GPS窄帶干擾的壓縮感知多級原子庫估計*

姚彥鑫

GPS窄帶干擾的壓縮感知多級原子庫估計*

姚彥鑫**

（北京信息科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，北京100010）

全球定位系統(tǒng)（GPS）窄帶干擾抑制常用的方法是用頻域變換估計干擾頻帶，然后用頻率內(nèi)插或外推濾波削弱干擾信號的影響。為緩解在干擾頻帶探測階段較高的信號采樣率和頻域變換所帶來的高計算量的壓力，提出了一種新的利用多層級原子庫進(jìn)行窄帶干擾頻帶估計的方法。分別研究了多種GPS窄帶干擾在傅里葉基、原子庫稀疏表示基下用壓縮感知重構(gòu)進(jìn)行干擾頻率估計的方法。用Monte Carlo仿真分析了不同的信噪比、搜索步長和測量值數(shù)目條件對壓縮感知構(gòu)造過完備原子庫方法進(jìn)行窄帶信號頻帶估計效果的影響，驗(yàn)證了文中提出方法的有效性。理論分析表明：所提方法與傳統(tǒng)頻域變換方法相比，具有能夠極大減少測量值與計算量的優(yōu)點(diǎn)。

衛(wèi)星導(dǎo)航；窄帶干擾；壓縮感知；頻率估計；原子字典

1 引 言

全球定位系統(tǒng)（Global Positioning SYstem，GPS）信號較弱，極易受到干擾。衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)在干擾環(huán)境中對干擾抑制能力的強(qiáng)弱已經(jīng)成為其是否能夠發(fā)揮作用的關(guān)鍵。GPS接收機(jī)干擾主要有壓制式和欺騙式兩種，具體樣式包括寬帶高斯噪聲、連續(xù)波、掃頻連續(xù)波、窄帶/寬帶調(diào)頻信號等，相關(guān)前的抗干擾處理方法包括幅度域處理、時域?yàn)V波、頻域?yàn)V波、調(diào)零天線、自適應(yīng)陣列法等。針對窄帶干擾一般采用時域和頻域處理[1]：時域自適應(yīng)濾波對窄帶、多徑等具有較徹底的抑制能力，但是收斂速度慢，只能處理慢變干擾[2]；頻域處理對窄帶、帶外干擾等有較強(qiáng)的抑制能力[3-4]。傳統(tǒng)的頻域窄帶抗干擾方法一般對信號做傅里葉變換（Fast Fourier Transformation，F(xiàn)FT），利用閾值估計，將大于閾值頻率位置信號置零[1]，或者為防止信號抗干擾過度畸變而采取延拓插值等方法進(jìn)行補(bǔ)償[4]，也可將閾值估計后中頻頻率與帶寬參數(shù)等傳遞給時域有限長單位沖激響應(yīng)（Finite ImPulse ResPonse，F(xiàn)IR）濾波器設(shè)計模塊設(shè)計FIR濾波器進(jìn)行濾波[2-3]。窄帶干擾信號大體包括如下幾類：多頻點(diǎn)干擾信號[5]、掃頻信號、噪聲調(diào)頻信號等，或者視為以上信號有限疊加。

本文考慮窄帶可能存在的位置在變化，需要采樣率高，一般需要滿足奈奎斯特采樣定律，而且做頻域的傅里葉變換分析不僅計算量大，而且無法反應(yīng)干擾信號頻點(diǎn)的動態(tài)變化情況[4]。壓縮感知是科學(xué)技術(shù)的最新進(jìn)展，能將滿足稀疏性質(zhì)的信號用少量測量值用非線性重建的方法估計[6-7]。壓縮感知的超完備信號稀疏表示方法于1993年首次提出，可以用正交匹配追蹤（Orthogonal Marching Pursuit，OMP）等算法進(jìn)行稀疏基的查找與信號重構(gòu)[8-9]。由于窄帶干擾信號在頻域上滿足稀疏性，可以在設(shè)計的稀疏表示基下進(jìn)行稀疏表示，文獻(xiàn)[10-11]就對相關(guān)的壓縮感知頻率估計方法進(jìn)行了研究。本文考慮估計效果與估計參數(shù)、構(gòu)造原子庫參數(shù)等之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)利用二級原子庫構(gòu)造方法可以進(jìn)一步降低工作量，于是提出了壓縮感知的多級原子庫估計方法，用更少的計算量得到窄帶干擾的頻帶位置或特征參數(shù)。在得到干擾頻帶后，就可以用頻率內(nèi)插或外推濾波等方法對GPS進(jìn)行干擾抑制處理。本文方法具有降低采樣率、降低估計計算量和及時反映多種窄帶疊加干擾動態(tài)變化情況的優(yōu)點(diǎn)。

