小學(xué)數(shù)學(xué)教師如何處理學(xué)生計(jì)算錯誤的研究——以兩位數(shù)乘兩位數(shù)為例

孫興華，馬云鵬

?

小學(xué)數(shù)學(xué)教師如何處理學(xué)生計(jì)算錯誤的研究——以兩位數(shù)乘兩位數(shù)為例

孫興華，馬云鵬

（東北師范大學(xué)教育學(xué)部，吉林長春 130024）

在計(jì)算教學(xué)中，學(xué)生會出現(xiàn)各種錯誤，這是每一個小學(xué)數(shù)學(xué)教師所要面對的，基于此，如何處理學(xué)生的計(jì)算錯誤就顯得尤為重要．研究關(guān)注小學(xué)數(shù)學(xué)職初教師與專家教師在處理學(xué)生計(jì)算錯誤過程中的表征異同，包括對學(xué)生計(jì)算錯誤的歸因，糾正學(xué)生計(jì)算錯誤的教學(xué)策略．最后比較分析兩類教師關(guān)于理解學(xué)生錯誤的知識．

計(jì)算錯誤；錯誤歸因；糾正策略

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，往往伴隨錯誤的產(chǎn)生，過去教師常認(rèn)為學(xué)生出錯是因不小心或誤解題意．但認(rèn)知心理學(xué)的興起，給研究者提供了新的視角，數(shù)學(xué)心理學(xué)的研究指出，學(xué)生在學(xué)習(xí)時會主動建構(gòu)所學(xué)習(xí)的材料，也會在建構(gòu)的過程中產(chǎn)生錯誤．很多教師認(rèn)為學(xué)生犯錯誤是日常教學(xué)中一件很平常的事情，殊不知越為人們習(xí)以為常的事情卻有獨(dú)特的研究價(jià)值[1]．自20世紀(jì)80年代以來，有關(guān)數(shù)學(xué)教育中學(xué)生錯誤研究的國際研討會已召開多屆，至今學(xué)生錯誤的研究依然是研究的熱點(diǎn)．錯誤在數(shù)學(xué)中和正確的答案一樣重要，有時候要有過之而無不及．錯誤幫助了數(shù)學(xué)的發(fā)展；錯誤幫助人們了解數(shù)學(xué)的來龍去脈；錯誤可作為診斷工具，讓人們能了解學(xué)生心理可能的想法，其錯誤并非漫無目的發(fā)生，而是有其理由[2]．學(xué)者研究也指出，對學(xué)生學(xué)習(xí)的錯誤性質(zhì)及類型分析，有助于教師進(jìn)行有效教學(xué)策略的設(shè)計(jì)，因而關(guān)于錯誤分析的研究是一個永恒的主題．

在計(jì)算教學(xué)中，學(xué)生會出現(xiàn)各種錯誤，這是每一個小學(xué)數(shù)學(xué)教師所要面對的，已有研究發(fā)現(xiàn)，教師十分重視學(xué)生的分?jǐn)?shù)，重視學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，從而導(dǎo)致教師對學(xué)生錯誤的認(rèn)知標(biāo)準(zhǔn)是看結(jié)果，而不是看過程[3]．基于此，探討小學(xué)數(shù)學(xué)教師如何處理學(xué)生的計(jì)算錯誤就顯得尤為重要．研究關(guān)注小學(xué)數(shù)學(xué)職初教師與專家教師在處理學(xué)生計(jì)算錯誤過程中的表征異同，包括對學(xué)生計(jì)算錯誤的歸因，糾正學(xué)生計(jì)算錯誤的教學(xué)策略．基于小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的實(shí)踐，收集兩類教師對特定內(nèi)容學(xué)生計(jì)算錯誤理解的資料，進(jìn)行質(zhì)的分析及討論，比較分析兩類教師關(guān)于理解學(xué)生錯誤的知識，為小學(xué)數(shù)學(xué)教師學(xué)科教學(xué)知識的發(fā)展提供思考的視角．

1 文獻(xiàn)探討

對學(xué)生錯誤的分析是教師重要的專業(yè)能力，這種能力對于教學(xué)起著很重要的作用．這是因?yàn)橛行У臄?shù)學(xué)教學(xué)要求教師了解學(xué)生知道什么以及需要學(xué)什么，然后促使并幫助他們學(xué)好，教師必須知道學(xué)生通常在理解上有困難的數(shù)學(xué)概念，并掌握如何幫助學(xué)生克服常見錯誤的方法[4]．Even & Tirosh （1995）的研究指出，教師不僅應(yīng)該有關(guān)于學(xué)生某種錯誤存在的知識，更應(yīng)該有關(guān)于這些錯誤為什么存在的知識[5]．也就是教師不僅知道“是什么”和“如何做”，而且還要理解學(xué)生“為什么”會這樣做．這說明，教師知識不僅包括對學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)理解，還包括對學(xué)生多種思維方式的理解．

Ball的研究團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)教學(xué)需要教師擁有大量的知識，但是這些知識又是從事其它職業(yè)的人員所不需要的，只有教師才需要，其中一項(xiàng)就是分析學(xué)生的數(shù)學(xué)錯誤的知識，她在研究中給出了一個計(jì)算的例子[6]，這個例子是關(guān)于整數(shù)退位減法的內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)中一個非常普遍的錯誤：307-168= 261，所有小學(xué)數(shù)學(xué)教師都能立刻指出學(xué)生算錯了，這種判斷并不需要專門的知識就完全可以做到，是其他任何人只要會計(jì)算就能知道261是錯誤答案．但是，從教學(xué)的角度來看，分析這個錯誤要比判斷一個錯誤的答案復(fù)雜得多．好的教學(xué)要求教師能在看到學(xué)生錯誤的一瞬間，就能分析出學(xué)生錯誤的原因，并能用適當(dāng)?shù)牟呗约右约m正．

