于折疊中尋“奧妙”

江蘇省江陰市利港中學八（11）班 韓昕豪

于折疊中尋“奧妙”

江蘇省江陰市利港中學八（11）班 韓昕豪

責任編輯：沈紅艷 見習編輯：李詩 email：czsshy@126.com

原題呈現(xiàn)：（1）小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展平紙片（如圖1）；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖2），小明認為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由.（2）實踐與應用：將長方形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE（如圖3）；再沿過點E的直線折疊，使點D落在BE上的點D′處，折痕為EG（如圖4）；再展平紙片（如圖5），求圖5中∠α的大小.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

這題在試卷中出現(xiàn)時我是第一次碰到，當時看到題就有些心慌，雖然明白題目（1）的意思但卻不會書寫，由于書寫比較凌亂，直接導致第（2）問沒有做.正因為此題的失誤讓我這次考試沒有得到理想的分數(shù).試卷發(fā)下來后，我回家認真靜心思考與訂正，我發(fā)現(xiàn)這題并不是很難.關鍵在于解題思路要清晰，書寫格式要規(guī)范，雖然題目比較長，但只要認真閱讀，抓住折疊的本質(zhì)，這分就易得了.

我在訂正時，首先把心靜下來，趕走因題目太長帶來的煩躁不安，然后認真閱讀，邊讀邊圈畫，按照老師一直強調(diào)的看到一個條件就開始聯(lián)想.比如：三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展平紙片（如圖1），我就把目光集中在圖1，這里可以得到∠BAD=∠CAD；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖2），我就把目光集中在圖2上，感覺圖2的信息很多，假設AD和EF交于點O，那么AO=OD，EO=OF，AE=AF，如果這樣的話，那么△AEF就已經(jīng)是等腰三角形了，再次陷入考試時的死結.我突然想到老師平時對做這類題目的要求，不會做的時候，按題目要求動手操作，于是我就裁剪了一個三角形，然后按要求進行翻折，當?shù)诙畏蹠r，為了讓點A和點D重合，我不斷進行調(diào)整，這時發(fā)現(xiàn)E、F也在動，頓時我就明白了，第二次翻折的時候，AE和AF是不能夠直接得到相等的，當點A和點D重合時，壓平展開后發(fā)現(xiàn)得到第二條折痕EF，AO=OD，但EO=OF是不能直接得到的.問題是AO=OD與證明三角形△AEF是等腰三角形無關，這讓我再次陷入困境.我又按要求操作了一遍，突然發(fā)現(xiàn)這兩條折痕是垂直的，加上∠BAD=∠CAD，這樣就可以利用三角形內(nèi)角和得到∠AEF=∠AFE，最后由等角對等邊得到△AEF為等腰三角形.這一結論讓我興奮不已，當有了這個結論后，我又發(fā)現(xiàn)利用三角形全等也可以解決.

解：（1）由第一次折疊得：∠1=∠2，由第二次折疊得：EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°，在△AEO和△AFO中，∠1=∠2（已證），AO=AO（公共邊），∠AOE=∠AOF（已證），∴△AEO≌△AFO

（ASA），∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形.

（2）由第一次折疊得：∠BEF=45°，∠FED= 90°，∴∠BED=∠BEF+∠FED=135°，由第二次折疊得：∠BEG=∠BED=67.5°，∠BEF+∠α=∠BEG，∴∠α=∠BEG-∠BEF=22.5°.

當我把此題訂正好后，突然想到第（1）題第二次折疊過程中，點A和點D關于折痕EF對稱，即EF為對稱軸，那么就可以得到AD⊥EF，AO=DO，馬上想到課堂上老師講過：軸對稱圖形中對應點的連線段的垂直平分線是該圖形的對稱軸，想通了就發(fā)現(xiàn)此題真的很簡單，自己考試時犯的錯誤在于沒全面了解翻折得到的信息，現(xiàn)在我明白了圖形的翻折，折痕是對稱軸，對應點的連線段的垂直平分線是該圖形的對稱軸.

另外，我還從此題訂正的過程中得到一個經(jīng)驗，那就是遇到類似折紙等操作類題目，可先按要求動手操作，操作的過程中，往往問題就可以輕松解決.

【教師點評】小作者能通過對一道考試錯誤的題目進行訂正，訂正時發(fā)現(xiàn)思路得不到突破，于是想到動手操作，過程一波三折，可謂精彩.目前動手翻折問題在各地中考試卷中是一個熱門題型，小韓同學把周考時的心里話說出來了：“第一次碰到，當時考試時看到此題就有些心慌，雖然明白題目（1）的意思但卻不會書寫，由于書寫比較凌亂，直接導致第（2）問沒有做.”劉老師把它放在試卷最后一題，本題難就難在第一小問，如果同學們不動手操作的話，思路會很混亂，而且不會書寫.只有通過自己靜心思考、操作后，在頭腦中清晰地浮現(xiàn)出操作過程，才能進而發(fā)現(xiàn)此題考查的本質(zhì).劉老師之所以選中這篇反思，一是因為想換一種方式提醒和告誡同學們，今后遇到此類題目必須動手操作；二是因為該文中提到了認真閱讀，抓住折疊的性質(zhì)，這很好.后面馬上要學習勾股定理，此類翻折的題目將會大量出現(xiàn)，一定要動手操作，記住折痕就是對稱軸，然后去發(fā)現(xiàn)不變的角和線段之間的關系.

數(shù)學就是要這樣去研究.陷入其中者，愛之惜之樂之；門外轉悠者，畏之棄之恨之.

（指導教師：劉杰）

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