哲學(xué)視野下小學(xué)數(shù)學(xué)多元表征變式教學(xué)構(gòu)建及其實(shí)證研究

李 靜

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哲學(xué)視野下小學(xué)數(shù)學(xué)多元表征變式教學(xué)構(gòu)建及其實(shí)證研究

李 靜

（廊坊師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北廊坊 065000）

多元表征是西方倡導(dǎo)的教與學(xué)方式，變式教學(xué)是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)方式．小學(xué)數(shù)學(xué)多元表征與變式教學(xué)整合哲學(xué)基礎(chǔ)是多元主義與本質(zhì)主義的融合．實(shí)驗(yàn)研究表明，采用“小學(xué)數(shù)學(xué)多元表征變式教學(xué)”策略與措施，利于學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知能力和解決實(shí)際問題能力的發(fā)展．

小學(xué)數(shù)學(xué)；多元表征；變式教學(xué)；實(shí)驗(yàn)研究

數(shù)學(xué)教學(xué)模式或策略的發(fā)展，同任何事物的發(fā)展一樣，是繼承與改革的發(fā)展過程．變式教學(xué)是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的特色，已形成教師的日常規(guī)范教學(xué)[1]．利用西方倡導(dǎo)的多元表征，發(fā)展中國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)變式教學(xué)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力．以小學(xué)數(shù)學(xué)為例，探討小學(xué)數(shù)學(xué)多元表征變式教學(xué)的哲學(xué)理論基礎(chǔ)與具體實(shí)踐操作，并分析和實(shí)證其合理性和科學(xué)性．

1 小學(xué)數(shù)學(xué)多元表征變式教學(xué)的理論基礎(chǔ)

1.1 多元表征中的多元主義詮釋

表征是被表征對象的一個(gè)替代．?dāng)?shù)學(xué)表征是數(shù)學(xué)理解的一部分，又是數(shù)學(xué)理解工具（Ball, D. L, 1993）[2]．美國NCTM在2000年《學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與原則》中指出：“不同表征（情景表征、圖表表征、言語表征和符號表征等）將導(dǎo)致不同思維方式（NCTM, 2000）”[3]，它建議學(xué)生不僅學(xué)會在問題解決過程中選擇、使用與轉(zhuǎn)化多種數(shù)學(xué)表征，而且能夠在多種表征之間建立廣泛聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識發(fā)展[4]．為了學(xué)生多角度理解，許多學(xué)者都建議，在課程教材編寫時(shí)應(yīng)該提供多元表征（Keller & Hirsch, 1998）[5]．由此可見，多元表征數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種傾向于多元主義學(xué)習(xí)．

知識學(xué)習(xí)，需要對材料進(jìn)行信息解碼和編碼，以此獲得豐富多樣的信息．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，采用文字、數(shù)字、背景、圖象、操作和符號等多元表征，實(shí)現(xiàn)了由具體直觀到一般抽象、再由一般抽象到思維具體的數(shù)學(xué)歷程．表征外在形式是多種多樣的，但表征內(nèi)在實(shí)質(zhì)是相近或相同的．每個(gè)學(xué)習(xí)者的表征外在形式是不一樣的，這取決于每個(gè)學(xué)習(xí)者長期形成的認(rèn)知風(fēng)格，有人偏愛直觀思考，有人偏向抽象演繹，等等．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，學(xué)習(xí)者基于不同經(jīng)驗(yàn)知識背景[6]，作用于學(xué)習(xí)材料，選擇符合自己的表征方式來呈現(xiàn)材料，由此獲得基于自我體驗(yàn)的材料意義，提高了學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)思考能力[7]．基于多元表征的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者認(rèn)知方式多元化，尊重每個(gè)學(xué)習(xí)者的背景和經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化學(xué)習(xí)共同體的多向交流，強(qiáng)調(diào)對知識的多元化理解，允許學(xué)生不恰當(dāng)理解，表達(dá)對材料信息的不同認(rèn)識和態(tài)度，關(guān)注學(xué)習(xí)過程的獨(dú)特感受，這充分體現(xiàn)了多元主義學(xué)習(xí)觀點(diǎn)．但這種多元主義學(xué)習(xí)，有可能過度地消解結(jié)構(gòu)本質(zhì)內(nèi)容學(xué)習(xí)．

