多目標(biāo)函數(shù)預(yù)抗差估計(jì)

李 驍 高宗和 龔成明 王 毅 鄒德虎

（國(guó)家電網(wǎng)電力科學(xué)研究院，南京 211106）

多目標(biāo)函數(shù)預(yù)抗差估計(jì)

李 驍 高宗和 龔成明 王 毅 鄒德虎

（國(guó)家電網(wǎng)電力科學(xué)研究院，南京 211106）

對(duì)于電力系統(tǒng)中出現(xiàn)在杠桿量測(cè)上的不良數(shù)據(jù)，傳統(tǒng)含不良數(shù)據(jù)辨識(shí)的最小二乘法狀態(tài)估計(jì)不能很好排除不良數(shù)據(jù)對(duì)系統(tǒng)估計(jì)結(jié)果的影響。本文提出了多目標(biāo)函數(shù)預(yù)抗差狀態(tài)估計(jì)，利用可變窗寬算法平衡了指數(shù)目標(biāo)函數(shù)狀態(tài)估計(jì)的精度與速度矛盾，同時(shí)利用加權(quán)最小二乘估計(jì)與之相結(jié)合，在不同的迭代周期中使用不同的目標(biāo)函數(shù)，使得估計(jì)既可以具有結(jié)構(gòu)抗差估計(jì)的優(yōu)秀抗差性能，又使得估計(jì)具有最小二乘法相對(duì)優(yōu)秀的收斂性，避免了迭代震蕩浪費(fèi)計(jì)算資源的情況。將本文所提方法與傳統(tǒng)算法進(jìn)行比較，結(jié)果表明本文所提出的算法在性能上具有明顯優(yōu)勢(shì)。

電力系統(tǒng)；狀態(tài)估計(jì)；多目標(biāo)函數(shù)預(yù)抗差；迭代變權(quán)法；抗差估計(jì)

電力系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)利用實(shí)時(shí)量測(cè)系統(tǒng)的冗余度來(lái)提高數(shù)據(jù)精度，自動(dòng)排除隨機(jī)干擾所引起的錯(cuò)誤信息，估計(jì)或預(yù)報(bào)系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)[1-2]。其計(jì)算性能和精度直接決定高級(jí)應(yīng)用軟件的計(jì)算可靠性。

具有不良數(shù)據(jù)辨識(shí)環(huán)節(jié)的加權(quán)最小二乘估計(jì)（residual-neutralized weighted least square，RnWLS）是目前狀態(tài)估計(jì)中應(yīng)用最為廣泛的主流方法，優(yōu)點(diǎn)是模型簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，對(duì)理想的正態(tài)分布的量測(cè)量，估計(jì)具有最優(yōu)性且無(wú)偏等優(yōu)良統(tǒng)計(jì)特性?；贛估計(jì)的抗差估計(jì)具有一定的抗差性，在估計(jì)過程中可以無(wú)需額外計(jì)算自動(dòng)排除不良數(shù)據(jù)；但是其無(wú)法有效應(yīng)對(duì)不良杠桿量測(cè)對(duì)估計(jì)結(jié)果的負(fù)面影響［3-6］。為了解決這一問題，文獻(xiàn)[7-9]提出了指數(shù)型目標(biāo)函數(shù)抗差估計(jì)方法，由于量測(cè)殘差靈敏度矩陣的對(duì)角元在殘差較大時(shí)均不為零，因此具有良好的結(jié)構(gòu)抗差性能，但其估計(jì)精度和收斂性取決于窗寬參數(shù)，并且相互矛盾，在高精度要求下可能出現(xiàn)迭代震蕩的情況。

本文提出了多目標(biāo)函數(shù)預(yù)抗差（multi objective function pre-treatment，MOFP）狀態(tài)估計(jì)方法，應(yīng)用自適應(yīng)可變窗寬的指數(shù)目標(biāo)函數(shù)狀態(tài)估計(jì)和多目標(biāo)函數(shù)預(yù)抗差估計(jì)，在不同的迭代周期中使用不同的目標(biāo)函數(shù)，使得估計(jì)既可以具有結(jié)構(gòu)抗差估計(jì)的優(yōu)秀抗差性能，又使得估計(jì)具有最小二乘法相對(duì)優(yōu)秀的收斂性，避免了迭代震蕩浪費(fèi)計(jì)算資源的情況。

