幾何直觀教學(xué)的有效運(yùn)用

吳福清（永定區(qū)湖雷中心小學(xué)，福建永定364100）

幾何直觀教學(xué)的有效運(yùn)用

吳福清
（永定區(qū)湖雷中心小學(xué)，福建永定364100）

加強(qiáng)幾何直觀，是幾何教學(xué)改革的方向。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀還可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，借助“幾何直觀”讓學(xué)生學(xué)會(huì)“聆聽”，讓學(xué)生懂得“靈活”，讓學(xué)生學(xué)得“簡(jiǎn)捷”，使數(shù)學(xué)教學(xué)精彩紛呈。

幾何直觀；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助幾何直觀教學(xué)，不僅能幫助學(xué)生理解、分析及發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系，而且能使課堂教學(xué)活潑起來，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，誘發(fā)對(duì)知識(shí)的進(jìn)一步理解與運(yùn)用。

一、借助“幾何直觀”，學(xué)生學(xué)會(huì)“聯(lián)系”

化抽象為形象，化未知為已知等是幾何直觀的強(qiáng)項(xiàng)，也是教師教學(xué)中常常涉及和滲透的。教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)遇到困難時(shí)，我們常常會(huì)這樣提醒：“畫個(gè)圖來看看。”這是讓學(xué)生把“文字信息”通過畫一畫轉(zhuǎn)化為“圖形信息”，從而以直觀形象的方式進(jìn)行思考與分析，借助已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，找到解決問題的思路。這就是學(xué)習(xí)中的“通”——打通知識(shí)之間的聯(lián)系，找到未知和已知的通道，并把新知識(shí)轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)。這樣的“聯(lián)系”就是一種合力。

以教學(xué)人教版五年級(jí)下冊(cè)《分?jǐn)?shù)的加法和減法（三）》為例，“一杯純牛奶，樂樂喝了半杯后，覺得有些涼，就兌滿了熱水。他又喝了半杯，就出去玩了。樂樂一共喝了多少杯純牛奶？多少杯水？”這是學(xué)生在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”和“分?jǐn)?shù)的加法和減法”后，又一次在計(jì)算解決問題中加深對(duì)分?jǐn)?shù)的理解和掌握。從數(shù)學(xué)信息來看，兩次中的半杯，主要是“平均分”的問題，第一次喝了半杯純牛奶，學(xué)生能用“分?jǐn)?shù)的意義”，“平均分”來分析，得出第一次喝了杯純牛奶，關(guān)鍵是兌滿了熱水。他又喝了半杯，第二次喝了多少杯純牛奶？多少杯水？學(xué)生在只學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”和“分?jǐn)?shù)的加法和減法”，而沒有學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的乘法和除法”時(shí)，半杯的一半，即÷2。再用“分?jǐn)?shù)的意義”和“平均分”來解決這個(gè)問題，結(jié)果又是多少呢？對(duì)于這個(gè)問題，借助幾何直觀可以簡(jiǎn)單地完成，即可做到“把復(fù)雜數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)單、形象”（如下圖）

杯的一半是__杯。第二次喝的純牛奶是__杯。水是__杯。

首先，正如前面所說，面對(duì)此問題，學(xué)生已具有“分?jǐn)?shù)的意義”“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”和“平均分”的相關(guān)知識(shí)，這是“通”的基礎(chǔ)。其次，數(shù)學(xué)信息的表達(dá)與1÷2的數(shù)學(xué)信息高度類似，不同的是一杯的一半可以根據(jù)“分?jǐn)?shù)的意義”中分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，得出1÷2=（杯），而杯的一半再用“分?jǐn)?shù)的意義”“平均分”，得出÷2=？（杯）。按五年級(jí)學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)即還沒有學(xué)過分?jǐn)?shù)的除法，他們暫時(shí)還不會(huì)解決。再次，思考方向上所采取的方法與“分?jǐn)?shù)的意義”相同，先把一杯純牛奶平均分成2份取1份，即杯；再把杯純牛奶平均分成2份，實(shí)際上是把一杯純牛奶平均分成4份，取其中的1份，即杯。此二者，就是“通”的條件。因此學(xué)生通過畫圖，化“文字信息”為“圖形信息”，從而解決問題。

這樣，借助幾何直觀，可以使學(xué)生深刻地感受到數(shù)學(xué)知識(shí)間“變中不變”的密切聯(lián)系。這種聯(lián)系的眼光和思維將對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生深刻的影響，從而不孤立、靜止地看待數(shù)學(xué)問題。

二、借助“幾何直觀”，學(xué)生懂得“靈活”

模仿與理解，是學(xué)生學(xué)習(xí)的兩種不同層級(jí)?！?1世紀(jì)核心素養(yǎng)”分為三大類，其中一類是“職業(yè)和生活技能”，包括“靈活性與適應(yīng)能力”。靈活，意味著不僅要學(xué)會(huì)，而且要會(huì)活學(xué)活用，能根據(jù)實(shí)際情況變化而變化，不墨守成規(guī)。正如《易經(jīng)》所說的“窮則變，變則通，通則達(dá)”。這是學(xué)生素養(yǎng)中很重要的東西“變通”——因勢(shì)而變、舉一反三。

