慢，而且需要已知誤差的統(tǒng)計(jì)特性，寬容性也比較差。

本文在將目標(biāo)量測(cè)方程進(jìn)行偽線性化后，采用一種基于約束最小二乘的方法對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，引入序貫估計(jì)方法，降低了算法復(fù)雜度，能快速有效地得到實(shí)時(shí)估計(jì)的結(jié)果。

1 問(wèn)題描述

不失一般性，我們假設(shè)采樣的時(shí)間間隔為1 s，對(duì)于勻速直線運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)，速度向量為常向量，與時(shí)間無(wú)關(guān)，于是有：

如圖1所示，將本艦到目標(biāo)的向量與正北方向的夾角定義為目標(biāo)的真實(shí)方位，并且記i時(shí)刻目標(biāo)的真實(shí)方位為。

圖1 本艦和目標(biāo)位置及目標(biāo)方位

根據(jù)幾何關(guān)系，不難得到：

由于量測(cè)誤差的存在，通過(guò)本艦實(shí)際量測(cè)的目標(biāo)方位與真實(shí)方位存在一定的誤差，假設(shè)該誤差為，并且該誤差方差為。目標(biāo)的量測(cè)方位可以表示為：

由式（1）可以看到目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)實(shí)際上可以由一個(gè)四維向量確定，將目標(biāo)的跟蹤定位問(wèn)題歸結(jié)為了通過(guò)帶有誤差的方位量測(cè)對(duì)上述四維向量的估計(jì)問(wèn)題。

2 約束最小二乘估計(jì)

在式（2）中進(jìn)行交叉相乘，可以得到：

在過(guò)去所應(yīng)用的偽線性最小二乘法中，所采用的方法是直接通過(guò)計(jì)算一段時(shí)間的，通過(guò)選取該誤差的平方和來(lái)估計(jì)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，該方法簡(jiǎn)單并且容易工程實(shí)現(xiàn)，但結(jié)果是有偏的。

進(jìn)一步分析式（5）可以得到：

在最后一步中，由于誤差ei取值非常小，可以近似認(rèn)為。

選取時(shí)刻k0，對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行被動(dòng)定位必須保證本艦在0～k0的時(shí)間段內(nèi)至少完成一次有效的機(jī)動(dòng)［10］，記：

表示待估計(jì)的向量。

表示誤差向量，同時(shí)，令：

可以得如下關(guān)系：

對(duì)A和u進(jìn)行擴(kuò)維處理，令：

其中，h為某個(gè)確定常數(shù)。則有：

令

利用式（16）計(jì)算得到：

其中，

在該式中，J為常量，可以通過(guò)調(diào)整h使得

同時(shí)，還需要考慮式（14），目的是使左側(cè)得到的誤差平方和最小，令

該問(wèn)題可以利用拉格朗日乘子法進(jìn)行求解，構(gòu)造代價(jià)函數(shù)：

對(duì)θ求偏導(dǎo)并令其為0，可以得到：

那么θ是矩陣對(duì)（R，W）的最小廣義特征根所對(duì)應(yīng)的廣義特征向量。最后再利用式（13），可以得到u值，從而估計(jì)目標(biāo)當(dāng)前的位置。

3 序貫估計(jì)方法

在實(shí)際目標(biāo)跟蹤定位過(guò)程中，對(duì)于目標(biāo)方位的量測(cè)值是陸續(xù)到達(dá)的，上面所提出的最小二乘估計(jì)方法都是基于批處理的，即為獲得k0時(shí)刻的估計(jì)值，需要利用從0～k0時(shí)刻的方位測(cè)量，然后通過(guò)計(jì)算代入式（21）進(jìn)行求解，得到估計(jì)。

當(dāng)本艦接收到k0+1時(shí)刻的目標(biāo)方位測(cè)量值時(shí)候，需要從頭開始，通過(guò)0～k0+1時(shí)刻的方位測(cè)量值，計(jì)算代入式（21）進(jìn)行求解，得到估計(jì)θk0+1。這樣在每個(gè)時(shí)刻進(jìn)行估計(jì)更新都必須從頭算起，所需要的時(shí)間復(fù)雜度是（L為時(shí)間長(zhǎng)度），這樣難以滿足快速有效的實(shí)時(shí)探測(cè)要求。

希望通過(guò)在k0時(shí)刻已經(jīng)獲得的某些結(jié)果的基礎(chǔ)上，通過(guò)增量信息βk0+1直接估計(jì)θk0+1。為敘述方便，重新規(guī)定有關(guān)符號(hào)?？梢垣@得的數(shù)據(jù)為：，表示本艦在i時(shí)刻的位置；，表示獲得的i時(shí)刻的目標(biāo)量測(cè)方位。