馬立平以多位數(shù)乘法123×645為任務(wù)情境，比較分析了中美教師處理學(xué)生錯誤的異同[7]．研究發(fā)現(xiàn)兩國教師都認(rèn)為，學(xué)生在進(jìn)行多位數(shù)乘法時將中間步驟的乘積錯誤排列，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個問題，且這不是粗心引起的．教師對于該問題的認(rèn)識，與他們關(guān)于該內(nèi)容的數(shù)學(xué)學(xué)科知識相一致．大部分美國教師關(guān)于該內(nèi)容的知識理解是過程性的．相反，大部分中國教師表現(xiàn)出了概念性的理解．

綜上所述發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教師的工作具有一定的特質(zhì)，需要掌握其他職業(yè)所不需要的數(shù)學(xué)推理的知識．盡管數(shù)學(xué)家也常常分析錯誤，但他們大多是因?yàn)樽约旱难芯砍霈F(xiàn)了問題．所以，分析學(xué)生的數(shù)學(xué)錯誤和數(shù)學(xué)家所做的既有聯(lián)系又有區(qū)別．并且，因?yàn)檫@樣的錯誤常常發(fā)生在課堂，要求教師分析學(xué)生的錯誤必須迅速及時，而對數(shù)學(xué)家卻沒有這樣的要求．另外，上述幾位學(xué)者在研究中都運(yùn)用了教師專業(yè)知識的研究工具——假想數(shù)學(xué)任務(wù)情境，為研究在方法上提供了借鑒．

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 研究對象

研究的樣本包括專家教師與職初教師，兩類教師各選取60名，樣本的選擇標(biāo)準(zhǔn)如下：（1）專家教師選取特級教師、省級學(xué)科帶頭人、省級學(xué)科骨干教師．（2）職初教師選取教齡4年以下（含4年）的教師．

2.2 研究工具

研究工具是為教師出示數(shù)學(xué)任務(wù)情境，數(shù)學(xué)任務(wù)情境是評價(jià)教師知識常見的方法之一，用于評價(jià)教師知識的數(shù)學(xué)任務(wù)情境可以是書面的問題，也可以是口頭訪談的一部分．書面測試和訪談相結(jié)合的方法，可以幫助研究者深入了解教師知識的程度．

任務(wù)情境是兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，是整數(shù)乘法的核心內(nèi)容，從計(jì)算難度上來說，學(xué)生已學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘一位數(shù)，在寫積時如果有進(jìn)位，可以先在旁邊作寄存0的標(biāo)記，而計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)，求第二部分的乘積時由于沒處寄存0的標(biāo)記，從而加大了學(xué)生的思維難度，另外第二部分的乘積如何記錄到準(zhǔn)確位置也是一個難點(diǎn)．兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算是學(xué)生學(xué)習(xí)乘法的一個特殊階段，是一個質(zhì)變的過程，因?yàn)?，再往后無論乘數(shù)是三、四位數(shù)的乘法，都只是一個量變、類推的過程．乘法的計(jì)算策略跟加減法比起來略顯復(fù)雜，這是因?yàn)閷Τ朔ǘ?，?jì)算時要掌握將數(shù)字分成好幾個部分的彈性做法．這種分配性在乘法計(jì)算中是一個非常重要的概念，例如25×6，有的學(xué)生會把25分成20和5，將每個部分都乘6，再加起來得到答案，學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法時需要發(fā)展這樣的概念，才能把整數(shù)乘法做好．?dāng)?shù)學(xué)任務(wù)情境如下：

2.3 數(shù)據(jù)收集

研究采用質(zhì)的研究方法進(jìn)行數(shù)據(jù)收集．運(yùn)用Vygotsky的微衍生法（micro-genetic）的觀念[8]，分兩階段收集，第一階段收集學(xué)生錯例，到4所學(xué)校把學(xué)生學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)出現(xiàn)的錯誤收集上來，根據(jù)學(xué)生出現(xiàn)的錯誤選擇代表性的例子，整理出上述數(shù)學(xué)任務(wù)情境．第二階段讓被試教師書面回答假想任務(wù)情境的問題，同時運(yùn)用放聲思考法（think aloud）收集兩類教師的真實(shí)想法，詳細(xì)了解教師運(yùn)用怎樣的教學(xué)策略處理學(xué)生的錯誤．使用以上方法進(jìn)行數(shù)據(jù)的收集，力求此項(xiàng)研究能具備完整性及客觀性，并具有深度研究的特質(zhì)．

3 研究結(jié)果與分析

3.1 錯誤歸因

事實(shí)上，正確診斷出學(xué)生的問題所在，才更有利于選擇合適的表征幫助學(xué)生釋疑．在分析學(xué)生出現(xiàn)這樣錯誤的原因時，專家與職初教師都能給出相應(yīng)的錯因，整體看，給出的錯誤歸因包括兩類，一類是深層結(jié)構(gòu)錯因，另一類是表層結(jié)構(gòu)錯因．如圖1，顯示了專家教師解釋錯因更多的是深層結(jié)構(gòu)錯因，而職初教師解釋錯因更多的是表層結(jié)構(gòu)錯因．

圖1 專家與職初教師對錯因解釋的情況

3.1.1 深層結(jié)構(gòu)錯因

深層結(jié)構(gòu)錯因主要是指從具體題目涉及的數(shù)學(xué)本質(zhì)分析，這一任務(wù)主要是從位值和算理的角度討論計(jì)算的錯因．

（1）位值的理解．

在深層結(jié)構(gòu)錯誤的原因中，專家教師和職初教師都給出的一個因由是學(xué)生對位值理解還不夠．但從給出的解釋看，兩類教師對位值的含義理解是有所不同的．

①職初教師：強(qiáng)調(diào)位值中“位”的理解．

職初教師理解更多是如何數(shù)位對齊？強(qiáng)調(diào)記住計(jì)算的規(guī)則，是以過程為出發(fā)點(diǎn)對“位值”的理解，更側(cè)重于對位值的第一個字“位”的理解，將其理解為數(shù)字的位置，即職初教師其實(shí)更多是強(qiáng)調(diào)數(shù)位，比如老師給出如下典型解釋：

