例談數(shù)學(xué)解題中“退”的藝術(shù)

雷亞慶

(江蘇省南京市大廠高級(jí)中學(xué)，210044)

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○解題思路與方法○

例談數(shù)學(xué)解題中“退”的藝術(shù)

雷亞慶

(江蘇省南京市大廠高級(jí)中學(xué)，210044)

華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)過:“復(fù)雜的問題要善于退, 退到最原始而不失去重要性的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅”.我們?cè)诮鈹?shù)學(xué)題遇到困難時(shí)不妨借鑒華羅庚教授“退”的思想,及時(shí)調(diào)整解題方向．那么，如何退、退到哪里去呢？下面舉例說(shuō)明．

一、退到定義

例1定義在(-1,1)內(nèi)的函數(shù) f(x)=-5x+sin x，如果f(1-a)+f(1-a2)>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.

解原式可化為 f(1-a)>-f(1-a2)

因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以

f(1-a)>f(a2-1).

又f ′(x)=-5+cos x<0在(-1,1)上恒成立,故f(x)為減函數(shù)．

反思定義、定理是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的概括和內(nèi)在規(guī)律揭示,只有深刻地理解概念的本質(zhì)和定理所揭示的內(nèi)在規(guī)律,才能靈活運(yùn)用它來(lái)簡(jiǎn)化解題過程．本題若將f(x)解析式代入不等式，正面求解則較困難，而退到函數(shù)最原始的地方，利用函數(shù)奇偶性、單調(diào)性定義就方便了問題處理.

二、退到上位概念

例2已知等差數(shù)列{an}中的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm=Sn,求Sm+n.

分析本題如果用數(shù)列的基本公式處理,會(huì)面臨多個(gè)參數(shù)的化簡(jiǎn)與變形,費(fèi)時(shí)且易錯(cuò),若利用數(shù)列是特殊的函數(shù),則可以考慮利用函數(shù)的性質(zhì)求解．

解由于Sn是關(guān)于n的不含常數(shù)的二次函數(shù)，故不妨設(shè)相應(yīng)的二次函數(shù)為f(x)=ax2+bx.

∵Sm=Sn即f(m)=f(n)，

∴該二次函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸為

∴由對(duì)稱性可知f(m+n)=f(0)=0，

∴Sm+n=0.

三、退到基本圖形

分析直接求解不易入手,因?yàn)閺囊阎獥l件中很難確定球心的位置,進(jìn)而半徑也就無(wú)從算起了．這時(shí)我們不妨退一步想想,什么樣的基本幾何體的外接球球心和半徑易確定呢?再仔細(xì)觀察已知條件,我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)是對(duì)棱兩兩相等,聯(lián)想到長(zhǎng)方體，于是問題迎刃而解．

解相對(duì)棱長(zhǎng)相等的四面體,可考慮把它補(bǔ)成長(zhǎng)方體(如圖1)，則四面體的三對(duì)對(duì)棱分別對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體的六個(gè)面的面對(duì)角線．設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為x,y,z則有

解得x2+y2+z2=25，

即4R2=25,

所以S球=4πR2=25π.

分析這個(gè)問題如果從圓錐曲線的常規(guī)解法去處理將會(huì)十分繁瑣,而從圓與橢圓的內(nèi)在聯(lián)系考慮,可把橢圓問題退回到圓的問題去解決.

反思實(shí)際上很多棱具有特殊位置關(guān)系和長(zhǎng)度關(guān)系的三棱錐的外接球問題都可以退回到長(zhǎng)方體或正方體中得以順利解決;同樣，橢圓中很多重要性質(zhì)都可以從圓的性質(zhì)中拓展得到,有興趣的同學(xué)們可以自行探究一下.

四、退到反面

分析A∩B≠?的情況比較多，需要分類,所以不妨從反面出發(fā)考慮問題．先求A∩B=?時(shí)a的取值集合,在取其補(bǔ)集即可得到本題的解．

若A∩B=?,則a≤2，且a2+1≥4，

例6若下列方程:x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0至少有一個(gè)方程有實(shí)根．試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

分析三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的反面情況僅有一種:三個(gè)方程均沒有實(shí)根，先求出反面情況時(shí)a的范圍,再所得范圍的補(bǔ)集就是正面情況的答案．

解設(shè)三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根,則有

反思退到反面也就是我們常說(shuō)的正難則反．一個(gè)問題如果從問題本身考慮情況較為復(fù)雜,需要過多的分類討論,這時(shí)我們不妨退一退,退到它的反面也就是它的否定上去,就會(huì)化難為易,化繁為簡(jiǎn)!

五、由一般退到特殊

有一類填空題,條件任意但結(jié)論固定,這樣的題目從常規(guī)做法入手往往比較繁瑣,費(fèi)時(shí)費(fèi)力,我們可以采用特殊化的方法,退到特殊位置,特殊值或特殊圖形去解決．

解不妨取?ABC為以A為直角的直角三角形．則O為斜邊BC的中點(diǎn),所以

=6.

反思所謂“一般”是指人們追求普遍性認(rèn)識(shí)的一種方式；而“特殊”是指人們深入個(gè)別認(rèn)識(shí)的一種方式．當(dāng)解決一般問題,直接找出結(jié)論規(guī)律或方法受阻時(shí),往往考慮由某種特殊的或有限的情形,歸納推導(dǎo)到一般情形,即以一般向“特殊”后退的思想方法去探求規(guī)律和尋找解題方法．

六、動(dòng)退到靜

分析問題涉及到兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最值問題,直接求解很困難.如何突破難點(diǎn)呢?這時(shí)我們不妨退一步,讓Q先固定下來(lái),問題就好解決了

解不妨先讓點(diǎn)Q固定不動(dòng).

∵|PQ|≥|QC|-|PC|=|QC||-1，

當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).

∴當(dāng)|CQ|最小時(shí),|PQ|也最小

這樣問題就由求兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)間的最短距離轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)C(0,4)到橢圓上一點(diǎn)Q的最短距離．

(-1≤y0≤1)，

反思上述問題都涉及到多動(dòng)點(diǎn)的最值問題,直接求解很困難,我們以退為進(jìn),以靜制動(dòng),把多動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問題,而單動(dòng)點(diǎn)問題的解決方法是我們很熟悉的,由此問題得以解決．

正所謂退一步海闊天空,這種以退為進(jìn)的思想在解題中有時(shí)可發(fā)揮出突破性的作用.由復(fù)雜退到簡(jiǎn)單,由未知退到已知,由一般退到特殊,由正面退到反面,由高維退到低維,由動(dòng)退到靜,由不等退到等,由果退到因,退到我們最容易看清楚的地方,把問題簡(jiǎn)單化,讓解題思路更加清晰,從而將復(fù)雜、難懂的數(shù)學(xué)問題順利解決．