2 壓縮感知的窄帶干擾估計

2.1 壓縮感知原理

壓縮感知的基本思想是將原始非稀疏信號表示為s＝Ψx，其中Ψ為投影矩陣，x是s在正交基Ψ上投影后得到的稀疏信號。壓縮感知理論表明，長度為N的信號x如果在某個矩陣Ψ下是P稀疏的，則通過觀測矩陣Φ從信號x中選取M個樣本（M?N），能以很大的概率恢復(fù)原始信號[6]。信號如果可以在某個可逆的基上進(jìn)行投影，得到稀疏信號，就完成了信號的稀疏化過程。自然界中罕見天然稀疏信號，信號都在特定的變換域內(nèi)具有稀疏性。稀疏化過程研究的關(guān)鍵問題之一就是如何構(gòu)造一個適合某一類信號的稀疏表示基或冗余字典。稀疏表示基是互相正交的可逆基；冗余字典構(gòu)成不再局限于正交，因此被稱為“原子”[6]。

在尋找或構(gòu)造觀測矩陣Φ時，遵循如果Θ滿足有限等距性質(zhì)（Restricted IsometrY ProPertY，RIP）[7]，則無論對于正交基還是冗余字典的稀疏化表示，均可以通過重構(gòu)算法將信號恢復(fù)出來。重構(gòu)算法包括基追蹤算法、正交匹配追蹤等方法從觀測序列中恢復(fù)稀疏表示信號[8-9]。OMP算法運(yùn)用所構(gòu)建的原子庫與信號的測量值作內(nèi)積，選擇與原始信號最為匹配的原子。

2.2 各種GPS窄帶干擾信號的稀疏表示

2.2.1 多音信號

多音信號的信號模型為

式中：G為多音干擾信號的頻率個數(shù)；Ag（g＝1，2，3，…，G）為干擾信號的幅度；fg為干擾信號的頻率；n表示隨機(jī)噪聲。觀察多音信號模型可知它是多個余弦信號的線性疊加的形式。

當(dāng)該信號中的噪聲項(xiàng)n（t）＝0時，通過傅里葉變換之后它只在幾個頻率分量上有值，說明它在傅里葉變換域內(nèi)是具有稀疏特性的。因此，可以采用傅里葉正交變換陣作為該信號的一種稀疏基Φ＝。另外一種原子庫構(gòu)建稀疏基的方法是設(shè)原子為φr＝cos（2πfrt），其中fr為原子對應(yīng)頻率，選用合適的頻率范圍與步長構(gòu)造原子庫。

2.2.2 掃頻信號

掃頻信號的模型為

式中：f0為掃頻信號的中心頻率；k為掃頻信號的調(diào)頻斜率。

觀察掃頻信號的頻譜發(fā)現(xiàn)它不是傳統(tǒng)意義上的稀疏信號，沒有特定的稀疏域。因此通過構(gòu)造過完備原子庫的方法，選取與原信號最為匹配的原子。在不進(jìn)行信號重構(gòu)的情況下對其中心頻率與調(diào)頻斜率進(jìn)行估計，其原子庫的構(gòu)造為