學(xué)生錯的主要原因是對位值制理解不夠，看見5，卻忽略了這是十位上的5，算出的結(jié)果130的0應(yīng)對齊十位來寫，哪一位與26相乘，積就應(yīng)寫在哪一位的下面，乘法計(jì)算時應(yīng)保證數(shù)位對齊．

像上面這樣職初教師的解釋更多的是關(guān)注數(shù)位，并沒有關(guān)注在這些數(shù)位上的數(shù)值，他們認(rèn)為學(xué)生只要能分清數(shù)位，就知道對齊這個數(shù)位寫結(jié)果數(shù)．認(rèn)為乘法計(jì)算應(yīng)按順序進(jìn)行數(shù)位對齊特別重要，訪談中他們也談到在實(shí)際教學(xué)時，都會幫助學(xué)生總結(jié)出這樣的算則：首先數(shù)位對齊，從個位乘起，用第二個因數(shù)個位上的數(shù)去乘第一個因數(shù)每一位上的數(shù)，再用第二個因數(shù)十位上的數(shù)去乘第一個因數(shù)每一位上的數(shù)，最后把兩次乘得的積相加，每次注意積的數(shù)位對齊．可以看出職初教師對計(jì)算中位值的理解更傾向于程序性的理解，這種程序的理解就是數(shù)位對齊，所以更強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生記順序，記位置，也就是只需要記住5×26對齊的是十位，至于為什么5×26要與十位對齊并沒關(guān)注．

②專家教師：強(qiáng)調(diào)位值中“值”的理解．

專家教師理解更多是為什么數(shù)位對齊？強(qiáng)調(diào)對位值概念本質(zhì)的理解，側(cè)重于位值中“值”的理解，即在數(shù)的計(jì)算中，每一個數(shù)字所在位置代表的“值”．比如老師給出的典型解釋如下：

26乘十位上的5，得到的是130個十，所以，130的0要對著十位寫，學(xué)生出錯是沒明白第二個因數(shù)中的5表示的是5個一，還是5個十，也就是沒明白豎式中的數(shù)位和數(shù)值之間的關(guān)系，所以應(yīng)強(qiáng)調(diào)每一個數(shù)字表示的數(shù)值是多少．表面看計(jì)算的是26×5，但5在十位上，得到的是130個“十”，所以要對齊十位來寫．

可以從上面專家教師的解釋中發(fā)現(xiàn)，專家教師在分析學(xué)生錯誤原因時更多是從位值概念的本質(zhì)理解去分析，為什么5×26的結(jié)果130要移位，而不是對齊個位來寫，在給出的理由中都強(qiáng)調(diào)“5”在十位上，表示的是5個十，5個十乘26得到的是130個十，因此應(yīng)對齊十位來寫結(jié)果數(shù)．在訪談中有56%的專家教師表示要想讓學(xué)生真正理解算理，前提必須先有位值的概念．專家教師“對一個數(shù)字在不同的位置代表什么”有著深刻理解，并認(rèn)為只有學(xué)生正確理解位值才能理解算理，掌握算法，因此教師本身對位值概念的理解會影響其教學(xué)的想法．

（2）算理的理解．

任務(wù)情境在訪談中重點(diǎn)關(guān)注了教師對多位數(shù)乘法算理的掌握，訪談的問題是：兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理是什么？專家教師和職初教師對算理理解的情況也表現(xiàn)出很大的不同．專家教師都能說清兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，主要是運(yùn)用概念與運(yùn)算律說明算理，概念是指運(yùn)用位值概念，運(yùn)算律是指運(yùn)用乘法分配律．職初教師很多教師表示不太清楚，即便給出解釋基本是把算理和算法混淆了．

①家教師：知其所以然．

60名專家教師中有48名教師對兩位數(shù)乘兩位數(shù)算理解釋利用位值概念，很多專家教師都用下面的直式與說明解釋了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理．

所有計(jì)算方法都和位值的理解有緊密關(guān)系，這些數(shù)感和計(jì)算方法不可能在沒有對位值明確理解下而發(fā)展．專家教師在用位值解釋這道題的算理時亦表達(dá)出這種觀點(diǎn)．John對于位值的理解提出了幾個觀點(diǎn)，其中與計(jì)算相關(guān)的有兩個方面[9]．

一個數(shù)的數(shù)字位置代表它所呈現(xiàn)的值——每個數(shù)字的位置都有不同的大小和名稱（例如87的“十位”數(shù)字是8，“個位”數(shù)字是7），這是位值計(jì)算主要的原理．

一、十、百所形成的群組，可以不一樣的方式呈現(xiàn)．例如，256可以是1個百、14個十與16個一．使用彈性的方式去做數(shù)的合成與分解，是計(jì)算時很重要的技巧．

可以看出專家教師在解釋時是通過位值的概念理解整數(shù)乘法的算則．他們認(rèn)為位值教學(xué)是隱含在數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)中，在教材中并不是獨(dú)立的學(xué)習(xí)內(nèi)容，但是在整數(shù)的認(rèn)識與運(yùn)算中都隱含了位值內(nèi)容在里面．因此教學(xué)中要通過理解運(yùn)算的算理強(qiáng)化位值概念．另外，他們也認(rèn)為數(shù)的認(rèn)識一直在強(qiáng)調(diào)位值，學(xué)生并不感到困難，因此在計(jì)算中用位值概念說明算理也有利于學(xué)生理解．

60名專家教師中只有14名利用乘法配律解釋了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，他們運(yùn)用下面兩種形式說明．

專家教師認(rèn)為這個乘法算式是將幾個計(jì)算步驟合在一起成為一個簡便的算式，因此在理解時可以拆分算再合起來，是一種“分割”策略，所有分割的策略都要依賴分配律的性質(zhì)．將數(shù)分割的方法也反映對十進(jìn)位概念的理解．對這種表達(dá)方法專家教師認(rèn)為，整數(shù)乘法既要強(qiáng)調(diào)位值，又要強(qiáng)調(diào)分配律．

