高等數(shù)學(xué)教學(xué)中變限積分函數(shù)的求導(dǎo)方法

楊應(yīng)明　畢迎鑫

（六盤水師范學(xué)院）

高等數(shù)學(xué)教學(xué)中變限積分函數(shù)的求導(dǎo)方法

楊應(yīng)明畢迎鑫

（六盤水師范學(xué)院）

變限積分求導(dǎo)為變限積分函數(shù)研究的關(guān)鍵，也是極易考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。但變限積分求導(dǎo)的教學(xué)過程頗具難度，使得很多學(xué)生未能熟練掌握與使用。因此，對(duì)求導(dǎo)方法的教學(xué)加以探討極為必要。

高等數(shù)學(xué)；變限積分函數(shù)；求導(dǎo)方法

變限積分是為證明該公式在原函數(shù)中的存在，故變限積分為微積分學(xué)中必不可少的工具。變限積分有助于學(xué)生對(duì)原函數(shù)的存在定理及牛頓-萊布尼茨公式進(jìn)行更好的理解，從而為高等數(shù)學(xué)的進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)奠定良好基礎(chǔ)。

一、高等數(shù)學(xué)變限積分函數(shù)教學(xué)中應(yīng)注意的問題

變限積分求導(dǎo)后不一定具有連續(xù)性。從變限積分定理及其推論可知，f（x）在變上限積分后所得函數(shù)其性質(zhì)將可積改進(jìn)至連續(xù)，而連續(xù)則可改進(jìn)至可導(dǎo)，這也算變限積分特有的性質(zhì)。函數(shù)連續(xù)性為可導(dǎo)性的充分非必要條件，換言之，函數(shù)f（x）若在區(qū)間內(nèi)連續(xù)則該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；若已知該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，但求導(dǎo)后的函數(shù)則不一定連續(xù)。

連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)存在，φ（x）為f（x）函數(shù)的原函數(shù)，換言之，以定積分形式給出一個(gè)原函數(shù)。求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)二者互為逆運(yùn)算，即原函數(shù)求解其本質(zhì)上為微分學(xué)問題。而求定積分即是對(duì)一個(gè)特定和式極限進(jìn)行求解，為積分學(xué)問題。

二、高等數(shù)學(xué)變限積分函數(shù)求導(dǎo)方法分析

通常情況下，被求函數(shù)為該方程的特解。要求出該特解則需根據(jù)原方程對(duì)初始條件進(jìn)行正確確定。比如，依據(jù)變限積分積分限進(jìn)行確定；依據(jù)原方程求導(dǎo)后的積分方程來進(jìn)行確定；依據(jù)曲線上點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行確定等。

當(dāng)x=1時(shí)，u為0，故C=0.

解：令u=x-t，dt=-du，t=x-u.

當(dāng)t為零時(shí)，x=u；當(dāng)x=t時(shí)，u為0.

故f（0）=1.

繼續(xù)求導(dǎo)上式可得：

故正f（x）=|C1|+x，即，Cex=f（0）.

又f（0）=1，故C=1，因此可得，f（x）=ex.

總結(jié)：

變限積分應(yīng)用主要包括三方面，即變限積分導(dǎo)數(shù)及極限的求解、牛頓-萊布尼茨公式的證明，而變限積分導(dǎo)數(shù)與極限的求解為教學(xué)重難點(diǎn)。教學(xué)過程中，應(yīng)先對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行適當(dāng)復(fù)習(xí)，而后再對(duì)變限復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式進(jìn)行推導(dǎo)，如此，使知識(shí)得以聯(lián)系，使學(xué)生能夠進(jìn)行層次性學(xué)習(xí)。

［1］歐陽(yáng)云.變限積分的教學(xué)探討［J］.科技信息，2013（1）：164.

［2］朱彩蘭.含參變量的變限積分的求導(dǎo)方法［J］.安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（4）：53-54.

［3］夏濱.探析幾類函數(shù)方程的求解方法［J］.讀與寫（教育教學(xué)刊），2012（8）：38.

·編輯張慧