1 可變窗寬指數(shù)型目標(biāo)函數(shù)狀態(tài)估計(jì)

指數(shù)型目標(biāo)函數(shù)（maximum exponential square，MES）電力系統(tǒng)抗差估計(jì)的模型可以表示為[7]

式中，x為系統(tǒng)狀態(tài)變量；wi為量測(cè)權(quán)重，m為量測(cè)數(shù)，為量測(cè)函數(shù)，即用狀態(tài)變量計(jì)算出的量測(cè)值，Zi為量測(cè)的量測(cè)值；h為模型中暫未給出的窗寬。由于其殘差靈敏度矩陣在殘差較大時(shí)不為0，對(duì)于杠桿量測(cè)中出現(xiàn)的不良數(shù)據(jù)具有較好的抵抗能力[7-10]。

指數(shù)目標(biāo)函數(shù)狀態(tài)估計(jì)中，窗寬的選擇直接關(guān)系到整個(gè)估計(jì)的計(jì)算速度與精度。當(dāng)窗寬選擇較大時(shí)，目標(biāo)函數(shù)較為平緩，收斂速度慢，結(jié)果精度也較低，但是不容易出現(xiàn)局部最優(yōu)解；當(dāng)窗寬選擇較小時(shí)，目標(biāo)函數(shù)較為尖銳，在每個(gè)波峰附近收斂速度明顯較快，但是在較小的峰處容易陷入局部最優(yōu)解。因此對(duì)于估計(jì)而言，估計(jì)的迭代收斂速度和估計(jì)的結(jié)果精度、迭代收斂性這兩方面是相互矛盾的。

為解決這一窗寬選擇問題，使用均方誤差（mean squraerd error，MSE）或風(fēng)險(xiǎn)（risk）來(lái)衡量估計(jì)的性能[11-14]。其計(jì)算公式如下：

對(duì)風(fēng)險(xiǎn)作關(guān)于h的微分，并且在其為0時(shí)，對(duì)于我們選定的高斯核函數(shù)，若假設(shè)真實(shí)分布光滑[18]，則可以計(jì)算出：

使用每步迭代才殘差 r的均方根來(lái)近似樣本標(biāo)準(zhǔn)差：

由于在多目標(biāo)函數(shù)預(yù)抗差中，指數(shù)目標(biāo)函數(shù)估計(jì)主要作為初期預(yù)抗差環(huán)節(jié)，并考慮迭代近似時(shí)的誤差所需的余量，在迭代過程中，在h*后面乘以一個(gè)大于1的關(guān)于迭代次數(shù)it的漸減修正函數(shù)以保證迭代的最初階段不會(huì)落入局部最優(yōu)點(diǎn)附近：

2 基于指數(shù)目標(biāo)函數(shù)的多目標(biāo)函數(shù)預(yù)抗差估計(jì)

可變窗寬指數(shù)型目標(biāo)函數(shù)狀態(tài)估計(jì)盡管在一定程度上解決了指數(shù)目標(biāo)函數(shù)窗寬選擇困難的問題，但是在計(jì)算中仍然在少數(shù)情況，比如所有量測(cè)都極為準(zhǔn)確而殘差極小的狀態(tài)下出現(xiàn)迭代震蕩而無(wú)法收斂的情況。但是經(jīng)過對(duì)數(shù)據(jù)的研究，常見發(fā)現(xiàn)開始迭代震蕩時(shí)經(jīng)過的迭代次數(shù)并不多，杠桿量測(cè)上的不良數(shù)據(jù)已經(jīng)得到消除，而僅僅在少數(shù)數(shù)值處發(fā)生小幅度震蕩。此時(shí)繼續(xù)進(jìn)行同樣的迭代不僅僅浪費(fèi)計(jì)算資源，而且也無(wú)法獲得更加精確的結(jié)果。

多目標(biāo)函數(shù)預(yù)抗差算法基于迭代變權(quán)法，將最小二乘估計(jì)和可變窗寬指數(shù)狀態(tài)估計(jì)相結(jié)合，以期待獲得良好抗差性能的同時(shí)，簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，避免迭代震蕩。其估計(jì)過程中通過迭代變權(quán)法，在不同的迭代周期中使用不同的目標(biāo)函數(shù)，從而獲得多種狀態(tài)估計(jì)目標(biāo)函數(shù)具有的優(yōu)點(diǎn)并回避其可能的缺點(diǎn)。首先通過可變窗寬指數(shù)目標(biāo)函數(shù)狀態(tài)估計(jì)來(lái)消除包括杠桿量測(cè)上的不良?xì)埐?，并使用加?quán)最小二乘法來(lái)保證迭代的收斂性。其基本算法為：