在這里專家教師也談到26×50=1?300中最后一個0省略問題：他們認(rèn)為不管0出現(xiàn)在哪，只要出現(xiàn)在計(jì)算中，就容易產(chǎn)生特別的困難．學(xué)生也會常常納悶，為什么0可以省略？關(guān)于0在這里省略的想法，他們中有一半的教師認(rèn)為學(xué)生可以寫，學(xué)習(xí)熟練之后覺得麻煩就簡便寫．另一半教師認(rèn)為省略0在說明26乘5個十是130個十說明就可以，因?yàn)橥ㄟ^數(shù)位對齊這個0當(dāng)然可以省略．

②職初教師：不知其所以然．

60名職初教師中，只有7名教師對于兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理給出了正確的解釋，這7名教師之所以能給出正確的解釋是因?yàn)樗麄冏鲞^這節(jié)課觀摩教學(xué)，有專家教師幫助其備課，并且重點(diǎn)給他們說了如何幫助學(xué)生理解算理掌握算法，正因有過這種經(jīng)歷，他們的解釋正確．其余53名教師在表述上算理與算法沒有分清，更多的表述是計(jì)算程序與步驟，典型解釋如下：

第一步算26乘3，第二步算26乘5，個位上的3乘得的結(jié)果就寫在個位上，十位上的5乘得的結(jié)果就寫在十位上，再把兩個積相加．

可以看出職初教師對于算理與算法沒有分清，他們認(rèn)為運(yùn)算程序與步驟就是算理．他們更多的說明怎么算，而沒有說明為什么這樣算？訪談中他們有41%老師這樣的表達(dá)：計(jì)算就是一個熟練的過程，算理講得再清楚，學(xué)生計(jì)算時也不會去想算理，計(jì)算的過程與方法才是最重要的．他們說這種觀點(diǎn)來自自己小學(xué)時學(xué)習(xí)過程的體驗(yàn)．從這點(diǎn)也反饋出我們在數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中對于算理的理解并不夠重視，更多的是在計(jì)算法則上強(qiáng)化．

3.1.2 表層結(jié)構(gòu)錯因

有27%的專家教師和73%的職初教師給出表層結(jié)構(gòu)錯因．可以看出職初教師對錯因的分析更集中表面現(xiàn)象上，而27%的專家教師給出的表層錯因與職初教師也有所不同．

①專家教師：表層結(jié)構(gòu)錯因并非單一．

27%的專家教師給出的錯因并非單一的錯因，都是結(jié)合深層錯因進(jìn)行說明的，例如：

我想學(xué)生可能沒理解整數(shù)乘法算理，也可能是由于上課沒注意聽講造成的．如果是極少學(xué)生這樣錯，可能來自學(xué)生的原因多一些，如果出錯的人數(shù)比較多，可能是老師的教學(xué)有問題．但無論怎樣，這樣的錯誤是沒有理解5×26，其實(shí)表示的是5個十乘26，得到的是130個十，所以應(yīng)對齊十位來寫．

從以上專家教師表達(dá)可以看出，對于表層結(jié)構(gòu)錯因的說明，并不是唯一的想法，他們是根據(jù)自己的教學(xué)出發(fā)，認(rèn)為學(xué)生出錯有各種可能，因此對學(xué)生出現(xiàn)的錯誤會做綜合的分析，他們對學(xué)生錯誤的診斷也體現(xiàn)出其學(xué)科教學(xué)知識理解的深度，比如會提到?jīng)]有運(yùn)用估算進(jìn)行驗(yàn)算，在乘法這個內(nèi)容教學(xué)中對結(jié)果進(jìn)行估一估是非常重要的，能聯(lián)系相關(guān)知識點(diǎn)對內(nèi)容進(jìn)行剖析，這也反映出教師的學(xué)科知識影響著教師對學(xué)生數(shù)學(xué)錯誤的看法．

②職初教師：不能從本質(zhì)上找錯因．

73%的職初教師給出的都是表層的錯因，不能從數(shù)學(xué)的本質(zhì)觀點(diǎn)來分析錯因，只能做簡單的表面歸因，典型解釋如下：

我認(rèn)為出錯與訓(xùn)練少有關(guān)，只有多做題多訓(xùn)練才能幫助學(xué)生改正錯誤，出錯原因也可能是學(xué)生做題不認(rèn)真，做完后又沒進(jìn)行檢查，所以沒發(fā)現(xiàn)130寫錯了位置．

可以看出職初教師對于數(shù)學(xué)學(xué)科知識的理解是不夠的，他們不能用聯(lián)系的觀點(diǎn)對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行剖析，也不能從數(shù)學(xué)的高觀點(diǎn)來分析內(nèi)容，難以準(zhǔn)確認(rèn)識到具體計(jì)算的錯因，因此也就不能從數(shù)學(xué)知識角度進(jìn)行具體的分析，也顯示出其有關(guān)學(xué)科教學(xué)知識方面的欠缺．

3.2 糾正策略

由于學(xué)習(xí)從總體上看主要是一個順應(yīng)的過程，而不是知識的簡單積累，因此，如何去糾正學(xué)生的錯誤，在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有十分重要的意義．教師如何幫助學(xué)生糾正錯誤，消解學(xué)生的錯誤想法，在很大程度上依賴于教師自己關(guān)于這個內(nèi)容知識的掌握與理解．通過前面的分析發(fā)現(xiàn)專家教師與職初教師對這個內(nèi)容理解程度有差別，這也導(dǎo)致兩類教師糾正策略方面很大不同．

3.2.1 專家教師：聚焦與多樣

在對學(xué)生的數(shù)學(xué)錯誤的糾正上，專家教師表現(xiàn)出能針對特定內(nèi)容與學(xué)生特點(diǎn)，給出多種可行糾正策略的特質(zhì)．專家教師糾正策略主要是乘法的“完整的數(shù)”、拆分、面積模型、橋梁性情境等．

