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    一類導(dǎo)數(shù)題的常見解法

    2016-11-16 03:50:24周和平
    新課程(下) 2016年9期
    關(guān)鍵詞:子集極值零點(diǎn)

    周和平

    (武漢市新洲區(qū)第二中學(xué))

    一類導(dǎo)數(shù)題的常見解法

    周和平

    (武漢市新洲區(qū)第二中學(xué))

    函數(shù)求導(dǎo)后,導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)決定原函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)導(dǎo)函數(shù)要重點(diǎn)分析它的符號(hào)怎么確定的。

    求導(dǎo);子集;零點(diǎn);圖像;分離變量;數(shù)形結(jié)合;構(gòu)造函數(shù)

    函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在高考中有著重要地位。用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)單調(diào)性或極值問題時(shí),我們經(jīng)常會(huì)遇到求導(dǎo)后怎么進(jìn)一步處理的問題,下面看幾個(gè)例子:

    例1.(2010·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3x+1.

    (1)設(shè)a=2,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

    (2)設(shè)f(x)在區(qū)間(2,3)中至少有一個(gè)極值點(diǎn),求a的取值范圍.

    (2)解法一:利用子集關(guān)系

    f′(x)=3[(x-a)2+1-a2].

    當(dāng)1-a2≥0時(shí),f′(x)≥0,f(x)為增函數(shù),故f(x)無極值點(diǎn);

    當(dāng)1-a2<0時(shí),f′(x)=0有兩個(gè)根,

    解法五:間接法

    考慮問題的反面,轉(zhuǎn)化為恒成立問題,即f(x)在區(qū)間(2,3)無極值點(diǎn),f(x)在區(qū)間(2,3)為單調(diào)函數(shù),∴f′(x)=3x2-6ax+3≥0或f′(x)=3x2-6ax+3≤0在(2,3)上恒成立,具體解法類似如下例2。

    例2.已知a為實(shí)數(shù),f(x)=(x2-4)(x-a),若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是遞增的,求a的取值范圍.

    【思路】由題意可知(-∞,-2],[2,+∞)應(yīng)為函數(shù)f(x)的增區(qū)間的子集,即為不等式f′(x)≥0解集的子集,也可轉(zhuǎn)化為f′(x)=3x2-2ax-4≥0在(-∞,-2]∪[2,+∞)上恒成立.

    解析f(x)=x3-ax2-4x+4a,f′(x)=3x2-2ax-4.

    解法一:利用二次函數(shù)圖像特征

    f′(x)=3x2-2ax-4的圖像開口向上,且過點(diǎn)(0,-4)的拋物線,

    f′(x)=3x2-6ax+3=3(x2-2ax+1),

    令g(x)=x2-2ax+1,x∈(2,3)問題轉(zhuǎn)化為g(x)=x2-2ax+1在(2,3)上有變號(hào)零點(diǎn)(零點(diǎn)兩邊的函數(shù)值符號(hào)相反)。

    解法二:利用二次函數(shù)圖象特征

    g(x)=x2-2ax+1的圖像為開口向上,且過點(diǎn)(0,1)的拋物線,

    若g(x)=x2-2ax+1在(2,3)上有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn),則只須g(2)· g(3)<0,得<a<①所以a的取值范圍為[-2,2].

    解法二:利用子集關(guān)系

    令f′(x)=0,即3x2-2ax-4=0,由求根公式得

    所以a的取值范圍是[-2,2].

    解法三:分離變量

    f′(x)=3x2-2ax-4≥0恒成立,由3x2-4≥2ax分離變量,

    同理,當(dāng)x≤-2時(shí),得a≥-2,

    所以a的取值范圍是[-2,2].

    解法三:分離變量

    由x2-2ax+1=0得2a=x+在(2,3)上有變號(hào)零點(diǎn),∴y=2a和y=x+在(2,3)上有交點(diǎn)

    解法四:數(shù)形結(jié)合

    x2+1=2ax在(2,3)上有變號(hào)零點(diǎn),如下圖,分別畫出函數(shù)y= x2+1,x∈(2,3)和y=2ax的圖像。

    解法四:數(shù)形結(jié)合

    由解法三知3x2-4≥2ax在(-∞,-2]∪[2,+∞)上恒成立,即y=3x2-4,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)在直線y=2ax上方,∴直線的斜率范圍為-4≤2a≤4,得-2≤a≤2.

    例3.(2010·新課標(biāo)全國)設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2.

    (2)若當(dāng)x≥0時(shí)(fx)≥0,求a的取值范圍.

    f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).

    當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0.

    故f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上單調(diào)遞增,在[-1,0]上單調(diào)遞減.

    (2)f(x)=x(ex-1-ax).由題意只需g(x)=ex-1-ax≥0在x≥0時(shí)恒成立即可.

    解法一:則g′(x)=ex-a.

    若a≤1,則當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)為增函數(shù),而g(0)=0,從而當(dāng)x≥0時(shí)g(x)≥0,即f(x)≥0.

    若a>1,則當(dāng)x∈(0,ln a)時(shí),g′(x)<0,g(x)為減函數(shù),而g(0)=0,從而當(dāng)x∈(0,ln a)時(shí)g(x)<0,即f(x)<0.綜合得a的取值范圍為(-∞,1].

    解法二:數(shù)形結(jié)合

    由題意,只須ex-1≥ax在x≥0時(shí)恒成立,函數(shù)h(x)=ex-1在原點(diǎn)O(0,0)處切線方程為y=x,直線y=ax在h(x)=ex-1(x≥0)下方,則a≤1.

    思路:構(gòu)造函數(shù)

    要ex-1-ax≥0成立,當(dāng)x=0時(shí),顯然成立,此時(shí)a∈R,

    函數(shù)求導(dǎo)后,導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)決定原函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)導(dǎo)函數(shù)要重點(diǎn)分析它的符號(hào)怎么確定的,根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)采取數(shù)形結(jié)合局部二次求導(dǎo)等方法來進(jìn)行突破。

    練習(xí):

    2.已知函數(shù)(fx)=a ln x-ax-3(a∈R).

    (1)求函數(shù)(fx)的單調(diào)區(qū)間;

    當(dāng)a>0時(shí),(fx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1],單調(diào)遞減區(qū)間為[1,+∞);

    當(dāng)a<0時(shí),(fx)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1];

    當(dāng)a=0時(shí),(fx)不是單調(diào)函數(shù).

    ∴g′(x)=x2+(m+4)x-2.

    ·編輯劉青梅

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