式中：φr為原子庫Φ中的原子；Ns是冗余原子庫的原子個數(shù)；fp、kq是線性調(diào)頻信號的中心頻率參量和調(diào)頻斜率的參量。

2.2.3 噪聲調(diào)頻信號

噪聲調(diào)頻信號的模型為

式中：ωj為噪聲調(diào)頻信號的中心頻率；KFM為調(diào)頻斜率。

噪聲調(diào)頻信號在構(gòu)建稀疏基時也要采用過完備原子庫的方法，同時采用模擬信息轉(zhuǎn)換器（Analog to Information Converter，AIC）架構(gòu)對信號進(jìn)行測量，進(jìn)而得到測量值，并且應(yīng)用正交匹配追蹤的方法對信號在不重構(gòu)的情況下進(jìn)行頻率估計。噪聲調(diào)頻信號的原子庫φ中的原子為

2.3 壓縮感知重構(gòu)算法

最后，可以利用壓縮感知重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)干擾信號關(guān)鍵參數(shù)的估計。重構(gòu)算法可以采用匹配追蹤類的算法、方向追蹤類的算法和凸優(yōu)化算法等，其中匹配追蹤類的算法包括匹配追蹤（Matching Pursuit，MP）、正交匹配追蹤（OMP）、稀疏自適應(yīng)匹配追蹤（SParse AdaPtive MP，SAMP），方向追蹤類的算法包括梯度追蹤（Gradient Pursuit，GP）、共軛梯度追蹤（Conjugate GP，CGP）算法，凸優(yōu)化算法類包括基追蹤法（Basis Pursuit，BP）算法等[7]。

3 仿真分析

3.1 功能仿真

實(shí)驗(yàn)1 選取多音信號的參數(shù)f1＝50 MHz，A1＝0.2，f2＝100 MHz，A2＝0.5，f3＝150 MHz，A3＝0.8，選取原始采樣頻率fs＝2 000 MHz；數(shù)據(jù)長度N＝1 000。采用兩種稀疏表示方法：一是以N＝1 000構(gòu)建傅里葉正交基；二是以1～1 000 MHz為搜索范圍，以1 MHz為搜索步長構(gòu)造一個具有1 000個原子的原子庫。選取M＝100。

采用正交傅里葉矩陣作為稀疏基，信號在稀疏基內(nèi)投影有6個峰值，而采用構(gòu)造原子庫方法，信號在稀疏基上投影有3個峰值，如圖1所示。計算得到采用正交基時重構(gòu)誤差為0.021 7，采用原子庫時重構(gòu)誤差為0.037 9。在MATLAB上仿真時明顯發(fā)現(xiàn)第一種方法運(yùn)算長，計算量大，優(yōu)勢是計算較準(zhǔn)確。

圖1 采用過完備字典下的信號原子庫投影Fig.1 The Projection of signal to atom librarY

實(shí)驗(yàn)2 線性調(diào)頻（Linear FrequencY Modula_ tion，LFM）信號的采樣頻率fs＝1 024 Hz，長度N＝256，f0＝400 Hz，k0＝300。過完備原子庫{φr}的構(gòu)造：先對fp從320～470 Hz以每10 Hz為一步進(jìn)行搜索，再對kq從220～370以10為步長進(jìn)行搜索，因此原子庫的模型中的原子共有256個。經(jīng)過壓縮感知處理，仿真得到不加入白噪聲時信號在原子庫上的投影只有一個峰值，見圖2，與依據(jù)r＝q＋16×（p-1）計算所得到峰值位置r＝137一致。

圖2 線性調(diào)頻信號在原子庫上的投影Fig.2 The Projection of the LFM signals to atom librarY

實(shí)驗(yàn)3 選用ωj＝400 Hz、KFM＝300的噪聲調(diào)頻信號，采樣頻率fs＝1 024 Hz，長度N＝256，M＝64，過完備字典對ωp以320～470 Hz為范圍，以10 Hz為步長進(jìn)行搜索，對kq從220～370以步長為10進(jìn)行搜索，原子庫中的原子數(shù)為256，其中r＝q＋16×（p-1）。經(jīng)過壓縮感知處理，仿真得到不加入白噪聲時信號在原子庫上的投影只有一個峰值，與依據(jù)r＝q＋16×（p-1）計算所得到峰值位置r＝137相一致。因此，采用壓縮感知的方法對噪聲調(diào)頻信號進(jìn)行信號估計是可行的。

