方程φe（n）=（e=1，2，4）的可解性

王容，廖群英

（四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川 成都　610066）

方程φe（n）=（e=1，2，4）的可解性

王容，廖群英

（四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川 成都610066）

利用已有的廣義歐拉函數(shù)的準(zhǔn)確計(jì)算公式來研究方程φe（n）的可解性，其中n為正整數(shù)，d為n的正因子.并利用初等的方法和技巧給出方程的全部正整數(shù)解（n，d）.

廣義歐拉函數(shù)；丟番圖方程；正整數(shù)解

1　引言

定義 1.1［1-2］正整數(shù)n的廣義歐拉函數(shù)定義為：

即φe（n）等于序列中與n互素的數(shù)的個(gè)數(shù)，其中e為正整數(shù).容易證明：

其中［·］是高斯函數(shù)，μ（n）是麥比烏斯函數(shù)，即

其中且αi≥0，pi（1≤i≤s）為不同的素?cái)?shù).特別的，當(dāng)e=1時(shí)，即

熟知，φ（n）表示序列0，1，2，···，n-1中與n互素的整數(shù)個(gè)數(shù)，即著名的歐拉函數(shù)［3］.該函數(shù)有著很廣泛的應(yīng)用，例如，求離散數(shù)學(xué)中循環(huán)群的生成元，同時(shí)它也是RSA公鑰密碼體制得以建立的重要數(shù)學(xué)工具之一［4］.

事實(shí)上，φe（n）的定義是蔡天新等人為將Lehmer同余式從模素?cái)?shù)的平方推廣到模任意整數(shù)的平方時(shí)所給出的.易知

進(jìn)而，蔡天新等人給出了

的準(zhǔn)確計(jì)算公式［5-7］.

蔡天新等人不僅完全確定了廣義歐拉函數(shù) φe（n）（e=1，2，3，4，6）的計(jì)算公式，還研究了φe（n）和φe（n+1）（e=4，6）同為奇數(shù)時(shí)n的取值；同時(shí)，近幾年也有很多關(guān)于歐拉函數(shù)和廣義歐拉函數(shù)方程的研究.比如，呂志宏［8］用初等的方法研究了方程

的可解性.孫翠芳，程智［9］研究了方程

的可解性，同時(shí)獲得了該方程的所有正整數(shù)解，其中k為素?cái)?shù).田呈亮等人［10］給出了方程

的所有正整數(shù)解.同樣，人們也希望利用廣義歐拉函數(shù)的準(zhǔn)確計(jì)算公式來討論一些不定方程的解.本文相關(guān)問題研究，討論方程

的全部正整數(shù)解（n，d），其中n為正整數(shù)，d為n的正因子，d≥2且e=1，2，4.為求解方程（1），需要φ4（n）的準(zhǔn)確計(jì)算公式，即如下

引理1.1［6］設(shè)

我們證明了如下主要結(jié)果.

定理1.1設(shè)正整數(shù)n=2α，其中α≥3.則方程（1）的全部正整數(shù)解為

（1）若α=0且存在pi≡1（mod 4）.則方程（1）的全部正整數(shù)解為

（2）若α=1且存在pi≡1（mod 4）.則方程（1）的全部正整數(shù)解為

（3）若α≥2，則方程（1）的全部正整數(shù)解為

定理1.5設(shè)e=4，正整數(shù)

其中α∈｛0，1｝，且?i=1，···，k，αi≥1，奇素?cái)?shù)pi≡3（mod 4），p1＜p2＜···＜pk.則方程（1）的全部正整數(shù)解為

2　主要結(jié)果的證明

3　小結(jié)

為將Lehmer同余式的模從素?cái)?shù)的平方推廣到任意整數(shù)的平方的情形，蔡天新等人定義了廣義歐拉函數(shù)φe（n），并且給出φe（n）（e=1，2，3，4，6）的準(zhǔn)確計(jì)算公式，這些公式為討論廣義歐拉函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用帶來了很多方便.進(jìn)而，利用這些公式討論了φe（n）和φe（n+1）同為奇數(shù)時(shí)n滿足的條件［6-7］.本文基于φe（n）（e=1，2，3，4，6）的證明，給出了正整數(shù)n的廣義歐拉函數(shù)的幾個(gè)充分條件，由此得到相應(yīng)的φ5（n）的奇偶性判別.最后給出了的部分正整數(shù)解以及的全部正整數(shù)解，其中n是正整數(shù)，d是n的正因子.但一般情形下φe（n）的準(zhǔn)確計(jì)算公式并沒有完全確定，有待進(jìn)一步研究.

［1］Cai T X.A congruence involving the quotients of Euler and its applications（I）［J］.Acta Aritmetica，2002，103（4）：313-320.

［2］Cai T X，F(xiàn)u X D，Zhou X.A congruence involving the quotients of Euler and its applications（II）［J］.Acta Aritmetica，2007，130（3）：203-214.

［3］Kenneth Ireland，Michael Rosen.A classical introduction to Modern Number Theory［M］.New York：Springer-Verlag，1990.

［4］李鐵牛，李紅達(dá).基于歐拉函數(shù)秘密分享的RSA私鑰的理性分布計(jì)算［J］.計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)，2010，32（9）：11-17.

［5］Cai T X，Shen Z Y，Hu M J.On the parity of the generalized euler function［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，2013，42（4）：505-510.

［6］丁煜.廣義歐拉函數(shù)及其性質(zhì)［D］.浙江：浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系，2008.

［7］Shen Z Y，Cai T X，Hu M J.On the parity of the generalized euler function（II）［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，2016.

［8］呂志宏.一個(gè)包含Euler函數(shù)的方程［J］.西北大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，36（1）：17-20.

［9］Sun C F，Cheng Z.Some kind of equations involving Euler funcion φ（n）［J］.數(shù)學(xué)研究，2010，43（4）：364-369.

［10］田呈亮，付靜，白維祖.一個(gè)包含歐拉函數(shù)的方程［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2010，26（1）：96-98.

2010 MSC:11D72，11P55

On the solvability of the equation φe（n）=（e=1，2，4）

Wang Rong，Liao Qunying
（Institute of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Sichuan，Chengdu 610066，China）

In order to generalize Lehmer's congruences from modulo prime squares to modulo integer squares，Cai defined the generalized Euler function.The paper studies the solvability of the Diophantine equationwhere n is a positive integer and d is a positive factor of n.By the elementary methods and techniques，the solvability of the Diophantine equationrelated to the generalized the Euler function φe（n）（e=1，2，4）is studied.And then all solutions for the Diophantine equationare given.

generalized Euler function，Diophantine equation，positive integer solution elementary method，conjecture

O156.4

A

1008-5513（2016）05-0481-14

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.05.005

2016-05-23.

國(guó)家自然科學(xué)基金重大項(xiàng)目（11401408）；四川省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目（142A0034）；四川省科技廳計(jì)劃項(xiàng)目（2016JY0134）.

廖群英（1974-），博士生，教授，研究方向：編碼與密碼學(xué)理論.