假設(shè)已經(jīng)估計(jì)出0～k0時(shí)刻的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，現(xiàn)在對(duì)k0+1時(shí)刻目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)：

對(duì)于k0+1時(shí)刻進(jìn)行估計(jì)：

可以計(jì)算得到［11］：

并且由式（30）可以得到：

記正規(guī)化因子（Normal Factor）為：

4 仿真實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證該算法的處理效果，進(jìn)行仿真數(shù)據(jù)分析。在圖2中，以本艦起始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），本艦的航行速度為10 m/s，在0～100 s之間沿著x坐標(biāo)方向移動(dòng)，100 s時(shí)刻進(jìn)行90°機(jī)動(dòng)，再沿著y坐標(biāo)方向移動(dòng)，200 s時(shí)刻進(jìn)行機(jī)動(dòng)，沿著x坐標(biāo)方向移動(dòng)，300 s時(shí)刻進(jìn)行機(jī)動(dòng)，再沿著y坐標(biāo)方向移動(dòng)。同時(shí)，目標(biāo)的起始位置為（3 000 m，4 000 m），速度為（7 m/s，-6 m/s）。在被動(dòng)探測(cè)條件下，本艦只能獲得目標(biāo)的方位，并且測(cè)量方位值存在方差為1°的誤差。

圖2 本艦運(yùn)動(dòng)軌跡和目標(biāo)態(tài)勢(shì)

圖3給出的是批處理情況下，約束最小二乘法與偽線性最小二乘法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤定位效果的對(duì)比?？梢钥闯觯瑐尉€性最小二乘法有較大的偏差，而本文所采用約束最小二乘法估計(jì)的軌跡精度獲得了大幅度的提高。

圖3 約束最小二乘法與偽線性最小二乘法對(duì)比（批處理）

圖4中，為進(jìn)行快速有效地實(shí)時(shí)估計(jì)，采用了序貫估計(jì)方法，同樣獲得了實(shí)時(shí)條件下約束最小二乘法與偽線性最小二乘法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤定位的對(duì)比效果。從圖中可以看出，偽線性最小二乘法估計(jì)的目標(biāo)位置有明顯的偏置，而且隨著時(shí)間的積累，該偏置并不能逐步消除，而本文所采用約束最小二乘法估計(jì)極大地改善了這種偏置，獲得了更準(zhǔn)確的定位效果。

圖4 約束最小二乘法與偽線性最小二乘法對(duì)比（實(shí)時(shí)估計(jì)）

為分析跟蹤定位的誤差，引入相對(duì)誤差作為衡量定位效果的精度，對(duì)于x軸方向，我們定義x軸向精度為（目標(biāo)x坐標(biāo)估計(jì)值-本艦x坐標(biāo)）/（目標(biāo)x坐標(biāo)實(shí)際值-本艦x坐標(biāo)）；同理，對(duì)于y軸方向，我們定義y軸向精度為（目標(biāo)y坐標(biāo)估計(jì)值-本艦y坐標(biāo)）/（目標(biāo)y坐標(biāo)實(shí)際值-本艦y坐標(biāo)）。

圖5和圖6為算法經(jīng)過(guò)100次蒙特卡洛仿真的結(jié)果。從圖中可以看出，在經(jīng)歷一段時(shí)間（150 s）以后，本文所用約束最小二乘估計(jì)方法在兩個(gè)方向上的精度都有了大幅提高，有效地抑制了傳統(tǒng)偽線性最小二乘估計(jì)存在偏置的問(wèn)題，獲得了較好的跟蹤定位效果。

圖5 約束最小二乘法算法的x軸方向定位精度

圖6 約束最小二乘法算法的x軸方向定位精度

5 結(jié)論

本文提出了一種基于約束最小二乘估計(jì)的被動(dòng)目標(biāo)跟蹤定位方法，該算法較好的解決了被動(dòng)觀測(cè)下量測(cè)模型和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型的非線性問(wèn)題。

該方法不需要進(jìn)行初始值的估計(jì)，避免了卡爾曼濾波中可能出現(xiàn)的濾波發(fā)散的問(wèn)題。同時(shí)，保留了最小二乘法易于工程實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，又可以改善偽線性最小二乘法的偏置問(wèn)題，提高跟蹤定位的精度。序貫估計(jì)方法的引入，進(jìn)一步降低了算法復(fù)雜度，能快速有效地得到實(shí)時(shí)估計(jì)的結(jié)果。進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明該方法相對(duì)于偽線性最小二乘估計(jì)，獲得了更加有效的跟蹤定位精度。對(duì)于單艦的被動(dòng)跟蹤定位應(yīng)用，有一定的工程參考價(jià)值。

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