多視角中反思，甄別通性通法

◇　山東　閆靈巧　夏佑偉

(作者單位：山東省鄒城市第一中學(xué))

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多視角中反思，甄別通性通法

◇山東閆靈巧夏佑偉

一題多解是啟發(fā)和引導(dǎo)同學(xué)們從不同的視角出發(fā),探索不同解題思路的一種解題活動(dòng),主要目的是培養(yǎng)和鍛煉同學(xué)們的思維,探索適應(yīng)一般情形的最優(yōu)化的通性通法.

在本題的分析中部分同學(xué)認(rèn)為數(shù)列{an}與{bn}的公共項(xiàng)由an=bn求得,即4n-1=3n+2,只有1項(xiàng).但通過(guò)列舉出2數(shù)列的前幾項(xiàng)：

{an}: 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59,….

{bn}: 5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,41,44,47,….

可見(jiàn),2個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)是11,23,35,47,…,易發(fā)現(xiàn)該數(shù)列是首項(xiàng)為11、公差為12的等差數(shù)列,則

cn=11+12(n-1)=12n-1.

對(duì)于上面的2個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)問(wèn)題,解題思路雖然自然簡(jiǎn)潔,但是作為解答題并不嚴(yán)謹(jǐn),下面從多種視角對(duì)此題進(jìn)行探究,并尋找簡(jiǎn)潔的通法.

1　選擇一個(gè)數(shù)列,從整體上尋找問(wèn)題突破口

設(shè)an=bm=ck,則ck=4n-1=3m+2.所以

an+1=4(n+1)-1=3m+2+4=3(m+2)?{bn},

an+2=4(n+2)-1=3m+2+8=3(m+3)+1?{bn},

an+3=4(n+3)-1=3m+2+12=3(m+4)+2=

bm+4∈{bn},

故ck+1=an+3,ck+1-ck=an+3-an=12,即{cn}構(gòu)成公差為12的等差數(shù)列.又因?yàn)閏1=a3=11,所以

cn=11+12(n-1)=12n-1.

反思1) 規(guī)范了解題步驟,再次鞏固探究成果,還可將上面的解題程序推廣到非等差問(wèn)題的求解; 2) 本題采用直接將表達(dá)式和bn=3n+2相比較,可直接判斷出該項(xiàng)屬于數(shù)列{bn}中的某一項(xiàng).當(dāng)然也可以利用多元不定方程是否有整數(shù)解來(lái)判斷是否為公共項(xiàng); 3) 本題選擇{an}進(jìn)行討論,只需討論an+1、an+2、an+3這3項(xiàng),便可找到公共項(xiàng)．若選擇數(shù)列{bn},則需討論bm+1、bm+2、bm+3、bm+4這4項(xiàng).道理一想便知,公差越大,該數(shù)列中的公共項(xiàng)離得越近,因此盡量選擇公差較大的數(shù)列討論.這一原理不經(jīng)親身體驗(yàn)感悟不會(huì)深刻.

2　從多元不定方程視角,利用數(shù)的整除性求解

抓住數(shù)列的公共項(xiàng)等價(jià)于方程an=bm有解這一點(diǎn),自然想到求解這個(gè)多元不定方程,這是本題的一個(gè)重要思路.

m+1=4k,k∈N*.

①

故m=4k-1,所以bm=b4k-1=3(4k-1)+2=12k-1,即cn=12n-1.

反思1)也可由式①得n=3k,a3k=4(3k)-1=12k-1，即cn=12n-1；2)等式4n-1=3m+2中的常數(shù)項(xiàng)恰好能湊成公差3或4,很容易想到提取公因式,如果不是這樣呢?

對(duì)于數(shù)列{bn}來(lái)講,其中b3,b10,b17,…都是{an}、{bn}的公共項(xiàng),所以ck=b7k-4=2(7k-4)+7=14k-1(或者ck=a2k-1=7(2k-1)+6=14k-1).

可見(jiàn),“利用多元不定方程有整數(shù)解”的方法處理2個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)也是一種通法.

3　從指數(shù)方程視角,利用二項(xiàng)式定理解方程

如果數(shù)列{an}是等比數(shù)列,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,那么方程an=bm就是一個(gè)含有指數(shù)的方程,在高中階段和指數(shù)有關(guān)的整除問(wèn)題還有二項(xiàng)式定理.顯然利用二項(xiàng)式定理解不定方程也是一個(gè)不錯(cuò)的選擇.

反思1上述問(wèn)題中,由于等比數(shù)列{an}的項(xiàng)變化要比等差數(shù)列{bn}的快,數(shù)列{an}中的相鄰的公共項(xiàng)之間距離只間隔1項(xiàng),即ck=am,ck+1=am+2,而等差數(shù)列{bn}中的相鄰的公共項(xiàng)之間的距離就相當(dāng)遠(yuǎn),假如bm=ck是第k個(gè)公共項(xiàng),那么下一個(gè)公共項(xiàng)是b4m+2=ck+1,再次驗(yàn)證了2個(gè)等差數(shù)列公共項(xiàng)應(yīng)該盡量在公差較大的數(shù)列中找ck與ck+1之間的關(guān)系.

此外,對(duì)于一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)問(wèn)題,前面案例中所研究的解題方法同樣適用.可以看出,變式訓(xùn)練不僅是一種鞏固,更多的是讓我們不斷地加深對(duì)解題方法本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),右式能被3整除.又因?yàn)閙為正整數(shù), 所以n為大于1的奇數(shù),所以cn=22n+1.

反思2上述問(wèn)題中,bn=3n+2的常數(shù)項(xiàng)是不是簡(jiǎn)單了些?若設(shè)計(jì)大些,如bn=3n-19還能做嗎?

設(shè)an=bm,得3m=2n+19,由二項(xiàng)式定理得

2n+19=(3-1)n+19=

比較上述3種視角,不難發(fā)現(xiàn)2、3適應(yīng)范圍上受限制的程度較大,技術(shù)要求較高.而視角1從整體上在一個(gè)數(shù)列中尋找公共項(xiàng)的解題方法,這是解決此類(lèi)問(wèn)題的通法.

(作者單位：山東省鄒城市第一中學(xué))