如教學(xué)人教版五年級(jí)上冊(cè)《多邊形的面積》后，課本中有一題練習(xí)如下：靠墻邊圍成一個(gè)花壇，圍花壇的籬笆長(zhǎng)46m，求這個(gè)花壇的面積。學(xué)生遭遇這個(gè)問題時(shí)，常常會(huì)感到無從下手。其困惑的地方有：條件不充分。既然要求梯形的面積，為什么沒有按常理提供充分的條件，如梯形的上底、下底和高，而沒有梯形的上底和下底這兩個(gè)條件，梯形的面積還能求嗎？不知道梯形的上底和下底這兩個(gè)條件，梯形的面積還怎么求？條件不充分，就成了解決這一問題的“攔路虎”。學(xué)生只是學(xué)會(huì)了如何模仿地運(yùn)用計(jì)算公式，并沒有真正靈活地運(yùn)用計(jì)算公式。簡(jiǎn)而言之，學(xué)生只是“學(xué)會(huì)”但并不能“變通”，不懂得“活用”。這時(shí)，幾何直觀可以充分發(fā)揮效力，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)。

如上圖，把它圍成一個(gè)梯形花壇。學(xué)生通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，靠墻的這邊不圍，梯形的高是20m，因此可知，剩下的就是梯形的上底、下底之和。這時(shí)，學(xué)生便豁然開朗，這個(gè)梯形的面積=（46-20）×20÷2=260（平方米）。學(xué)生解答本題，并不需要“按常規(guī)”“走老路”，而是直接從“梯形的上底、下底之和與高”入手。

這樣借助幾何直觀，可以讓學(xué)生以更靈活、更獨(dú)到的角度來思考、分析、解決問題。經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過程，“靈活”的學(xué)、“變通”的用，從而逐步養(yǎng)成“不唯書、不唯上”（陳云同志所說）的理性精神和創(chuàng)新意識(shí)。這樣，在面對(duì)未來社會(huì)的挑戰(zhàn)時(shí)，學(xué)生不會(huì)一心只在“舊書舊紙”中尋求答案。而會(huì)因時(shí)、因地、因事、因勢(shì)而變，從而更好、更有效地解決問題。

三、借助“幾何直觀”，學(xué)生學(xué)得“簡(jiǎn)捷”

“簡(jiǎn)捷”，即簡(jiǎn)單、快捷。簡(jiǎn)單，數(shù)學(xué)理性的抽象美。一個(gè)人、一個(gè)蘋果、一匹馬、一塊蛋糕、一些物體等都可以用自然數(shù)“1”來表示；加法交換律可以用“a+b= b+a”表示；乘法交換律可以用ab=ba表示；300∶500可以寫成3∶5這樣更為簡(jiǎn)單的表達(dá)。從這些簡(jiǎn)單的表達(dá)中可以看出，追求表達(dá)上的簡(jiǎn)單已經(jīng)成為數(shù)學(xué)存在的一種常態(tài)。當(dāng)然，除了表現(xiàn)為有條理的特征，“簡(jiǎn)捷”還表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思維的“直接化”的直覺常態(tài)。這就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“通”：直通數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)核，產(chǎn)生對(duì)問題的直覺認(rèn)識(shí)和把握。

人教版五年級(jí)下冊(cè)《長(zhǎng)方體和正方體的表面積》中有這樣一例：把5個(gè)棱長(zhǎng)為2cm的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，表面積減少了多少平方厘米？照一般的想法，本題常見的解法有：由已知可知，5個(gè)棱長(zhǎng)為2cm的正方體，拼成的是一個(gè)長(zhǎng)方體，表面積減少了多少平方厘米？所以可列式為①：2×2×6×5－［（2×5×2+2×5×2+2× 2）×2］=32（c㎡）；或②：2×2×6×5－（2×5×2×4+2×2× 2）=32（c㎡）。然而，如果采用幾何直觀的方式，學(xué)生更能探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。

如上圖，通過對(duì)圖形的觀察，我們能直接發(fā)現(xiàn)，表面積減少的面積=2×2×8=32（c㎡）。怎么想到的呢？因?yàn)槊?個(gè)正方體拼在一起就減少2個(gè)面，5個(gè)正方體拼在一起就減少8個(gè)面，所以直接列式2×2×8=32（c㎡）。這樣的思維方式，不再局限于數(shù)學(xué)信息中呈現(xiàn)的長(zhǎng)方體和正方體的表面積怎樣求，而是直接根據(jù)圖形信息，從一個(gè)面入手，少了幾個(gè)面就乘以幾。這無疑是用三年級(jí)的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解決了五年級(jí)的數(shù)學(xué)問題。

這樣借助幾何直觀，學(xué)生思維的“簡(jiǎn)捷”便能得到有效的培養(yǎng)。正如瑞士的數(shù)學(xué)家歐拉通過畫圖完成了關(guān)于“七橋問題”（此題被人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第十二冊(cè)義務(wù)教育教科書教科書收編）的解答一樣，“簡(jiǎn)化”已成為數(shù)學(xué)的一種精神，“解決問題的第一步，是盡量把問題簡(jiǎn)化，使得容易抓住問題的要點(diǎn)”。

總之，幾何直觀不僅是一種手段、一種方法，在日常教學(xué)中，我們不僅要經(jīng)常提醒學(xué)生“畫一畫”，更應(yīng)該讓學(xué)生明白其背后蘊(yùn)含著的知識(shí)間的聯(lián)系。借助幾何直觀把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象。這樣才能讓幾何直觀的教學(xué)精彩紛呈。

［1］教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］數(shù)學(xué)課程研究所.2013年教育部審定義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》1—6年級(jí)［M］.北京：人民教育出版社，2014.

（責(zé)任編輯：陳志華）