1.2 變式教學(xué)中的本質(zhì)主義剖析

顧明遠(yuǎn)[8]指出，變式教學(xué)是在教學(xué)中使學(xué)生確切掌握概念的重要手段之一，即在教學(xué)中用不同形式的直觀材料或事例闡明事物的本質(zhì)屬性，從而對一事物形成科學(xué)概念．顧泠沅等[9]指出，中國數(shù)學(xué)教師的變式教學(xué)，可以促進(jìn)數(shù)學(xué)概念掌握，也可以促進(jìn)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)增長，提高學(xué)生思維品質(zhì)．由此可見，變式教學(xué)是一種傾向于本質(zhì)主義學(xué)習(xí)．

變式教學(xué)在基本知識和基本技能學(xué)習(xí)方面，有著獨(dú)特的功能價(jià)值，是一種典型本質(zhì)主義教學(xué)．在數(shù)學(xué)變式教學(xué)過程中，為了利用概念的非本質(zhì)特征的變式來突顯概念本質(zhì)特征，可以通過改變一些能混淆概念外延的屬性或改變概念外延來獲得對所學(xué)概念本質(zhì)的多角度理解．例如，用直觀或具體變式引入學(xué)習(xí)方程概念，用非標(biāo)準(zhǔn)其它形式突顯方程概念的本質(zhì)屬性，用“舉反例”糾正方程概念的不正確理解，等等．還可以通過數(shù)學(xué)活動操作，對問題涉及到條件和結(jié)論等的有層次變式，得到解決問題表征和策略，形成概念的層次理解．例如，教師在“問題變式”中設(shè)置程序化方程概念模型來促進(jìn)方程概念形成，鋪墊層次化問題串來形成方程解題策略方法，采用一題多變（解）或多題一解等設(shè)計(jì)幫助學(xué)生獲得方程問題解決的基本經(jīng)驗(yàn)．從中可以看出，變式教學(xué)時(shí)，事前設(shè)定了知識本質(zhì)，教學(xué)只不過圍繞“本質(zhì)”內(nèi)核所進(jìn)行的“削皮”活動，將本質(zhì)還原為不同要素來學(xué)習(xí)識別，至于學(xué)生個(gè)性和差異不是主要的，獲得結(jié)果本質(zhì)成為教學(xué)主要目的，這充分體現(xiàn)了本質(zhì)主義學(xué)習(xí)觀點(diǎn)．但這種本質(zhì)主義學(xué)習(xí)，運(yùn)用不當(dāng)，會限制學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維發(fā)展，會對素質(zhì)教育產(chǎn)生相當(dāng)大的消極影響．

可見，作為多元主義傾向的多元表征，需要本質(zhì)主義的導(dǎo)引；作為本質(zhì)主義傾向的變式教學(xué)，也需要多元主義的支撐．本質(zhì)主義學(xué)習(xí)觀與多元主義學(xué)習(xí)觀的融合，是一種新型生成主義取向，是數(shù)學(xué)形式化與非形式化統(tǒng)一的實(shí)現(xiàn)[10]．所以說，多元表征與變式教學(xué)整合有其合理性．對于小學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容圖文并茂的特點(diǎn)，以及小學(xué)生具體直觀形象思維特點(diǎn)，多元表征變式教學(xué)的價(jià)值和意義更大．

2 小學(xué)數(shù)學(xué)多元表征變式教學(xué)的操作模型

2.1 數(shù)學(xué)概念多元表征的變式

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)追求一個(gè)豐富的概念圖式，便于理解和應(yīng)用．而對概念涉及到的多元表征進(jìn)行變式后，就可以很容易達(dá)到學(xué)習(xí)概念的目的，如下所示．