（1）乘法的“完整的數(shù)”的策略．

采用的不是將數(shù)拆分的方法，而是依照以前學(xué)過的乘法意義，將數(shù)看作單一組的集合，26×53即53個26相加，然后從乘法的意義角度理解有50個26，而不是5個26．典型的解釋如下：

如果這個學(xué)生確實(shí)對豎式理解很困難，我會按下面3步解釋：

①讓學(xué)生解釋26×53表示的意思，是53個26相加；

②然后讓其寫出加法算式，理解50個26；

③進(jìn)而與豎式對照，讓其發(fā)現(xiàn)他算了50個26，而不是5個26，得出十位上的5表示的是50，所以算出的結(jié)果末尾要和十位對齊．

專家教師在訪談中提到，這種方法更適合那種學(xué)習(xí)理解比較困難的學(xué)生，他們在前面的學(xué)習(xí)中可能對乘法的意義以及位值都沒能很好的理解，直接面對豎式去解釋對他們有一定困難，因此需要退回到乘法的原點(diǎn)去解釋．

（2）拆分的策略．

拆分的策略幾乎是所有專家教師都會選擇的一種策略，是學(xué)生已學(xué)習(xí)過的一種口算策略，例如前面學(xué)過27×5，可以運(yùn)用拆分策略口算，20×5+7×5=135，所有的拆分策略都要依賴分配律的性質(zhì)．專家教師對這種策略都做了詳細(xì)的說明，如：

先讓學(xué)生明確26×53可以分成兩個算式，一個是26×3=78，另一個是26×50=1?300，再把兩個積相加78+1?300= 1?358，寫成豎式時，進(jìn)一步明確第一個積是78，7個十和8個一分別對齊十位和個位，第二個積是1?300，也就是130個十，可以寫成1?300，但為了簡便，可以省略0，130個十要對齊．

專家教師都認(rèn)為拆分策略是最基本最適用的策略，是因?yàn)樵谇懊鎸W(xué)習(xí)乘數(shù)是一位數(shù)的乘法及口算乘法時一直在用，運(yùn)用學(xué)生已有的知識很容易遷移過來，也很容易理解和掌握．

（3）面積模型．

有兩位專家教師給出了如下的面積模型．

兩位專家教師都講過兩位數(shù)乘兩位數(shù)公開課，他們都用到了數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，用長方形格紙讓學(xué)生操作理解，其實(shí)本質(zhì)上這種方法是前面的拆分策略，但運(yùn)用十進(jìn)位模型來填滿長方形，會更加直觀，而這恰好是心算運(yùn)作的方式．操作時可以在十進(jìn)位格紙上畫上長方形或是可以用十進(jìn)位的單位紙將全部的長方形填滿，會有4個結(jié)果對應(yīng)到4個不同的區(qū)域的長方形．他們也強(qiáng)調(diào)在運(yùn)用這個面積模型時要注意語言的表述，如2個十乘5個十是10個百，應(yīng)避免強(qiáng)調(diào)用數(shù)字的想法說2×5而舍棄數(shù)的想法，要強(qiáng)調(diào)十乘十等于一百的想法．可以看出面積模型這種表征方式的本質(zhì)還是乘法計(jì)算中最重要的分配性，只是運(yùn)用這種表征能直接反映出豎式的計(jì)算過程，學(xué)生能從圖中找豎式計(jì)算的步驟，并找到豎式中每一個數(shù)據(jù)在圖中的相應(yīng)位置．將“冰冷”的算法和“神秘”的算理深層次融合，讓學(xué)生清楚感受到“法中見理，理中得法”．

（4）橋梁性情境．

有5位專家教師都提到運(yùn)用真實(shí)的問題情境，這個情境要具有橋梁性，首先讓學(xué)生獲得直覺，然后整合乘法計(jì)算，再從事實(shí)中發(fā)現(xiàn)有幫助的算法．典型的解釋如下：

我想可以創(chuàng)設(shè)情境，賦予算式現(xiàn)實(shí)意義，比如每本書26元，買53本多少錢？計(jì)算時，理解為3本的錢數(shù)加上50本的錢數(shù)，3本的錢數(shù)就是26×3，50本的錢數(shù)就是26×50，合在一起就是一共交的錢數(shù)．學(xué)生在日常生活中經(jīng)常接觸到錢幣，會很容易理解，通過這種事實(shí)讓學(xué)生明白計(jì)算時不是26×5，而是26乘5個十，因此對于這樣的題應(yīng)鼓勵學(xué)生自主探索解決問題，不是把26×53當(dāng)計(jì)算方法教，而是當(dāng)作問題解決更好．

Hart & Sinkinson（1987）認(rèn)為，許多兒童在具體的活動與數(shù)學(xué)的形式化之間的連結(jié)會有許多困難，他們建議以搭橋（bridge）的過程，來解決這個問題[10]．已有研究也表明：文字題的結(jié)構(gòu)也能增進(jìn)運(yùn)算策略．這5位專家教師運(yùn)用了兩類故事情境，一類是前面提到的買東西錢幣的運(yùn)用，另一個類是學(xué)校學(xué)生做操站隊(duì)的隊(duì)列，這兩個事實(shí)都是學(xué)生熟悉且易于理解的，因此專家教師是通過找一個有幫助的事實(shí)來搭橋，以幫助學(xué)生理解運(yùn)算策略．這種橋梁性故事情境有助于學(xué)生做一種連接，通過事實(shí)把運(yùn)算與位值連結(jié)起來，有助于學(xué)生理解算理．并且，“情境—問題”教學(xué)能夠有效實(shí)施，避免“去數(shù)學(xué)化”的傾向和偏離教學(xué)目標(biāo)，離不開數(shù)學(xué)教師所具有的與之相適應(yīng)的專業(yè)知識[11]．