3.2 性能仿真

現(xiàn)實(shí)中的干擾信號往往混雜著噪聲，同時信號的頻率參數(shù)往往比較復(fù)雜，因此如何建立合適的原子庫，如何在有噪聲情況下估計信號就顯得尤為重要了。下面主要針對線性調(diào)頻信號在不同的信噪比（Signal-to-noise Ratio，SNR）條件下、不同的原子步長選取以及不同測量值數(shù)目下重構(gòu)效果進(jìn)行比較分析。

3.2.1 信噪比對重構(gòu)效果的影響

圖3是加入1 dB信噪比高斯白噪聲時的投影情況，對比圖2和圖3發(fā)現(xiàn)，信號在原子庫中最大投影的位置并沒有發(fā)生改變，但出現(xiàn)其他峰值，當(dāng)信噪比為1 dB最大峰值還是很突出。

圖3 加入SNR＝1 dB的高斯白噪聲時信號的投影Fig.3 The Projection of the signal With noise of 1 dB SNR to atom librarY

為評估不同信噪比的高斯白噪聲對重構(gòu)的影響，選信噪比-6～6 dB中若干值，分別做100次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確率統(tǒng)計如表1所示。

表1 不同信噪比時頻率成功估計的概率Tab.1 ProbabilitY of successful estimation versus SNRs

如表1所示，當(dāng)選取信噪比為-6 dB時，頻率估計的成功概率僅為79%，但隨著信噪比的增加，信號頻率成功估計的概率可以達(dá)到100%。

3.2.2 原子庫原子步長與信號參數(shù)的關(guān)系

對于噪聲調(diào)頻信號，中心頻率的真實(shí)值為34 kHz，斜率的真實(shí)值為2×104，假設(shè)中心頻率搜索步長為10 kHz，范圍是0～1.25 MHz，斜率搜索步長為1×104，范圍是0～1×105，那么正確的原子位置應(yīng)該是r＝126×（3-1）＋3＝255和r＝126×（3-1）＋4＝256之間，略偏向于255，當(dāng)選取適當(dāng)?shù)臏y量值數(shù)目時，實(shí)際重構(gòu)得到位置255的概率為55.4%，位置256的概率為40.8%，還有不到4%的概率是其他隨機(jī)位置。這是由于壓縮感知的恢復(fù)算法的特性本身決定的。后面會對測量值個數(shù)的影響作解釋。

3.2.3 測量值的數(shù)目對重構(gòu)效果影響

數(shù)據(jù)的長度N＝256，測量值的數(shù)目M從20～100變化時，每個M值都做20次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)，重構(gòu)信號在原子庫中正確位置出現(xiàn)和在正確位置相鄰位置出現(xiàn)的次數(shù)如表2所示，驗(yàn)證了在一定的范圍內(nèi)，測量值數(shù)目越大，重構(gòu)的精確度與成功率越高。因此，測量值的選取能達(dá)到需要的精確度和成功率即可。這些為選取測量值的數(shù)目和正確看待重構(gòu)的結(jié)果提供了理論依據(jù)。

表2 重構(gòu)信號在原子庫中投影正確位置出現(xiàn)次數(shù)與測量數(shù)目的關(guān)系Tab.2 RelationshiP betWeen the times of reconstructed Projection lYing at correct and adjacent atom Positions and measuring number

4 窄帶干擾的多級原子庫估計方法

4.1 多級原子庫估計

由3.2節(jié)仿真可知，當(dāng)線性調(diào)頻信號的中心頻率等參數(shù)恰好處于兩個原子庫參數(shù)之間時，重構(gòu)峰值以一定的概率分別出現(xiàn)在相鄰兩個原子，出現(xiàn)概率的大小與距離兩個原子的相對距離有一定關(guān)系。本文利用這個特點(diǎn)，提出采用多級的搜索方式進(jìn)行頻譜估計的新方法。

第一次搜索原子的搜索分辨率較為粗糙，比如以10 kHz為單位進(jìn)行搜索；第二次搜索分辨率較小，以1 kHz為單位進(jìn)行搜索。一般對于GPS干擾來說，1 kHz的精確度已經(jīng)足夠了。利用估計的中心頻率與調(diào)頻斜率參數(shù)可以得到較為精確的干擾頻率估計，從而采取相應(yīng)的抗干擾方法進(jìn)一步處理。

