用特殊性巧解定點(diǎn)定角定值問題

魏正清

(甘肅省臨澤一中，734200)

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用特殊性巧解定點(diǎn)定角定值問題

魏正清

(甘肅省臨澤一中，734200)

解析幾何中的定點(diǎn)、定角、定值問題,是高考考查的核心題型之一,是多年高考經(jīng)久不衰的熱點(diǎn).這類問題常常以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，以參數(shù)處理為核心需要，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式、平面向量等諸多數(shù)學(xué)知識以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想方法求解.一般來說解法都比較單一,雖然有通法可循,但運(yùn)算量大且過程繁瑣是它最明顯的特征.如何化繁為簡,減少運(yùn)算量、有效突破這一人人都頗感棘手的問題,是值得研究的課題,也是追求數(shù)學(xué)簡潔美的根本要求.本文另辟蹊徑,從特殊情形入手,先猜后證,給出處理解析幾何中定點(diǎn)、定角、定值問題的簡化策略.

一、定點(diǎn)問題

(1)求橢圓C的方程;

分析對第(2)問，如圖1,探索以AB為直徑的圓是否恒過平面內(nèi)一定點(diǎn),通常都是先求出以AB為直徑的圓方程,再利用圓系的有關(guān)知識尋求定點(diǎn),這樣做難度過大,不易得手.如果從特殊情形入手,由特殊的圓,尋求特殊的點(diǎn),然后先猜后證,就能化難為易,將問題迎刃而解.

(2)假設(shè)存在定點(diǎn)T(x0,y0)滿足題意,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).

當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí),直線m的方程為x=0,易知A(0,1),B(0,-1)且以AB為直徑的圓C1的方程是x2+y2=1.

將圓C1與圓C2的方程聯(lián)立可得交點(diǎn)T(0,1).

以下只需驗(yàn)證當(dāng)直線m的斜率存在時(shí),也符合題意.

(

即當(dāng)直線m的斜率存在時(shí),以AB為直徑的圓也過定點(diǎn)T(0,1).

綜上所述,存在定點(diǎn)T(0,1)滿足題意.

二、定角問題

(1)求拋物線C的方程;

(2)若點(diǎn)E在拋物線C上,且縱坐標(biāo)為2,經(jīng)過點(diǎn)(2,0)的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)E),直線EA,EB分別交直線x=-2于點(diǎn)M,N,O為原點(diǎn),求證:∠MON為定值.

分析如圖2,證明∠MON為定值,通常是驗(yàn)證tan∠MON的值為定值,這就需要將tan∠MON的求解轉(zhuǎn)化為直線的傾斜角,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線的斜率問題解決.這樣處理既要尋求∠MON與某兩條直線的傾斜角的關(guān)系,還要利用兩角和與差的正切公式,問題方能得以解決,過程繁且運(yùn)算量很大.如果能從特殊情形入手,取特殊點(diǎn)及特殊直線,先猜出∠MON的值,再進(jìn)行驗(yàn)證,則有意想不到的收獲.

解(1)y2=2x(過程略).

(2)易知點(diǎn)E(2,2),設(shè)直線l:y=k(x-2).設(shè)直線l與拋物線C交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn).

EB方程為y-2=2(x-2),令x=-2，得N(-2,-6).

ky2-2y-4k=0，

三、定值問題

(1)求曲線C的方程.

(2)設(shè)點(diǎn)M(m,0),點(diǎn)Q為曲線C上位于x軸上方的動點(diǎn).

(i)若m<0,寫出直線MQ的傾斜角的取值范圍;

(ii)證明:存在正數(shù)λ,負(fù)數(shù)m,使得

∠QC2M=λ∠QMC2.

(ii)探索正數(shù)λ,負(fù)數(shù)m,使得∠QC2M=λ∠QMC2成立,按照正常思維實(shí)在難以著手；但若從極端情形入手,先猜出正數(shù)λ與負(fù)數(shù)m的值,再進(jìn)行驗(yàn)證,定會柳暗花明.

設(shè)Q(x0,y0)(x0≥1,y0>0),如圖3.

以下證明：當(dāng)m=-1時(shí),恒有

∠QC2M=2∠QMC2.

當(dāng)x0≠2時(shí),

所以∠QC2M=2∠QMC2.

故存在λ=2,m=-1,使得∠QC2M=2∠QMC2.

評注探索某代數(shù)式的值為定值,通常是先把這個(gè)代數(shù)式表示出來,然后通過變量代換,將代數(shù)式化為只含一個(gè)變量的式子,進(jìn)而化簡得到代數(shù)式的值為定值.而探索兩個(gè)角間的等量關(guān)系這類定值問題,只有求出了這兩個(gè)角的大小,方可確定它們間的等量關(guān)系.這就需要借助這兩個(gè)角的某三角函數(shù)值(如角的正切值)間的關(guān)系,來確定角間的等量關(guān)系,由于這類問題常常是含有參數(shù)的問題,還有可能用到兩角和與差的三角公式,變形與化簡都不是很容易的.若能另辟蹊徑,從特殊情形入手,先猜后證,定是別有洞天.

可見,在處理解析幾何中的定點(diǎn)、定角、定值問題時(shí),如果運(yùn)用正向思維處理感到不易上手,或感覺運(yùn)算量過大,解題過程很繁瑣時(shí),可采取迂回戰(zhàn)術(shù),以退為進(jìn),退一步從特殊情形:從特殊的點(diǎn)、特殊的直線、特殊的曲線、特殊的圖形,特殊的位置入手,尋求定點(diǎn)、定角或定值,再對一般情形加以驗(yàn)證,就能在解題目標(biāo)的引領(lǐng)下,有的放矢,將運(yùn)動變化的問題巧妙解決.這樣的求解策略,既簡少了繁雜的運(yùn)算量,又能極大地提升學(xué)生解題的自信心,使久攻不破的壓軸題得到有效突破,可謂妙手回春.