除此之外，也有專家教師在豎式表達(dá)上給出了幫助學(xué)生糾錯的方式，如下：

（a） （b）

利用數(shù)位圖，把每一次乘得的積記錄下來，兩位數(shù)乘兩位數(shù)其計(jì)算過程其實(shí)就是兩個部分積的錯位疊加的過程，如何疊0是其教學(xué)之難點(diǎn)和關(guān)鍵，因此先可以如上圖（a）那樣將所有乘的積寫下來再相加，這也是最好的心算運(yùn)作過程，而且容易幫助學(xué)生理解進(jìn)位，理解為什么可以省略0的問題．

專家教師的糾正策略是多樣的，專家教師也說明自己常會用多種方法和方式糾正學(xué)生的錯誤，糾正時或以個別輔導(dǎo)形式，或全班集體糾正．從上面給出的策略可以看出，他們的策略能針對特定錯題內(nèi)容，甚至考慮學(xué)生的特點(diǎn)，有針對性的選擇策略與方法．新課程改革之后，給教學(xué)帶來了很大的改變，比如運(yùn)用面積模型策略的專家教師就表示：這種多樣的策略來自課程改革之后教材與教學(xué)發(fā)生的變化，現(xiàn)在的教材和教學(xué)從學(xué)生學(xué)的角度出發(fā)想得要多一些，所以會想到用這樣直觀的策略更有利于學(xué)生的理解．從專家教師的錯因分析與糾正策略可以看出，作為一名數(shù)學(xué)教師不僅需要數(shù)學(xué)知識和一般的教學(xué)法知識，還需要知道關(guān)于某一數(shù)學(xué)內(nèi)容該如何組織和呈現(xiàn)、學(xué)生是怎樣學(xué)習(xí)這一數(shù)學(xué)內(nèi)容的、可能會遇到什么困難等方面的知識，因?yàn)榧词故菙?shù)學(xué)知識非常豐富的人也完全可能十分匱乏這些數(shù)學(xué)教學(xué)知識，這就是我們常說的，懂得數(shù)學(xué)是一回事，教數(shù)學(xué)又是另一回事[12]．

3.2.2 職初教師：泛化與單一

職初教師在糾正本題策略時呈現(xiàn)出泛化與單一的特點(diǎn)，不能針對學(xué)生的數(shù)學(xué)錯誤提出合理的糾正策略；或能針對學(xué)生的數(shù)學(xué)錯誤提出糾正教學(xué)策略，但針對性不強(qiáng)；或能針對學(xué)生的數(shù)學(xué)錯誤提出切實(shí)可行的糾正的教學(xué)策略，但策略單一不詳細(xì)．

（1）缺少數(shù)學(xué)屬性的糾正策略．

有14名職初教師給出的糾正策略是沒有針對性的，只是泛泛的給出策略，這些策略對消彌學(xué)生的錯誤，缺少具體直觀的數(shù)學(xué)屬性，典型的解釋如下．

以改錯題的形式呈現(xiàn)在黑板上，由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)錯誤，并將正確計(jì)算寫在黑板上．

會先讓學(xué)生再重新把兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算法則復(fù)習(xí)一次，如果還是不太明白，就發(fā)揮同伴的作用，讓同學(xué)再教他一次．

在訪談中，他們對計(jì)算錯誤看法都有這樣的一致的表達(dá)：平時學(xué)生出現(xiàn)計(jì)算錯誤，就是讓其自己改，一遍改不對再改一遍，直到改對為止，沒想過要從老師的角度加以糾正，因?yàn)橛X得學(xué)生出這樣的錯是因?yàn)槠洳挥眯幕驔]注意聽講造成的，所以都會讓其自己改或強(qiáng)化練習(xí)．從這點(diǎn)可以看出職初教師糾正學(xué)生策略的選擇受其錯題歸因的影響．

（2）強(qiáng)化數(shù)位：5在哪一位？

有41名職初教師給出了糾正的策略，但策略都比較單一不詳細(xì)，更多的是從數(shù)位來進(jìn)行說明，比如：會強(qiáng)調(diào)運(yùn)算法則，用什么位相乘就對齊什么位寫結(jié)果數(shù)，用5去乘，5在十位上就對齊5寫積．這41名教師都講過乘法計(jì)算，對于計(jì)算的教學(xué)他們認(rèn)為法則很重要，就是每一步算什么，積對齊誰來寫，學(xué)生只有記住法則多加練習(xí)，才不會出錯．同時也看出上述的解釋也因應(yīng)了前面他們對錯誤的歸因，他們認(rèn)為是學(xué)生在數(shù)位上出的錯，因此應(yīng)在數(shù)位方面加以強(qiáng)調(diào)，特別是針對這道題，是5去乘，應(yīng)明確5在十位上，所以結(jié)果對齊十位寫．他們并沒有從位值的本質(zhì)意義給出策略．

有9名職初教師給出了拆分的策略，這9名教師中有7名教師講過這節(jié)課的觀摩教學(xué)，有資深教師指導(dǎo)過，所以對拆分策略說明非常詳細(xì)，另外兩名教師并沒有講過這個內(nèi)容，但也能很好的用拆分策略加以解釋，主要是因?yàn)樗麄兪悄硯煼洞髮W(xué)小學(xué)教育專業(yè)的畢業(yè)生，在教法課上，聽老師講過類似的案例．從這9名教師可以看出，職后對初任教師的有效指導(dǎo)，職前對教師基于學(xué)科背景內(nèi)容課程的開設(shè)與培養(yǎng)，對于職初教師的教學(xué)是有影響的．

4 討 論

4.1 對特定內(nèi)容理解：“蛛網(wǎng)式”的理解結(jié)構(gòu)和階層式理解結(jié)構(gòu)

通過分析兩類教師對學(xué)生錯誤的歸因及糾正策略發(fā)現(xiàn)，對于兩位數(shù)乘兩位數(shù)的內(nèi)容，專家教師與職初教師的反應(yīng)是不一樣的，主要體現(xiàn)在對內(nèi)容的理解的建構(gòu)．專家教師對兩位數(shù)乘兩位數(shù)理解結(jié)構(gòu)是“蛛網(wǎng)式”，如圖2．