下面對多級原子庫估計方法與傳統(tǒng)傅里葉變換估計方法的計算量進(jìn)行對比分析。后者的步驟為：首先用傅里葉變換獲得信號的頻譜；然后用自適應(yīng)門限法估計超過門限的譜線；最后用置零法[1]、廣義延拓法、外推法[4]，或者設(shè)計FIR濾波器的參數(shù)將相關(guān)頻帶濾除的方法。設(shè)計濾波器的方法較為適合具有一定寬度的譜帶，而連續(xù)線性調(diào)頻波和噪聲調(diào)頻波的頻帶較窄，僅在個別頻點(diǎn)存在較大值，用置零法和延拓法較為合適。

4.2 計算量分析

傅里葉變換估計方法采用奈奎斯特采樣率，采樣率fs至少大于2倍信號帶寬，fs＞1.023 MHz×2，在T＝1 ms如果有N＝1×10-3fs個采樣點(diǎn)，延拓后做N點(diǎn)快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）需要N2次復(fù)數(shù)乘法和N（N-1）次復(fù)數(shù)加法。當(dāng)拓展為次方運(yùn)算的時候，采用時間抽選基2 FFT算法運(yùn)算，復(fù)數(shù)乘法次數(shù)復(fù)數(shù)加法的次數(shù)。

采用壓縮感知多級原子庫估計方法進(jìn)行捕獲，恢復(fù)算法可以用壓縮感知重構(gòu)算法，如MP、OMP、CoSaMP等。壓縮感知理論能夠通過求解x＝Φz＋ω的逆問題求解出信號的稀疏度為p的稀疏解z，Φ的維數(shù)為N×Ns。

采用OMP算法進(jìn)行稀疏解重構(gòu)的過程需要的計算量為分步驟進(jìn)行核算，其中計算最大匹配列的計算量為C1＝Ns（ N＋1-i），J1＝0，求偽逆和解方程的計算量為C2＝（i2＋i） N＋O（i3），J2＝（i2＋i）（N-1）＋O（i3），計算每次迭代后殘差值計算量C3＝i?N， J3＝（i-1） N，其中i是迭代次數(shù)，迭代次數(shù)取2p，i＝1，2，3，…，2p。

由于乘法計算量相對加法計算量大很多，核算各次迭代后總的復(fù)數(shù)乘法的次數(shù)為C1＋C2＋…＋C2p＜（2K＋1） NN1/2。對于GPS系統(tǒng)的干擾范圍來說，選取一級搜索原子分辨率為10 kHz，那么Ns＜125，可選擇N＝c?p lb（Ns/p）≈11c，c為某常數(shù)，假設(shè)p≈2。二級搜索原子分辨率為1 kHz，第二次搜索原子庫中原子的數(shù)目Ns′＜10，二級搜索后可達(dá)到與傅里葉估計方法一樣的分辨率。

那么，兩級搜索總的復(fù)數(shù)乘法計算量為（2p＋1） N（ Ns＋Ns′）/2，經(jīng)計算后得到的計算量是遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傅里葉的復(fù)數(shù)計算量的。因此，利用本文提出的壓縮感知多級原子庫搜索方法達(dá)到了極大減小計算量的目標(biāo)。

4.3 效果分析

假設(shè)GPS中頻頻率為2.05 MHz，干擾信號是中心頻率是1.5 MHz的單音干擾，干信比為-17 dB，利用本文提出的二級原子庫搜索方法用較小的計算量得到了干擾頻率的信息。圖4為未經(jīng)處理的干擾信號功率譜，經(jīng)過設(shè)計濾波器進(jìn)行濾波后得到抗干擾后的效果如圖5所示，可見干擾處理后的情況好很多。

圖4 未經(jīng)處理的干擾信號功率譜Fig.4 The PoWer sPectrum before anti-interference Processing