1）在初次迭代時(shí)，采用普通最小二乘狀態(tài)估計(jì)，獲得可變窗寬指數(shù)型目標(biāo)函數(shù)估計(jì)求取窗寬所需的殘差量。

2）隨后以可變窗寬指數(shù)型目標(biāo)函數(shù)狀態(tài)估計(jì)進(jìn)行至多4次的抗差估計(jì)迭代，排除包括杠桿量測(cè)上的不良數(shù)據(jù)。

3）若可變窗寬指數(shù)型目標(biāo)函數(shù)狀態(tài)估計(jì)迭代過程中收斂，則終止迭代，否則進(jìn)行最大標(biāo)準(zhǔn)化殘差檢測(cè)并消除殘差，繼續(xù)使用最小二乘狀態(tài)估計(jì)迭代至收斂。

由于在迭代變權(quán)法中，可變窗寬指數(shù)型目標(biāo)函數(shù)狀態(tài)估計(jì)與加權(quán)最小二乘狀態(tài)估計(jì)目標(biāo)函數(shù)的差異反映在權(quán)重計(jì)算環(huán)節(jié)，因此僅需要在權(quán)重計(jì)算環(huán)節(jié)判定迭代次數(shù)從而更改權(quán)重計(jì)算公式，實(shí)現(xiàn)較為方便。算法流程圖如圖1所示。

圖1 MOFP狀態(tài)估計(jì)算法流程圖

3 算例分析

為了評(píng)估本文所提出的多目標(biāo)函數(shù)預(yù)抗差估計(jì)的性能，對(duì)于以IEEE-30和IEEE-118標(biāo)準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)為基礎(chǔ)搭建的完全量測(cè)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)試，并使用江蘇電網(wǎng)1098節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)斷面數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。每個(gè)量測(cè)使用潮流計(jì)算真值加上量測(cè)誤差來(lái)模擬。量測(cè)誤差em可以表示為如下形式：

式中，Vt是量測(cè)值真值；Vf是滿刻度值；am是與量測(cè)值有關(guān)的誤差系數(shù)；bm是與滿刻度值有關(guān)的誤差系數(shù)，N（0，1）為符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的白噪聲。

對(duì)基于IEEE-30的模擬系統(tǒng)，對(duì)于所有量測(cè)均在精準(zhǔn)值上增加誤差1em的誤差模擬正常量測(cè)誤差，在顯示出強(qiáng)杠桿性的 27-28節(jié)點(diǎn)線路末端有功量測(cè)上增加15em的極大誤差來(lái)模擬不良數(shù)據(jù)，驗(yàn)證算法在多不良數(shù)據(jù)下的性能。其不良杠桿量測(cè)的狀態(tài)估計(jì)結(jié)果見表1。WLS算法的誤差為量測(cè)值的123%，而多目標(biāo)函數(shù)預(yù)抗差估計(jì)對(duì)此此量測(cè)估計(jì)誤差僅僅為21%，可以認(rèn)為多目標(biāo)函數(shù)預(yù)抗差估計(jì)對(duì)于杠桿量測(cè)上不良數(shù)據(jù)的具有遠(yuǎn)超 WLS的較強(qiáng)的抵御效果，顯示出了非常好的性能。

表1 WLS狀態(tài)估計(jì)和MOFP狀態(tài)估計(jì)對(duì)IEEE-30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)不良數(shù)據(jù)的估計(jì)結(jié)果比較

對(duì)于基于IEEE-118節(jié)點(diǎn)，量測(cè)數(shù)達(dá)到1098個(gè)的模擬系統(tǒng)，對(duì)于所有量測(cè)均在精準(zhǔn)值上增加誤差1em的誤差模擬正常量測(cè)誤差，在杠桿性較強(qiáng)的183支路末端無(wú)功潮流量測(cè)上增加15em的明顯誤差。其對(duì)比數(shù)據(jù)任然顯示出多目標(biāo)函數(shù)預(yù)抗差估計(jì)在較多節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)下的同樣有較好抗差能力。

表2 WLS狀態(tài)估計(jì)和MOFP狀態(tài)估計(jì)對(duì)IEEE-118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)不良數(shù)據(jù)的估計(jì)結(jié)果比較