如1/2的理解，變式其線段表征、面積表征、集合表征、言語表征和運(yùn)算表征等：如，

①線段表征變式：

②面積表征變式：

③集合表征變式：

④運(yùn)算表征變式：

A、1個(gè)梨分給2個(gè)人，可以用1÷2表示（二分之一）

B、小明有3元，小兵有6元，小明是小兵的幾倍？表示為3∶6=1/2

C、一個(gè)餅分給3個(gè)人，每個(gè)人吃1/2

（注：每一個(gè)表征的變式中，前兩個(gè)是肯定變式，后一個(gè)是否定變式．）

教師引導(dǎo)學(xué)生對1/2不同表征進(jìn)行變式，形成抽象本質(zhì)的認(rèn)識，從概念內(nèi)涵上啟發(fā)學(xué)生對1/2意義思考．這樣的概念理解，從深度上為概念鞏固找到了捷徑，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力[11]．

2.2 問題解決多元表征的變式

問題解決需要對問題背景以及問題意義進(jìn)行分析，運(yùn)用以往解題模式策略，尋找出解題思路，并做好解題總結(jié)回顧．這個(gè)過程實(shí)質(zhì)上就是形成問題圖式．而利用多元表征及其變式，可以從多角度出發(fā)，把握問題本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)解決問題的突破，問題學(xué)習(xí)達(dá)到一個(gè)新的層次，如下所示，

如，小學(xué)數(shù)學(xué)課本（人教版）《有關(guān)正比例實(shí)際問題解決》教學(xué)構(gòu)想．

（1）問題．

汽車行駛的路程和時(shí)間如下．

時(shí)間/時(shí)123456 路程/km80160240320400480

①寫出幾組路程和相對應(yīng)時(shí)間的比，并比較比值大?。f一說這個(gè)比值表示什么．

②表中的時(shí)間和路程成正比例嗎？為什么？

③畫出坐標(biāo)圖，并在圖中描出表示路程和相對應(yīng)時(shí)間的點(diǎn)，然后把它們按順序連結(jié)起來．并估計(jì)一下行駛120 km大約要用多少小時(shí)．

（2）問題教學(xué)構(gòu)想．

本問題解決目的應(yīng)是：以正比例符號表征=(≠0)理解為核心，聯(lián)系正比例圖表或圖象表征、數(shù)字表征，在各自表征相互轉(zhuǎn)化中，形成了正比例函數(shù)的概念圖式，由此解決實(shí)際問題．培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的策略．

教學(xué)過程：主要是各種表征之間的“轉(zhuǎn)化”．即：表格表征——數(shù)字表征（路程與時(shí)間之比）——符號表征（=）——圖象表征（直線）．

引導(dǎo)學(xué)生活動：

①數(shù)字表征變式：

變式1：

變式2：

變式3：

②表格表征變式：

變式1：表格中前3列時(shí)間和路程同時(shí)擴(kuò)大1倍后，出現(xiàn)原表格中對應(yīng)數(shù)據(jù)，如下表．

時(shí)間/時(shí)246 路程/km160320480

變式2：因此，原表格同樣可以縮小一半．

時(shí)間/時(shí)0.511.522.53 路程/km4080120160200240

圍繞正比例關(guān)系模式，在不同的表征及其變式中加以體現(xiàn)應(yīng)用，一方面加深理解正比例函數(shù)的各種表征意義，體會各種表征之間的轉(zhuǎn)化，另一方面形成了相關(guān)類型問題的解題思路和方法，感受了數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題中多元表征及其變式的作用，體會了數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的聯(lián)系．