圖2 專家教師對兩位數(shù)乘兩位數(shù)“蛛網(wǎng)式”的理解結(jié)構(gòu)

專家教師能夠把與兩位數(shù)乘兩位數(shù)有關(guān)的知識組織和連結(jié)在一起，這些聯(lián)結(jié)形成了一個概念框架，類似于一張“蜘蛛網(wǎng)”，把特定內(nèi)容知識組織在一起，這樣的理解是對基本數(shù)學(xué)的深刻理解，便于提取和應(yīng)用，職初教師對兩位數(shù)乘兩位數(shù)的理解結(jié)構(gòu)是階層式結(jié)構(gòu)，如圖3．

圖3 職初教師對兩位數(shù)乘兩位數(shù)“階層式”的理解結(jié)構(gòu)

職初教師對于這個內(nèi)容錯誤歸因更強(qiáng)調(diào)數(shù)位對齊，而糾錯非常依賴步驟和強(qiáng)化練習(xí)，缺乏對概念性的理解．對兩位數(shù)乘兩位數(shù)所涉及內(nèi)容的理解是分離和孤立的，因此，幫助學(xué)生糾錯的策略也比較單一．

可以看出專家教師的一些解釋是非常難能可貴的，因?yàn)樗麄冋嬲钊氲搅藢W(xué)生的思維內(nèi)部，從而能對學(xué)生的數(shù)學(xué)錯誤進(jìn)行了比較到位的分析，這與他們對內(nèi)容的理解有關(guān)．理解涉及建立聯(lián)系．“如果我們能夠清楚一些知識是怎樣與我們已知的知識建立聯(lián)系和聯(lián)結(jié)的，我們就說我們理解了這些知識．”[13]在對職初教師的訪談中發(fā)現(xiàn)，他們對于位值、乘法的意義、乘法分配律、兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)都知道，但他們都把這些內(nèi)容作為單獨(dú)學(xué)習(xí)的一節(jié)課的內(nèi)容來看待的，因?yàn)檫@些內(nèi)容在教材上都有編寫，對于這些內(nèi)容他們并沒有和本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行很好的建立連結(jié)，也就是沒有把新的知識與已有的知識建立很好的聯(lián)系．另外，職初教師對于位值概念和積的處理在理解上不夠深入，對于位值只關(guān)注“位”，對積的處理中“疊0”和“省0”只是機(jī)械知道．

專家教師對兩位數(shù)乘兩位數(shù)“蛛網(wǎng)式”的理解并不是把涉及的知識點(diǎn)做簡單意義上的聯(lián)結(jié)，而是圍繞運(yùn)算理解兩個重要維度：運(yùn)算的算理和運(yùn)算的方法做內(nèi)化加工，內(nèi)化加工的過程是基于兩位數(shù)乘兩位數(shù)的內(nèi)容作展開與壓縮，如圖4所示．

圖4 專家教師對兩位數(shù)乘兩位數(shù)內(nèi)容聯(lián)結(jié)的建構(gòu)

專家教師會基于內(nèi)容理解，找出這個內(nèi)容的重點(diǎn)與難點(diǎn)，然后對具體內(nèi)容展開，在展開理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象壓縮，可以看出專家教師對特定內(nèi)容的理解其實(shí)是把所涉及的相關(guān)知識點(diǎn)做了組織處理——展開與壓縮，這個展開壓縮的過程越清楚、連結(jié)得越好、越綜合，對特定內(nèi)容的教學(xué)處理就越有變化和深度，對學(xué)生錯誤的反應(yīng)也越自信和理性．

4.2 為什么制造認(rèn)知沖突的策略缺失

事實(shí)上，學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解是一個反復(fù)組織的建構(gòu)過程．當(dāng)學(xué)生遇到困難的時候，就要停下來，折返回去，將尚薄弱的認(rèn)識再作建構(gòu)，滿足進(jìn)一步發(fā)展的需要[14]．從建構(gòu)主義的立場去分析，學(xué)生的錯誤不可能單純依靠正面的示范講解和反復(fù)的練習(xí)得以糾正，而必須是一個自我反省的過程．因此，為了幫助學(xué)生糾正錯誤，教師就要思考如何促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的錯誤所在，引發(fā)“觀念沖突”．對于學(xué)生的錯誤，能清楚的讓學(xué)生知道他那樣做是不對的，就能制造學(xué)生的認(rèn)知沖突，以引起學(xué)生認(rèn)知上的不平衡．再由學(xué)生去指出問題，讓學(xué)生去說明思考這個錯誤算式是如何產(chǎn)生，使學(xué)生更能迅速的理解并融會貫通．所以制造認(rèn)知沖突讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤很關(guān)鍵．

從調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，所有被調(diào)查的教師中，只有兩名專家教師明確提到，面對學(xué)生的錯誤，首先應(yīng)幫助學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)錯誤，因此應(yīng)提供認(rèn)知沖突的策略，這兩名專家教師提供的是估的策略：

通過估算讓學(xué)生知道20×50就等于1?000，26×53肯定應(yīng)該大于1?000，這個題算錯了，錯在哪呢？再引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注題目中的5表示什么？

可以看出，在如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤，制造學(xué)生認(rèn)知沖突方面，專家教師和職初教師在策略上都有盲點(diǎn)．之所以出現(xiàn)這樣的問題，與教師對待學(xué)生錯誤觀念有一定影響，無論專家教師和職初教師他們都認(rèn)為幫助學(xué)生改正錯誤，不再犯這樣的錯誤是重要的，“改錯”是他們對待學(xué)生錯誤的重心，至于如何引導(dǎo)學(xué)生“知錯”，如何通過制造認(rèn)知沖突的策略幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯因，兩類教師在訪談中也鮮少提及．他們通常的做法是讓學(xué)生想想自己哪錯了，并不會提供一些制造認(rèn)知沖突的策略．