RnWLS和MOFP估計(jì)在算例中的總體評(píng)價(jià)指標(biāo)見表 3。MOFP估計(jì)算法的電壓幅值偏離距離、電壓相角偏離距離、最大標(biāo)準(zhǔn)化誤差、誤差目標(biāo)函數(shù)、誤差均方根值這四項(xiàng)狀態(tài)估計(jì)評(píng)估指標(biāo) MOFP均比 RnWLS有明顯的領(lǐng)先，計(jì)算時(shí)間則由于迭代次數(shù)略高于 WLS估計(jì)，但仍然在可以接受的范圍內(nèi)。

對(duì)于一個(gè)總體量測(cè)十分精確的系統(tǒng)，僅僅采用變窗寬指數(shù)目標(biāo)函數(shù)狀態(tài)估計(jì)時(shí)，因窗寬依賴于殘差同樣較小，易發(fā)生在精確結(jié)果附近震蕩的情況。而多目標(biāo)函數(shù)預(yù)抗差估計(jì)則能夠避免這樣的收斂性問題。以江蘇電網(wǎng)1098節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，對(duì)于所有量測(cè)均在精準(zhǔn)值上增加誤差 0.1em的誤差模擬量測(cè)精確的情況，并在三號(hào)線路首端有功潮流量測(cè)上增加15em的不良數(shù)據(jù)誤差。由于此量測(cè)并非杠桿量測(cè)，RnWLS算法在此算例上表現(xiàn)符合預(yù)期。單純的可變窗寬指數(shù)目標(biāo)函數(shù)估計(jì)法此時(shí)迭代次數(shù)較多，消耗大量的時(shí)間，而多目標(biāo)函數(shù)預(yù)抗差估計(jì)則在保證迭代精度的情況下完成了快速收斂，節(jié)約了大量時(shí)間。

以上算例表明MOFP不僅僅具有較高的抗差性能，同時(shí)其額外計(jì)算量控制較好，具有工程實(shí)用性。

表3 WLS和MOFP狀態(tài)估計(jì)對(duì)IEEE-30和118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的估計(jì)結(jié)果比較

表4 RnWLS、MES和MOFP狀態(tài)估計(jì)對(duì)JS-1098節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的估計(jì)結(jié)果比較

4 結(jié)論

本文提出了多目標(biāo)函數(shù)預(yù)抗差狀態(tài)估計(jì)方法，首先使用可變窗寬算法改進(jìn)指數(shù)目標(biāo)函數(shù)狀態(tài)估計(jì)，使之能夠自適應(yīng)系統(tǒng)，額外計(jì)算量小，同時(shí)能夠有效排除各類不良數(shù)據(jù)對(duì)系統(tǒng)估計(jì)結(jié)果的影響；同時(shí)又結(jié)合了傳統(tǒng)的加權(quán)最小二乘法易收斂，計(jì)算量相對(duì)較小的特點(diǎn)，避免了各類指數(shù)目標(biāo)函數(shù)狀態(tài)估計(jì)都容易出現(xiàn)的收斂性問題，使得狀態(tài)估計(jì)程序整體能在可以接受的時(shí)間內(nèi)得出較為準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果，避免了之前多種狀態(tài)估計(jì)算法難以在估計(jì)時(shí)間與估計(jì)精度中做出平衡的問題，算例分析也證明了此算法具有進(jìn)一步發(fā)展與進(jìn)行工程實(shí)踐的空間。

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Multi Objective Function Pre-treatment Robust State Estimation

Li Xiao Gao Zonghe Gong Chengming Wang Yi Zou Dehu
(State Grid Electric Power Research Institute, Nanjing 211106)

Traditional weighted least square state estimation method with bad data identification progress cannot eliminate the influence of bad leverage data on the result of estimation.The multi objective function pre-treatment robust state estimation was proposed.This estimation use variable window wide algorithm choose the best parameter for maximum exponential square object function , and combined weighted least square estimation to get advantages of both estimator.It was robust and had good convergence.The result of estimation of test systems proved the proposed algorithm have obvious better performance.

power system; state estimation; multi objective function pre-treatment; variable weight iterate; robust estimation

李 驍（1990-），男，國(guó)家電網(wǎng)電力科學(xué)研究院在讀碩士研究生，研究方向?yàn)殡娏ο禒顟B(tài)估計(jì)。