運(yùn)用該教學(xué)思想進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)或教學(xué)時(shí)須注意，第一，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)思考，每個(gè)知識內(nèi)容都有一個(gè)“核心概念”或“一般算法”，作為學(xué)習(xí)目標(biāo)，進(jìn)行非形式化的“復(fù)歸”——多元表征，這是為了更好地把握本質(zhì)東西——概念或算法．第二，把握課程標(biāo)準(zhǔn)定位，對概念或問題進(jìn)行多元表征及其變式時(shí)，注意其范圍和水平，以此確定建構(gòu)的廣度和深度．第三，分析教材內(nèi)容特征，對于準(zhǔn)備學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在教材上，是傾向于事例敘述型，還是言語描述型，抑或?qū)嵨飯D形呈現(xiàn)，教師要糾偏歸全，形成便于學(xué)生學(xué)習(xí)的豐富多元表征．第四，了解學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)，不同學(xué)段的小學(xué)生喜歡不同類型表征，以此進(jìn)行適宜表征，來變式教學(xué)，教師可以從多元表征中讀懂學(xué)生學(xué)習(xí)心理過程，及時(shí)改善教學(xué)．第五，開展課堂活動教學(xué)，對一個(gè)概念原型或問題進(jìn)行多元表征及其變式，以此為課堂小組活動的“玩具”，吸引學(xué)生思考數(shù)學(xué)，創(chuàng)新屬于自己的數(shù)學(xué)，達(dá)到對“數(shù)量關(guān)系和空間形式”的深層次理解[12]，可以有效達(dá)到新課改要求的數(shù)學(xué)教學(xué)活動水平，由此提高了學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知成績和解決實(shí)際問題的能力．

3 小學(xué)數(shù)學(xué)多元表征變式教學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究

3.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c假設(shè)

針對小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)，有意識地采取“小學(xué)數(shù)學(xué)多元表征變式教學(xué)”策略及措施，進(jìn)而提高學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知成績和解決實(shí)際問題能力，以實(shí)證該教學(xué)的科學(xué)性．

3.2 實(shí)驗(yàn)方法與過程

（1）被試選擇．實(shí)驗(yàn)選擇了廊坊市一所重點(diǎn)校的兩個(gè)教學(xué)班，五年級二班為實(shí)驗(yàn)班，五年級三班為控制班．

（2）實(shí)驗(yàn)類型．采用的是不等控制組前、后測準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)．

（3）自變量．“小學(xué)數(shù)學(xué)多元表征變式教學(xué)”的策略及具體措施．

（4）因變量．學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力和創(chuàng)新能力的發(fā)展，體現(xiàn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知成績和解決實(shí)際問題能力的提高．

（5）對無關(guān)變量的控制．實(shí)驗(yàn)班與控制班均由同一數(shù)學(xué)教師任教；為避免“霍桑效應(yīng)”的影響，不告知實(shí)驗(yàn)班學(xué)生有關(guān)實(shí)驗(yàn)情況；為保證測試題質(zhì)量，對測試題進(jìn)行了信度和效度檢驗(yàn)[13]．

（6）前測與后測．2013年8月對實(shí)驗(yàn)班與控制班進(jìn)行了數(shù)學(xué)認(rèn)知水平和解決實(shí)際問題能力的測試，以便了解兩班的原有水平．通過近一個(gè)學(xué)期的試驗(yàn)，2014年1月對兩班進(jìn)行了后測，以便與前測進(jìn)行比較，驗(yàn)證教學(xué)實(shí)驗(yàn)的效果．

3.3 實(shí)驗(yàn)策略與措施

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，結(jié)合課程學(xué)習(xí)目標(biāo)，聯(lián)系學(xué)生的實(shí)際水平，針對教學(xué)內(nèi)容，在不同的教學(xué)階段采用不同的表征及其變式，保證學(xué)生由此學(xué)會多元表征及其變式，以利于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．

第一，關(guān)于“數(shù)學(xué)知識引入”．

數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)引入，要借助于新舊知識之間聯(lián)系的材料，多采用言語表征與符號表征相結(jié)合等方式，用言語表征喚起學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)，并用符號表征復(fù)習(xí)有關(guān)知識內(nèi)容，以問題變式啟發(fā)學(xué)生思考，引出所學(xué)課題，并激發(fā)小學(xué)生學(xué)習(xí)動機(jī)．