教師應(yīng)如何使用正確的方法引導(dǎo)學(xué)生了解自己的錯誤概念，進(jìn)而自我思考，建構(gòu)正確的概念呢？針對如何自我建構(gòu)概念方面，Cobb（1990）認(rèn)為有許多的教學(xué)策略可以供教師采用，如：分組討論、口語互動、交互教學(xué)等[15]．這些策略都強(qiáng)調(diào)教師只擔(dān)負(fù)一部分的責(zé)任，也就是說，教師主要的工作是提供數(shù)學(xué)規(guī)則，然后引導(dǎo)學(xué)生從自我建構(gòu)中發(fā)現(xiàn)自己的錯誤概念，進(jìn)而建立正確的數(shù)學(xué)知識．其實(shí)教學(xué)中會發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于自己的錯誤有時是無法自我覺察的，需要運(yùn)用學(xué)生的錯誤解法制造認(rèn)知沖突，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤．前提是教師要有意識的運(yùn)用策略制造認(rèn)知沖突，對于這一點(diǎn)，兩類教師在面對學(xué)生錯誤時都需要思考．

5 小 結(jié)

對于兩位數(shù)乘兩位數(shù)學(xué)生的錯誤，專家教師和職初教師都能給出錯誤原因和糾正策略，但在具體歸因和糾錯方面表現(xiàn)出的樣態(tài)卻有很大差別．專家教師表現(xiàn)出能理解學(xué)生數(shù)學(xué)錯誤的合理性，能從多角度豐富而深刻地解釋學(xué)生數(shù)學(xué)錯誤的原因，剖析錯誤的性質(zhì)，能針對學(xué)生的數(shù)學(xué)錯誤提出切實(shí)可行的多種糾正策略．相反，職初教師對于這個內(nèi)容的理解以及給出的錯因與策略缺少數(shù)學(xué)屬性，泛化而單一．

對專家教師的分析發(fā)現(xiàn)：不僅有關(guān)于整數(shù)乘法特殊錯誤存在的知識，還有關(guān)于這些錯誤為什么存在的知識，以及多樣的糾正策略，這和專家教師的閱歷有關(guān)．因?yàn)檫\(yùn)算錯誤分析是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種最常見問題，數(shù)學(xué)教師個體在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，以日積月累的方式不斷的體驗(yàn)和實(shí)踐，會增進(jìn)教師對特定教學(xué)內(nèi)容的理解，從而形成一種對教學(xué)內(nèi)容理解持續(xù)力，這種理解持續(xù)力會幫助教師不斷對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容建立聯(lián)系，促進(jìn)教師知識的生長．

［參考文獻(xiàn)］

[1] 郜舒竹，薛漣霞．學(xué)生錯誤研究之文獻(xiàn)綜述[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（2）：75-78．

[2] Schwarzenberger．錯誤的重要性——英國數(shù)學(xué)學(xué)會會長致詞[J]．?dāng)?shù)學(xué)圈，1984，（21）：73-80．

[3] 薛漣霞，郜舒竹．小學(xué)教師對待學(xué)生數(shù)學(xué)錯誤的態(tài)度現(xiàn)狀[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（5）：57-60．

[4] 全美數(shù)學(xué)教師理事會．美國數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)[M]．蔡金法譯．北京：人民教育出版社，2004．

[5] Even R, Tirosh D. Subject-Matter Knowledge and Knowledge about Students as Sources of Teacher Presentations of the Subject Matter [J]., 1995, 29(1): 1-20.

[6] Ball D L, Thames M H, Phelps G. Content Knowledge for Teaching: What Makes It Special [J]., 2008, 59(5): 389-407.

[7] 馬立平．小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2011．

[8] 張景媛．?dāng)?shù)學(xué)文字題錯誤概念分析及學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的研究[J]．教育心理學(xué)報(bào)，1994，（27）：175-200．

[9] John A Van De Walle．中小學(xué)數(shù)學(xué)科教材教法[M]．張英杰，周菊美譯．臺北：五南圖書出版公司，2005．

[10] ?Hart K, Sinkinson A. Forging the Link Between Practical and Formal Mathematics [A].[C]. Montreal, Quebec, Canada: University of Montreal, 1987.

[11] 常磊，夏小剛，呂傳漢．?dāng)?shù)學(xué)“情境—問題”教學(xué)中教師的MPCK理論研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（5）：67-71．

[12] 童莉．?dāng)?shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的新視角[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（4）：23-26．

[13] ?Hiebert J, Thomas P, Carpenter, et al.[M]. Portrsmouth, NH: Heinemann, Preface, 1997.

[14] 黃興豐，湯炳興．經(jīng)驗(yàn)教師數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略的個案研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（2）：43-47．

[15] Cobb P. Multiple perspectives [A]. In: Steffe L P, Wood R.[C]. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum, 1990.

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Study on How to Deal with Students’ Computational Errors in Primary School Mathematics Teachers——Taking the Two Digits Multiply Two Digits as an Example

SUN Xing-hua, MA Yun-peng

(Department of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China)

In the calculation of teaching, students will make all kinds of errors, this is the case every primary school mathematics teacher has to face. Basing on this, how to deal with the student’s calculation error is particularly important. The research concerns about the characterization similarities and differences in dealing with students in the process of calculating errors between novice teachers and expert teachers in the elementary school, including attribution of the students calculation errors, teaching strategies of correcting students’ calculation error. Finally, we compare and analyze knowledge of two kinds of teachers’ understanding of students’ mistakes.

computational error; error attribution; corrective strategy

G622.0

A

1004–9894（2016）05–0038–07

2016–04–09

教師教育協(xié)同創(chuàng)新中心總體設(shè)計(jì)的合作研究重大項(xiàng)目——高素質(zhì)教師成長規(guī)律與培養(yǎng)方式變革研究重點(diǎn)研究課題——教師教育創(chuàng)新課程開發(fā)與教學(xué)設(shè)計(jì)（XTZX20130002）

孫興華（1971—），女，吉林長春人，講師，博士，主要從事課程與教學(xué)論研究．