圖5 抗干擾處理后的信號功率譜Fig.5 The PoWer sPectrum after anti-interference Processing

如果是線性調(diào)頻信號或者噪聲調(diào)頻信號，可以在參數(shù)較為精確的估計后，采用置零或延拓法解決，效果與上面情況差不多。不過，用本文頻率估計方法的采樣率和計算量遠(yuǎn)小于采用頻域變換估計方法。

5 結(jié)束語

本文對比了采用傅里葉基和自建原子庫兩種稀疏表示的情況下，采用壓縮感知的方法對3種窄帶干擾信號進(jìn)行頻率估計的情況。經(jīng)仿真研究得到：信號的信噪比越高，估計效果越好；在一定的范圍內(nèi)，測量值數(shù)目越大，估計的精確度與成功率越高，逐漸趨于100%；原子庫步長越小，估計的準(zhǔn)確率越高，而且得到當(dāng)步長分辨率大于信號精度時，匹配原子位置出現(xiàn)在真實(shí)位置的相鄰位置，出現(xiàn)概率滿足一定關(guān)系。基于此提出壓縮感知二級原子庫GPS窄帶干擾頻率估計方法不同于以往的單級原子庫估計方法。本文提出的GPS窄帶干擾估計法相對于傅里葉干擾估計法，能夠以遠(yuǎn)小于奈奎斯特頻率的采樣率和較少的計算量估計窄帶干擾信號頻點(diǎn)位置，繼而可以采用頻率內(nèi)插、濾波方法對GPS信號做干擾抑制處理。仿真驗(yàn)證了其能得到較好的抗干擾效果。接下來將根據(jù)需要對更加復(fù)雜的干擾的原子庫構(gòu)建方法做進(jìn)一步的研究。

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姚彥鑫（1982—），女，河北人，2009年獲博士學(xué)位，現(xiàn)為副教授，主要從事GNSS和節(jié)能網(wǎng)絡(luò)的研究。

YAO Yanxin Was born in Hebei Province，in 1982.She received the Ph.D.degree in 2009.She is noW an associate Professor.Her re_ search concerns GNSS and green communication netWork.

Email：Yanxin_buaa@126.com

Multiple Category Estimation for GPS Narrow-band Interference Based on Compressed Sensing

YAO Yanxin
（School of Information and Communication Engineering，Beijing Information Science＆TechnologY UniversitY，Beijing 100010，China）

The frequencY domain transformation for detecting interference frequencY and the frequencY in_ terPolation or extended extraPolation algorithm for suPPressing the interference are used in conventional Global Positioning SYstem（GPS）narroW-band interference suPPression methods.In order to relieve the Pressure of high samPling rate and comPutation load caused bY frequencY domain transformation in the nar_ roW band interference frequencY detection，a novel narroW-band inference frequencY detection method is ProPosed utilizing multiPle categorY atom dictionarY construction comPressed sensing.The methods for fre_ quencY detection based on comPressed sensing are studied in the sPare rePresentation stYles of Fourier transformation basis and atom dictionarY，resPectivelY.For the atom dictionarY comPressed sensing method，the effect of narroW-band interference frequencY detection versus various signal-to-noise ratios（SNRs），various search resolutions and various numbers of measurements are studied using the Monte Carlo simula_ tion methods.The correctness of the aPProach ProPosed has been validated bY simulations，and the conclu_ sion is derived from theoretical analYsis that the ProPosed aPProach reduces sharPlY the measurement and comPutation cost，offering theoretical basis for the realistic interference aPPlication.

global navigation satellite sYstem；narroW-band interference；comPressed sensing；frequencY detection；atom dictionarY

The National Natural Science Foundation of China（No.61302073，61471021）

TN975

A

1001-893X（2016）01-0001-06

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.01.001

姚彥鑫.GPS窄帶干擾的壓縮感知多級原子庫估計[J].電訊技術(shù)，2016，56（1）：1-6.[YAO Yanxin.MultiPle categorY estimation for GPS narroW-band interference based on comPressed sensing[J].Telecommunication Engineering，2016，56（1）：1-6.]

2015-07-23；

2015-10-22 Received date：2015-07-23；Revised date：2015-10-22

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61302073，61471021）

**通信作者：Yanxin_buaa@126.com Corresponding author：Yanxin_buaa@126.com