對于概念學(xué)習(xí)引入時(shí)，在教師的多元表征及其變式導(dǎo)引下，學(xué)生學(xué)習(xí)了概念的多元表征后，形成了概念的抽象認(rèn)識，為深入理解打下基礎(chǔ)．教師通過具體的實(shí)例引入數(shù)學(xué)概念及其蘊(yùn)含的思想方法，還要了解學(xué)生學(xué)習(xí)這些思想方法會感到哪些不適，還要針對數(shù)學(xué)概念內(nèi)含的基本要素，將內(nèi)容分解成若干梯度的步子，使得學(xué)生在教師設(shè)置的有啟發(fā)的場景中，積極思考，識別概念例子，體會數(shù)學(xué)思想，復(fù)演人類產(chǎn)生這個(gè)數(shù)學(xué)概念的簡縮過程[14]，生動活潑地探究數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵．教師還需注意，在數(shù)學(xué)概念不同階段選用相應(yīng)的實(shí)物、言語、圖例、符號等表征，促動學(xué)生對這些表征間的轉(zhuǎn)換，以培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性．

同樣，在數(shù)學(xué)技能引入學(xué)習(xí)時(shí)，明確技能訓(xùn)練目標(biāo)，尤其是了解訓(xùn)練操作中的思想方法以及操作表征．教師盡量將操作任務(wù)化成問題或問題變式，引起興趣，促動學(xué)生運(yùn)用已學(xué)過的知識方法表征這一操作，進(jìn)而讓學(xué)生用言語表征敘述操作中的內(nèi)涵，要為操作規(guī)則內(nèi)化而進(jìn)行操作變式．

第二，關(guān)于“數(shù)學(xué)知識理解”．

數(shù)學(xué)知識理解，對于知識廣度理解應(yīng)采用言辭表征、直觀表征（操作、實(shí)物和圖示）等概念性變式，對于知識深度理解采用具體表征到抽象表征的問題性變式，最后形成學(xué)生的符號表征．

對于概念學(xué)習(xí)理解時(shí)，通過鋪設(shè)一定的臺階，探究有關(guān)概念的外延與內(nèi)涵的各種概念變式和非概念變式，并對概念意義進(jìn)行多元表征，做到概念的多角度辨析與概括，構(gòu)建概念的符號表征體系，明確所學(xué)概念與相關(guān)概念實(shí)質(zhì)聯(lián)系，內(nèi)化數(shù)學(xué)概念，靈活應(yīng)用概念．此階段的變式類型要適量，不要增加學(xué)生認(rèn)知加工負(fù)荷，但也要考慮學(xué)生實(shí)際水平．設(shè)置多元表征的問題性變式盡量豐富，有利于學(xué)生從中探究概念符號表征的各種類型，進(jìn)而全息理解概念的實(shí)質(zhì)．

需要注意的是，問題情境引出的多元表征及其變式不易過多．只要能夠突出模型特征，表征類型3~4個(gè)就可以了．所用的變式也要控制，以免增加學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷．多元表征變式只是一個(gè)引領(lǐng)方向，一旦打開后，學(xué)生思維處于發(fā)散和聚合中，外顯活動變成內(nèi)在思考，其目的也就達(dá)到了．

同樣，在數(shù)學(xué)技能理解學(xué)習(xí)時(shí)，技能的理解到熟練，先通過問題的解答，學(xué)會技能的一般步驟，明白技能的每步依據(jù)和算理，并會用語言敘述技能的步驟，然后通過一定量的變式練習(xí)，直到技能操作自動化．需要注意的是，在技能理解訓(xùn)練中，程序性技能知識需要變式練習(xí)，更需要算法思想或操作規(guī)程的指導(dǎo)．

第三，關(guān)于“數(shù)學(xué)知識應(yīng)用”．

數(shù)學(xué)知識應(yīng)用，要注意符號表征間的關(guān)系，明確新舊內(nèi)容之間結(jié)構(gòu)聯(lián)系，使得學(xué)生將知識內(nèi)容的心理表征，即所形成的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)模式，應(yīng)用于具體問題中．利用所學(xué)的多元表征方式方法探究問題空間，能從問題直觀表征概括出抽象表征，得到問題解決的恰當(dāng)表征與策略，最后利用符號表達(dá)出解答過程．

對于數(shù)學(xué)概念應(yīng)用時(shí)，一方面，利用概念來判斷有關(guān)事物的類別和屬性，培養(yǎng)學(xué)生判斷分析能力，并形成數(shù)學(xué)概念的觀念性認(rèn)識，納入相關(guān)概念體系，了解此概念在概念系中的地位和作用．另一方面，讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念分析解決相關(guān)的問題，使得學(xué)生在理解題意的過程中，識別數(shù)學(xué)概念應(yīng)用的結(jié)構(gòu)模式，即將數(shù)學(xué)概念符號表征作為操作對象來加工思考，由此發(fā)現(xiàn)問題解決的策略模式．教師設(shè)置問題串變式，要由簡單到復(fù)雜，有層次性和挑戰(zhàn)性，讓學(xué)生在訓(xùn)練中，體會概念的性質(zhì)，了解過程操作的思想方法．變式探究要有利于學(xué)生尋求問題抽象模式表征，而不是形式上的操作，使得學(xué)生在多元表征探究問題解決的過程中，發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造適宜于自己的解題表征和策略．

對于數(shù)學(xué)問題解決，其目的是為了理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力．解題時(shí)，學(xué)會識別問題類型，激活相關(guān)的記憶．在教師問題變式或?qū)W生嘗試表征過程中，師生共同尋找問題解決的線索，找到問題解決的表征和策略，形成了問題解決的模型．為此，教師要利用變式問題來發(fā)散學(xué)生的思維，促動學(xué)生提出問題．鼓勵學(xué)生利用不同的表征，言語表征或圖表表征或符號表征，表征問題的結(jié)構(gòu)，形成大的問題空間，在表征轉(zhuǎn)化上協(xié)調(diào)和調(diào)整最佳表征，完成問題解決的策略優(yōu)選．最后，對所用的策略和表征進(jìn)行反思，感受數(shù)學(xué)思想方法的作用，總結(jié)數(shù)學(xué)問題解決的經(jīng)驗(yàn)，形成牢固的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

此外，數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)總結(jié)時(shí)，教師啟發(fā)學(xué)生反思課程所涉及的知識技能，以及操作練習(xí)過程中的方法策略性知識，加深學(xué)生對知識間的聯(lián)系和觀念的體悟，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)思想方法的抽象表征認(rèn)識．對于學(xué)生獲得的解決問題經(jīng)驗(yàn)，需要學(xué)生反思和拓展，并發(fā)展其創(chuàng)新思維．教師布置與當(dāng)堂課類似問題讓學(xué)生對問題進(jìn)行結(jié)構(gòu)上的變式，或補(bǔ)充條件變更結(jié)論，或改變一些條件，或考慮構(gòu)成該問題的有關(guān)元素關(guān)系，等等，鼓勵學(xué)生表征式分析思考“問題變式，滿足什么條件，才有解？”，以此發(fā)散學(xué)生數(shù)學(xué)思維構(gòu)造能力，訓(xùn)練學(xué)生的思維品質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的元思維．

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

數(shù)學(xué)認(rèn)知成績及解決實(shí)際問題能力測試成績統(tǒng)計(jì)及分析（表1—4）．

表1 數(shù)學(xué)認(rèn)知成績前測統(tǒng)計(jì)表

表2 解決實(shí)際問題能力前測統(tǒng)計(jì)表

表3 數(shù)學(xué)認(rèn)知成績后測統(tǒng)計(jì)表

表4 解決實(shí)際問題能力后測統(tǒng)計(jì)表

由以上表中的數(shù)據(jù)可知：

（1）實(shí)驗(yàn)班數(shù)學(xué)認(rèn)知成績顯著提高．由表1知，實(shí)驗(yàn)班與控制班的數(shù)學(xué)認(rèn)知前測平均成績無顯著差異，所以，認(rèn)為兩班的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是相同的，而經(jīng)過一個(gè)學(xué)期的教學(xué)實(shí)驗(yàn)后，由表3可以看出，兩班成績開始拉開了距離，實(shí)驗(yàn)班的數(shù)學(xué)認(rèn)知成績明顯高于控制班成績，而且達(dá)到顯著性水平．再從表1和表3的標(biāo)準(zhǔn)差變化不大來看，說明實(shí)驗(yàn)班的全體學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知成績有了整體提高．可見，在實(shí)驗(yàn)中所采取的教學(xué)策略與措施，加速了學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識發(fā)展，產(chǎn)生了好的教學(xué)效果．

（2）實(shí)驗(yàn)班解決實(shí)際問題的能力顯著提高．由表2可以看出，實(shí)驗(yàn)前，實(shí)驗(yàn)班與控制班解決實(shí)際問題的能力也基本相同．由表4可知，在實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，實(shí)驗(yàn)班解決實(shí)際問題的能力高于控制班，二者差異達(dá)到顯著水平，這說明通過“小學(xué)數(shù)學(xué)多元表征變式教學(xué)”的策略和措施，豐富了學(xué)生的問題表征及其解題策略，提高他們解決實(shí)際問題的能力，即學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力和創(chuàng)新能力得到了很大程度的發(fā)展．但再從表2和表4的標(biāo)準(zhǔn)差變化較大來看，個(gè)別學(xué)困生的問題解決成績提高速度不夠理想，需要在數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練方面加強(qiáng)個(gè)別輔導(dǎo)．

［參考文獻(xiàn)］

[1] 張奠宙．中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)[M]．上海：上海教育出版社，2009．

[2] Ball D L. Halves, and Twoths: Constructing and Using Representational Contexts in Teaching Fractions[A]. In: Carpenter T P, Fennema E, Romberg T A.[C]. NJ: Erlbaum, 1993.

[3] National Council Teachers of Mathematics. Principles and Standards for School Mathematics [Z]. Reston, Virginia: NCTM, 2000.

[4] 唐劍嵐．國外關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中多元外在表征的研究述評[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008，17（1）：30–34．

[5] Keller B A, Hirsch C R. Student Preferences for Representations of Functions. International [J]. Journal in Mathematics Education Science Technology, 1998, 29(1): 1-17.

[6] 黃翔，馬復(fù)，張春莉．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)與身心發(fā)展關(guān)系[J]．學(xué)科教育，2002，（11）：26．

[7] 王光明，刁穎，高效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理特征研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（5）：51-56．

[8] 顧明遠(yuǎn)．教育大辭典[M]．上海：上海教育出版社，1999．

[9] 鮑建生，黃榮金，易凌峰，等．變式教學(xué)研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2003，（1）：11．

[10] 曹一鳴，辛興云．從數(shù)學(xué)本質(zhì)解讀數(shù)學(xué)課程改革[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14（1）：42．

[11] 李靜．從中美小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的多元表征看數(shù)學(xué)教學(xué)[J]．比較教育研究，2013，（8）：83．

[12] 王新兵．關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的理解問題評述[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008，17（5）：94–97．

[13] 王光明．?dāng)?shù)學(xué)教育研究方法與論文寫作[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

[14] 黃秦安．我們應(yīng)該如何認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003，12（3）：37．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Construction and Empirical Analysis of Elementary Mathematics Instruction with Variation Based on Multi-Representations from a Philosophical Perspective

LI Jing

(Mathematics and Information, Langfang Teachers’ College, Hebei Langfang 065000, China)

Multi-representations is a method of teaching and learning advocated by the west. Instruction with variation is a method of traditional Chinese mathematics teaching. Integrating of elementary mathematics multi-representations and instruction with variation follows up the integration of pluralism with essentiality. Experiment study of elementary mathematics instruction with variation based on multi-representations shows that this teaching plays a role on cultivating students ability to mathematics thinking and to practical problem solving.

elementary mathematics; multi-representations; instruction with variation; experiment study

G40-02

A

1004–9894（2016）05–0045–04

2016–04–20

全國教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃教育部重點(diǎn)課題——基于多元表征學(xué)習(xí)的初中代數(shù)變式教學(xué)模式研究——“以學(xué)論教”改革實(shí)驗(yàn)（GOA107019）

李靜（1966—），男，河北張北人，教授，博士，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．